1、相似三角形一、 知识概述1.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。2.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。3.相似三角形的定义对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形4.相似三角形的基本性质相似三角形的对应边成比例、对应角相等相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。相似三角形的周长比等于相似比面积比等于相似比的平方温馨提示：全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1所以全等三角形是相似三角形的特例其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例相似比具有顺序性例如A
2、BCABC的对应边的比，即相似比为k，则ABCABC的相似比，当且仅当它们全等时，才有k=k=1相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出5. 相似三角形的判定定理平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似；两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。温馨提示：（1）判定三角形相似的几条思路：条件中若有平行，可采用判定定理1；条件中若有一对角相等(包括隐含的公共角或对顶角)，可再找一对角相等或找夹边对应成比例；条件中若有两边对应成
3、比例，可找夹角相等；但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等条件中若有等腰关系，可找顶角相等或底角相等，也可找腰和底对应成比例。（2）在综合题中，注意相似知识的灵活运用，并熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用，培养综合运用知识的能力。（3）运用相似的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养当数学建模的思想。6. 位似定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比因此，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一
4、定是位似图形性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比 注意：（1）位似图形是相似图形的一个特例，位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形（2）两个位似图形不仅相似而且对应点连线交于一点，对应边平行或在同一直线上7.三角形的重心三角形三条中线的交点叫做三角形的重心三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍二、 相似三角形解题思路：1、寻找相似三角形对应元素的方法与技巧正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功通常有以下几种方法：(1)相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最大的角(或最小的角)一定
5、是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所对的边是对应边，对应角的夹边是对应边；(2)相似三角形中，一对最长的边(或最短的边)一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对应边所夹的角是对应角2、常见的相似三角形的基本图形：学习三角形相似的判定，要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法如： (1)“平行线型”相似三角形，基本图形见上节图“见平行，想相似”是解这类题的基本思路；(2)“相交线型”相似三角形，如上图其中各图中都有一个公共角或对顶角“见一对等
6、角，找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类题的基本思路；(3)“旋转型”相似三角形，如图若图中1=2，B=D(或C=E)，则ADEABC，该图可看成把第一个图中的ADE绕点A旋转某一角度而形成的温馨提示：从基本图形入手能较顺利地找到解决问题的思路和方法，能帮助我们尽快地找到添加的辅助线以上“平行线型”是常见的，这类相似三角形的对应元素有较明显的顺序，“相交线型”识图较困难，解题时要注意从复杂图形中分解或添加辅助线构造出基本图形相似三角形专题分类练习讲解题型一：线段的比、黄金分割1.在比例尺1：10000的地图上，相距2cm的两地的实际距离是（ ）A200cm B200dm C200m D2
7、00km2.若则下列各式中不正确的是（ ）A B CD3.若，则=_；已知，则=_；已知，且，则。4.若且，则=_。5.2和8的比例中项是_；线段2与8的比例中项为_。6.已知a ：b ：c2 ：3 ：4，且2a3b2c10，求a， b，c的值。题型二：相似的性质1.如果两个相似三角形的面积比为34，则它们的周长比为_。2.已知ABCDEF，且AB：DE=1：2，则ABC的面积与DEF的面积之比为 3.如图,DEBC，ADBD=23，则ADE的面积四边形DBCE的面积=_。4.如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论：（1）DE=1，（2）CDECAB，（3）CD
