1、导数知识点归纳及应用知识点归纳一、相关概念1导数的概念函数y=f(x),如果自变量x在x处有增量，那么函数y相应地有增量（ ），比值叫做函数y=f（x）在x到x+之间的（ ），即（ ）。如果当时，有（ ），我们就说函数y=f(x)在点x处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x处的导数，记作（ ），即（ ）。注意：（1）函数f（x）在点x处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x处不可导，或说无导数。（2）是自变量x在x处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x处的导数的步骤： 求函数的增量（ ）； 求平均变化率（ ）； 取极限，得导数（
2、）。例：设f(x)= x|x|, 则f( 0)= .2导数的几何意义函数y=f（x）在点x处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x，f（x）处的（ ）。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x，f（x）处的切线的斜率是（ ）。相应地，切线方程为yy=f/（x）（xx）。例：在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是( )A3B2C1D03.导数的物理意义若物体运动的规律是s=s（t），那么该物体在时刻t的瞬间速度v=（t）。若物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v（t），则该物体在时刻t的加速度a=v（t）。例：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把
3、这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（ ）stOAstOstOstOBCD练习：已知质点M按规律做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s）。（1） 当t=2，时，求；（2） 当t=2，时，求；（3） 求质点M在t=2时的瞬时速度。二、导数的运算1基本函数的导数公式: （C为常数）; ; ; .例1：下列求导运算正确的是 ( )A(x+ B(log2x)= C(3x)=3xlog3e D (x2cosx)=-2xsinx 例2：设f0(x) sinx，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x) fn(x)，nN，则f2005(x)( )Asinx Bsinx Cco
4、sx Dcosx2导数的运算法则法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即：（ ）法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：（ ） 若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：（ ）。例：设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0时,0.且g(3)=0.则不等式f(x)g(x)0的解集是 ( )A (-3,0)(3,+) B (-3,0)(0, 3) C (-,- 3)
5、(3,+) D (-,- 3)(0, 3)3.复合函数的导数形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。法则：y|= y| u|或者.练习：求下列各函数的导数： （1） （2） （3） （4）三、导数的应用1.函数的单调性与导数（1）设函数在某个区间（a，b）可导，如果，则在此区间上为（ ）；如果，则在此区间上为（ ）。（2）如果在某区间内恒有，则为（ ）。例：函数是减函数的区间为( )AB C D（0，2） 2极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；例：函数已知时取
6、得极值，则= ( )A2 B3 C4 D53最值：在区间a，b上连续的函数f在a，b上必有最大值与最小值。但在开区间（a，b）内连续函数f（x）不一定有最大值，例如。（1）函数的最大值和最小值是一个整体性的概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须在整个区间上所有函数值中的最小值。（2）函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的，函数的极值是比较极值点附件的函数值得出来的。函数的极值可以有多有少，但最值只有一个，极值只能在区间内取得，最值则可以在端点取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值，极值可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值。例：函数在闭区间-3，
