1、1（一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分（二）各种积分之间的联系（二）各种积分之间的联系（三）场论初步（三）场论初步 一、主要内容2曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分对面积的对面积的曲面积分曲面积分对坐标的对坐标的曲面积分曲面积分对弧长的对弧长的曲线积分曲线积分对坐标的对坐标的曲线积分曲线积分定义定义计算计算定义定义计算计算联系联系联系联系（一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分3 曲曲 线线 积积 分分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定定义义 niiiiLsfdsyxf10),(lim),(LdyyxQdxyxP),(),(),(),(lim1
2、0iiiniiiiyQxP 联联系系dsQPQdyPdxLL)coscos(计计算算 dtfdsyxfL22,),(三代一定三代一定)(dtQPQdyPdxL),(),(二代一定二代一定 (与方向有关与方向有关)4与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件在在单单连连通通开开区区域域D上上),(),(yxQyxP具具有有连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数,则则以以下下四四个个命命题题成成立立.LQdyPdxD与路径无关与路径无关内内在在)1(CDCQdyPdx闭曲线闭曲线,0)2(QdyPdxduyxUD 使使内存在内存在在在),()3(xQyPD ,)4(内内在在等等价价命命题题
3、5 曲曲 面面 积积 分分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分定定义义 niiiiisfdszyxf10),(lim),(xyiniiiiSRdxdyzyxR)(),(lim),(10 联联系系 RdxdyQdzdxPdydz计计 算算一投一投,二代二代,三换三换(与侧无关与侧无关)一投一投,二代二代,三定号三定号 (与侧有关与侧有关)dSRQP)coscoscos(dszyxf),(xyDyxdxdyzzyxzyxf221),(,dxdyzyxR),(xyDdxdyyxzyxR),(,6定积分定积分曲线积分曲线积分重积分重积分曲面积分曲面积分计算计算计算计算计算计
4、算Green公式公式Stokes公式公式Guass公式公式（二）（二）各种积分之间的联系各种积分之间的联系7点函数点函数)(,)(lim)(10MfMfdMfnii .)()(,1 badxxfdMfbaR 时时上区间上区间当当.),()(,2 DdyxfdMfDR 时时上区域上区域当当积分概念的联系定积分定积分二重积分二重积分8 dVzyxfdMfR),()(,3 时时上区域上区域当当.),()(,3 dszyxfdMfR 时时上空间曲线上空间曲线当当.),()(,3 SdSzyxfdMfSR 时时上曲面上曲面当当曲面积分曲面积分曲线积分曲线积分三重积分三重积分.),()(,2 Ldsyxf
5、dMfLR 时时上平面曲线上平面曲线当当曲线积分曲线积分9计算上的联系)(,),(),()()(21面元素面元素 ddxdyyxfdyxfbaxyxyD)(,),(),()()(),(),(2121体元素体元素dVdzzyxfdydxdVzyxfbaxyxyyxzyxz baLdsdxyxyxfdsyxf)(,1)(,),(2曲曲线元素线元素 baLdxdxxyxfdxyxf)(,)(,),(投影投影线元素线元素10 xyDyxdxdyzzyxzyxfdSzyxf221),(,),(xyDdxdyyxzyxfdxdyzyxR),(,),(其中其中dSRQPdxdyRQdzdxPdydz)cos
6、coscos(dsQPQdyPdxLL)coscos()(曲曲面元素面元素dS)(投影投影面元素面元素dxdy11理论上的联系1.定积分与不定积分的联系定积分与不定积分的联系)()()()()(xfxFaFbFdxxfba 牛顿牛顿-莱布尼茨公式莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系二重积分与曲线积分的联系)()(的正向的正向沿沿LQdyPdxdxdyyPxQLD 格林公式格林公式123.三重积分与曲面积分的联系三重积分与曲面积分的联系 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(高斯公式高斯公式4.曲面积分与曲线积分的联系曲面积分与曲线积分的联系 dxdyyPxQdzdxxRzPdy
7、dzzQyR)()()(RdzQdyPdx斯托克斯公式斯托克斯公式13 DLdxdykArotsdA)(DLdxdyAdivdsnA)(Green公式,Guass公式,Stokes公式之间的关系 dSnArotdSA)(RQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdx dvAdivdsnA)(dvzRyQxPRdxdyQdzdxPdydz)(DLdxdyyPxQQdyPdx)(DLdxdyyQxPPdyQdx)(或推广推广为平面向量场为平面向量场)(MA为空间向量场为空间向量场)(MA14梯度梯度kzujyuixugradu 通量通量旋度旋度环流量环流量zRyQxPAdiv RdxdyQ