8、E的面积与CAB的面积之比为1：4.其中正确的有：_个5.如图，在梯形ABCD中，ADBC，ADE与BCE面积之比为4 ：9，那么ADE与ABE面积之比为_6.平行四边形ABCD中，AB=28，E、F是对角线AC上的两点，且AE=EF=FC，DE交AB于点M，MF交CD于点N，则CN=_。ABC DE第3题 第4题 第5题 第6题7.如图，已知平行四边形ABCD中，E是AB边的中点，DE交AC于点F，AC，DE把平行四边形ABCD分成的四部分的面积分别为S1，S2，S3，S4下面结论：只有一对相似三角形；EF：ED=1：2；S1：S2：S3：S4=1：2：4：5其中正确的结论是（ ） A B
9、C D8.如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是S1、S2 ，那么S1、S2的大小关系是（ ）A S1 S2 B. S1 = S2 C. S1S2 D. S1、S2 的大小关系不确定9.如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，且AEEB21，AFDE于G交BC于F，则AEG的面积与四边形BEGF的面积之比为（ ） A.12 B.14 C.49 D.2310.如图，已知DEBC，CD和BE相交于点O，49，则AEEC为（ ） A.21 B.23 C.49 D.5411.已知三个边长为2，3，5的正方形按图4排列，则图中阴影部分的面积为_第7题 第8题 第9题 第10题 第11题1
10、2.如图在ABC中，矩形DEFG，G、F在BC上，D、E分别在AB、AC上，AHBC交DE于M，DGDE12，BC12 cm，AH8 cm，求矩形的各边长。13.已知如图，正方形ABCD中，AB2，E是BC的中点，DFAE，F为垂足，求DFA的面积和四边形CDFE的面积。题型三：相似的有关证明1.已知：如图，梯形ABCD中，ABDC，E是AB的中点，直线ED分别与对角线AC和BC的延长线交于M、N点NDCAEBM求证：MD：MEND：NE2.如图，D在AB上，且DEBC，交AC于E，F在AD上，且，求证：AEFACD3.如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AEBC，垂足为E，连接DE，F为线
11、段DE上一点，且AFE=B（1）求证：ADFDEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长题型四：函数与相似1. 如图，正方形ABCD中，AB1，G为DC中点，E为BC上任一点，（E点与点B、点C不重合）设BE，过E作GA平行线交AB于F，设AFEC面积为，写出与的函数关系式，并指出自变量的取值范围。2.如图，ABCD是矩形，AH2，HD4，DE2，EC1，F是BC上任一点（F与点B、点C不重合），过F作EH的平行线交AB于G，设BF为，四边形HGFE面积为，写出与的函数关系式，并指出自变量的取值范围。3.如图，有一块直角梯形铁皮ABCD，AD3cm，BC6cm，CD4cm，现要截出
12、矩形EFCG，（E点在AB上，与点A、点B不重合），设BE，矩形EFCG周长为，（1）写出与的函数关系式，并指出自变量取值范围；（2）取何值，矩形EFCG面积等于直角梯形ABCD面积的。ABOPCxy4.如图，已知抛物线yx 21与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求A、B、C三点的坐标（2）过点A作APCB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积（3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MGx轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似？若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由5.如图，已知ABC的三个顶点坐标分别为A(-4，0)、B(1，0)、C(-2，6)(1)求经
13、过A、B、C三点的抛物线解析式；(2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE;(3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F， 试问以A、B、F，为顶点的三角形与ABC相似吗？请说明理由 题型五、圆与相似1.（2013绥化）如图，点A，B，C，D为O上的四个点，AC平分BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（）A.4 B.5 C.6 D.72.如图，AB为O的直径，D是弧BC的中点，DEAC交AC的延长线于E，O的切线BF交AD的延长线于点F。(1)求证：DE是O的切线；(2)若DE3，O的半径为5，求BF的长。3.如图，RtABC中，C=90，O为直角边B
14、C上一点，以O为圆心，OC为半径的圆恰好与斜边AB相切于点D，与BC交于另一点E（1）求证：AOCAOD；（2）若BE=1，BD=3,求O的半径及图中阴影部分的面积S4.如图O是ABC外接圆，AB是直径，D是AB延长线上一点，AEDC的延长线于点E，且AC平分EAB。（1）求证:DE是O的切线；(2) 若AB=6, AE=4, 求BC和BD的长5.（2012辽宁）如图，AB是O的直径，点C在O上，CAB的平分线交O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，连接BC交AD于点F。（1）猜想ED与O的位置关系，并证明你的猜想；（2）若AB6，AD5，求AF的长。6.（2013十堰）如图1，A