7、0上的最大值、最小值分别是 .经典例题选讲例1. 已知函数的图象如图所示（其中 是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是 ( )例2.设恰有三个单调区间，试确定a的取值范围，并求其单调区间。例3. 已知函数的图象过点P（0,2）,且在点M处的切线方程为. （）求函数的解析式；（）求函数的单调区间.例4. 设函数，已知是奇函数。（）求、的值。 （）求的单调区间与极值。例5. 已知f（x）=在x=1，x=时，都取得极值。（1）求a、b的值。（2）若对，都有恒成立，求c的取值范围。例6. 已知是函数的一个极值点，其中，（I）求与的关系式；（II）求的单调区间；（III）当时，函数的图象上任意一点
8、的切线斜率恒大于3，求的取值范围.例7：（2009天津理20）已知函数其中（1） 当时，求曲线处的切线的斜率；（2） 当时，求函数的单调区间与极值。本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。 答案：一、1. =f（x+）f（x），平均变化率，=，极限， f（x）或y|，f（x）=。求导步骤： 求函数的增量=f（x+）f（x）； 求平均变化率=； 取极限，得导数f(x)=。解析： f( 0)=02.切线的斜率， f（x）。解析：切线的斜率为。又切线的倾斜角小于，即，故，解得：，故没有坐标为整数的点3. 答：A
9、。答案：（1）8.02（2）8.002；（3）8二、1. 解析：A错，(x+ B正确，(log2x)= C错，(3x)=3xln3 D错，(x2cosx)=2xcosx+ x2(-sinx)解析：f0(x) sinx，f1(x)f0(x)=cosx，f2(x)f1(x)= -sinx，f3(x)f2(x)= -cosx， f4(x) f3(x)=sinx，循环了 则f2005(x)f1(x)cosx2. (（v0）解析：当x0时,0 ，即当x0时，f(x)g(x)为增函数，又g(x)是偶函数且g(3)=0，g(-3)=0，f(-3)g(-3)=0故当时，f(x)g(x)0，又f(x)g(x)是
10、奇函数，当x0时，f(x)g(x)为减函数，且f(3)g(3)=0故当时，f(x)g(x)0故选D3. 解：(1) y（2） y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，y=3x2+12x+11.（3）y=（4） ，三、1. 增函数 减函数 常数解析：由0，得0x0，当时，0，故的极小值、极大值分别为， 而故函数在-3，0上的最大值、最小值分别是3、-17。典型题：1. 解析：由函数的图象可知：当时， 0，此时增，当时，0，0，此时减，当时，0，0，0，此时增。故选C2. 解：若，对恒成立，此时只有一个单调区间，矛盾；若， ，也只有一个单调区间，矛盾；若 ，此时恰有三个单调区间
11、。 且单调减区间为和，单调增区间为3. 解：（）由的图象经过P（0，2），知d=2，所以 由在处的切线方程是，知故所求的解析式是 （）解得 当当 故内是增函数，在内是减函数，在内是增函数.4. 解：（），。从而是 一个奇函数，所以得，由奇函数定义得；（）由（）知，从而，由此可知，和是函数是单调递增区间；是函数是单调递减区间；在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。5. 解：（1）由题意f/（x）=的两个根分别为1和 由韦达定理，得：1=，则，（2）由（1），有f（x）=，f/（x）= 当时，当时，当时，当时，有极大值， 当，的最大值为，对，都有恒成立， 解得或6. 解：(I)因
12、为是函数的一个极值点,所以,即，所以（II）由（I）知，=当时，有，当变化时，与的变化如下表：100调调递减极小值单调递增极大值单调递减故有上表知，当时，在单调递减，在单调递增，在上单调递减.（III）由已知得，即又所以即设，其函数开口向上，由题意知式恒成立，所以解之得又，所以即的取值范围为7. 解：（I）（II） 以下分两种情况讨论。（1），则.当变化时，的变化情况如下表：+00+极大值极小值 （2），则，当变化时，的变化情况如下表：+00+极大值极小值导数练习题（B）1（本题满分12分）已知函数的图象如图所示（I）求的值；（II）若函数在处的切线方程为，求函数的解析式；（III）在（II）
13、的条件下，函数与的图象有三个不同的交点，求的取值范围2（本小题满分12分）已知函数（I）求函数的单调区间；（II）函数的图象的在处切线的斜率为若函数在区间（1，3）上不是单调函数，求m的取值范围3（本小题满分14分）已知函数的图象经过坐标原点，且在处取得极大值（I）求实数的取值范围；（II）若方程恰好有两个不同的根，求的解析式；（III）对于（II）中的函数，对任意，求证：4（本小题满分12分）已知常数，为自然对数的底数，函数，（I）写出的单调递增区间，并证明；（II）讨论函数在区间上零点的个数5（本小题满分14分）已知函数（I）当时，求函数的最大值；（II）若函数没有零点，求实数的取值范围；