8、dzdxPdydzkyPxQjxRzPizQyRArot)()()(RdzQdyPdx散度散度（三）（三）场论初步场论初步15 Ddyxf),(二重积分dvzyxf),(三重积分 Ldzyxf),(I曲线积分 dszyxf),(I曲面积分 LdFII曲线积分曲顶柱体的体积的质量平面区域 D的质量空间区域的质量空间曲线L的质量空间曲面LF 沿空间曲线力复习拖动物体所做的功16化累次积分计算方法_,轴投影向图画XD1 )()(xyxbxaD21 Ddyxf),(二重积分 )()(),(),(xxbaDdyyxfdxdyxf21,轴投影向图画YD2 )()(yxydycD21 )()(),(),(y
9、ydcDdxyxfdydyxf21 17:累次积分交换积分次序积分不等式组图画D不等式组积分:用极坐标计算二重积分 DDddrrrrfdyxf )sin,cos(),()()()sin,cos(21drrrrfd.,转动惯量重心坐标的质量平面区域 D18dvzyxf),(三重积分,.Dxoy平面投影得向1 ),(),(),(yxzyxDyx21 ),(),(),(),(yxyxDdzzyxfdydxdvzyxf21先单后重 ),(),()()(.yxzyxxyxbxa21212 如果 ),(),()()(),(),(yxyxxxbadzzyxfdydxdvzyxf2121 则19,轴投影向z
10、)(),(zDyxbza轴的截面垂直于zzD_)()(),(),(zDbadydxzyxfdzdvzyxf先重后单:换元法柱坐标.1 dzddrrzrrfdvzyxf ),sin,cos(),(dvzyxf),(球坐标.2 dddrrrrrfsin)cos,sinsin,cossin(2.,转动惯量重心坐标的质量 Ldzyxf),(I曲线积分:的参数方程L)(),(),(tztytxr t dtzyxtztytxfdzyxfL222)(),(),(),(!上限下限 ttytxrL)(),(是平面曲线 dtyxtytxfdyxfL22)(),(),(则:常用之平面曲线)(.xy 1)(,xxr
11、dxd21 )(.yx 2),(yyr dyd21 :.的极坐标方程L3)(rr drrrrfdyxfL22cos)(,sin)(),(21 LdFII曲线积分 LLdzzyxRdyzyxQdxzyxPdF),(),(),(:的参数方程为L)(),(),(tztytxr :t tdtrtFdFL)()(dttztRtytQtxtP)()()()()()(,)(),(),()(tztytxPtP 其中 )(,)(tRtQ类似地 dttxtztytxPdxzyxPL)()(),(),(),(dttytztytxQdyzyxQL)()(),(),(),(dttztztytxRdzzyxRL)()()
12、,(),(),(22),(),(yxQyxPF 在平面上 ttytxrL)(),(:曲线 LLdyyxQdxyxPdF),(),(dttytytxQtxtytxP)()(),()()(),(baxxyL:),(:的方程为曲线 LLdyyxQdxyxPdF),(),(badxxxxQxxP)()(,()(,(.系两类曲线积分之间的关,找到曲线的参数方程计算曲线积分之关键是.,注意上下限的确定方法代入所要计算的积分.,无重影平面内的投影在曲面xoy dszyxf),(I曲面积分),(),(),(:vuzvuyvuxr 的方程为 dszyxf),(dvdurrvuzvuyvuxfvu),(),(),
13、(:常用的曲面 cossinsincossinazayax 球面 ddadssin2 zzayax sincos柱面dzdads ),(yxzz 一般曲面dydxzzdsyx221 dszyxf),(Dyxdydxzzyxzyxf221),(,24概括为概括为：投：投：将积分曲面投影到适当的坐标面上将积分曲面投影到适当的坐标面上(如如xoy 面面)（要求无重影）（要求无重影）一投、二代、三换一投、二代、三换 对面积的曲面积分计算法小结对面积的曲面积分计算法小结代：代：将曲面的方程表示为二元显函将曲面的方程表示为二元显函 数，如数，如 然后代入被积函数，将其化成二元函数然后代入被积函数，将其化成
14、二元函数(,)zz x y换：换：将曲面的微元换成投影面上的面积微元形式，如将曲面的微元换成投影面上的面积微元形式，如dxdyzzdSyx221 2526概括为概括为：投：投：将积分曲面投影到与有向面积元素（如将积分曲面投影到与有向面积元素（如dxdy）中两个变量同名的坐标面上（如中两个变量同名的坐标面上（如xoy 面）；面）；定号：定号：由曲面的方向，即曲面的侧确定二重积分由曲面的方向，即曲面的侧确定二重积分 的正负号的正负号一投、二代、三定号一投、二代、三定号 对坐标的曲面积分计算法小结对坐标的曲面积分计算法小结代：代：将曲面的方程表示为二元显函数，如将曲面的方程表示为二元显函数，如 然后代入被积函数，将其化成二元函数；然后代入被积函数，将其化成二元函数；),(yxzz 27法法1 1 分片投影法分片投影法法法2 2 利用两类曲面积分间的联系利用两类曲面积分间的联系法法3 3 合一投影法合一投影法法法4 4 高斯公式高斯公式(重点掌握重点掌握）28典型例题：典型例题：计算计算 I=I=zdxdydydzxz )(2,其其中是旋转抛物面中是旋转抛物面)(2122yxz 介于平面介于平面0 z及及2 z之间的部分的下侧之间的部分的下侧.