15、BC中，CA=CB，点O在高CH上，ODCA于点D，OECB于点E，以O为圆心，OD为半径作O（1）求证：O与CB相切于点E；（2）如图2，若O过点H，且AC=5，AB=6，连接EH，求BHE的面积题型六、因动点产生的相似问题1D是ABC的AB边上一点，过A、D及三角形边上的一点E的三角形与ABC相似，画出示意图。DACBCABDD是RtABC的BC边上一点，过C、D及三角形边上的一点E的三角形与ABC相似，画出示意图。2已知RtOAB在直角坐标系中的位置如图，P（3，4）为OB的中点，点C为折线OAB上的动点，线段PC把RtOAB分成两部分，问点C在什么位置时，分割得到的三角形与OAB相似？
16、画出所有符合要求的线段，写出点C的坐标。第2题 第3题 第4题3在直角坐标系中有两点A（4，0），B（0，2），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为 时，使得由点B、O、C组成的三角形与AOB相似。 4已知：如图，P是边长为4的正方形ABCD内一点，且PB=3，BFBP，垂足为B，请在射线BF上找一点M，使以B、M、C为顶点的三角形与ABP相似。5. 正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直.（1）证明：RtABMRtMCN；DBAMCN（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位
17、置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；（3）当M点运动到什么位置时RtABMRtAMN，求此时x的值.6. 如图，在ABC中，BAC=90，AD是BC边上的高，E是BC边上的一个动点（不与B,C重合），EFAB,EGAC，垂足分别为F,G（1）求证：；（2）FD与DG是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由；（3）当AB=AC时，FDG为等腰直角三角形吗？并说明理由 7.矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图所示，A、C两点的坐标分别为A（6，0），C（0，3），直线x与BC边相交于D点（1）求点D的坐标；（2）若抛物线yax 2x经过点A，试确定此抛物线的表达式；（3）设（
18、2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P为对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形与OCD相似，求符合条件的点P的坐标6yxOCDB-3xA8如图，抛物线yx2x2与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C（1）求证：AOCCOB；xyACBODPQ（2）过点C作CDx轴交抛物线于点D若点P在线段AB上以每秒1个单位的速度由A向B运动，同时点Q在线段CD上也以每秒1个单位的速度由D向C运动，则经过几秒后，PQAC9如图，二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截得的线段AB的长为6.求二次函数的解析式；在该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的
19、坐标；在抛物线上是否存在点Q，使QAB与ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由题型三：位似1.如图所示，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形ABCDE.已知OA10 cm，OA20 cm，则五边形ABCDE的周长与五边形ABCDE的周长的比值是_2.如图，在68的网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和ABC的顶点均为小正方形的顶点. 以O为位似中心，在网格图中作ABC，使ABC和ABC位似，且位似比为1：2连接中的AA，求四边形AACC的周长.（结果保留根号）3.如图，点O是等边三角形PQR的中心，P、Q、R分别是OP、OQ、OR的中点，则PQR与PQR
20、是位似三角形此时，PQR与PQR的位似比为_。第1题 第2题 第3题相似三角形分类题型讲解（答案）题型一：1. C 2.C 3.；6；10； 4.4:5 5.、4 6.a=4b=6 c=8题型二：1. 2. 1:4 3. 4:21 4. 3个 5. 2:3 6. CN=7 7. A 8. A 9. C 10. A 11. 12. DG= ；DE= 13. S1= ； S2=题型三：4.题型四：1. 2. 3.（1） （2） 4. (1)A（-1，0）B（1，0） C（0，1） (2) S=4 (3)M1（-2，3）M2（4，15）M3（，） 5.(1)题型五：1.B 2.BF= 103 3.r=4 ；S=54-8 4.（2）BC=23；BD=6 5.（2）AF=145 6.（2）SBHE= 185题型六：1.C1（3，0）C2（6，4）C3（6，） 2. C1（-1，0）C2（-4，0）C3（1，0） 3.BM1=3;BM2= 4.（2）； x=2时，S=10 ； （3）x=2 6.（1）D（4，-3）（2）（3）P1（3，0）P2（3，4） 7.（2）t=2.5或t=1.5 8.（1）或或（2）P（4，）（3）Q1（10，）Q2（-2，）Q3（4，）