14、6（本小题满分12分） 已知是函数的一个极值点（）（I）求实数的值；（II）求函数在的最大值和最小值7（本小题满分14分）已知函数 （I）当a=18时，求函数的单调区间； （II）求函数在区间上的最小值8（本小题满分12分）已知函数在上不具有单调性（I）求实数的取值范围；（II）若是的导函数，设，试证明：对任意两个不相等正数，不等式恒成立9（本小题满分12分）已知函数 （I）讨论函数的单调性； （II）证明：若10（本小题满分14分）已知函数（I）若函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数的取值范围；（II）若，设，求证：当时，不等式成立11（本小题满分12分）设曲线：（），表示导函
15、数（I）求函数的极值；（II）对于曲线上的不同两点，求证：存在唯一的，使直线的斜率等于12（本小题满分14分）定义，（I）令函数，写出函数的定义域；（II）令函数的图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在处有斜率为8的切线，求实数的取值范围；（III）当且时，求证导数练习题（B）答案1（本题满分12分）已知函数的图象如图所示（I）求的值；（II）若函数在处的切线方程为，求函数的解析式；（III）在（II）的条件下，函数与的图象有三个不同的交点，求的取值范围解：函数的导函数为 （2分）（I）由图可知 函数的图象过点（0，3），且得 （4分）（II）依题意 且 解得 所以 （8分）（III）可转化为
16、：有三个不等实根，即：与轴有三个交点； ，+0-0+增极大值减极小值增 （10分）当且仅当时，有三个交点，故而，为所求 （12分）2（本小题满分12分）已知函数（I）求函数的单调区间；（II）函数的图象的在处切线的斜率为若函数在区间（1，3）上不是单调函数，求m的取值范围解：（I）（2分）当当当a=1时，不是单调函数（5分） （II）（6分）（8分）（10分）（12分）3（本小题满分14分）已知函数的图象经过坐标原点，且在处取得极大值（I）求实数的取值范围；（II）若方程恰好有两个不同的根，求的解析式；（III）对于（II）中的函数，对任意，求证：解：（I）由，因为当时取得极大值，所以，所以；
17、（4分）（II）由下表：+0-0-递增极大值递减极小值递增 依题意得：，解得：所以函数的解析式是： （10分）（III）对任意的实数都有在区间-2，2有：函数上的最大值与最小值的差等于81，所以（14分）4（本小题满分12分）已知常数，为自然对数的底数，函数，（I）写出的单调递增区间，并证明；（II）讨论函数在区间上零点的个数解：（I），得的单调递增区间是， （2分），即 （4分）（II），由，得，列表-0+单调递减极小值单调递增当时，函数取极小值，无极大值 （6分）由（I）， （8分）（i）当，即时，函数在区间不存在零点（ii）当，即时 若，即时，函数在区间不存在零点 若，即时，函数在区间存
18、在一个零点； 若，即时，函数在区间存在两个零点；综上所述，在上，我们有结论：当时，函数无零点；当 时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点 （12分）5（本小题满分14分）已知函数（I）当时，求函数的最大值；（II）若函数没有零点，求实数的取值范围；解：（I）当时，定义域为（1，+），令， （2分）当，当，内是增函数，上是减函数当时，取最大值 （4分）（II）当，函数图象与函数图象有公共点，函数有零点，不合要求； （8分）当， （6分）令，内是增函数，上是减函数，的最大值是， 函数没有零点，因此，若函数没有零点，则实数的取值范围（10分）6（本小题满分12分） 已知是函数的一个极值点（）（I）
19、求实数的值；（II）求函数在的最大值和最小值解：（I）由可得（4分）是函数的一个极值点，解得 （6分）（II）由，得在递增，在递增，由，得在在递减是在的最小值； （8分）， 在的最大值是 （12分）7（本小题满分14分）已知函数 （I）当a=18时，求函数的单调区间； （II）求函数在区间上的最小值解：（），2分由得，解得或注意到，所以函数的单调递增区间是（4，+）由得，解得-24，注意到，所以函数的单调递减区间是.综上所述，函数的单调增区间是（4，+），单调减区间是6分 （）在时，所以，设当时，有=16+42，此时，所以，在上单调递增，所以8分当时，=，令，即，解得或；令，即，解得.若，即时
20、，在区间单调递减，所以.若，即时间，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以.若，即2时，在区间单调递增，所以综上所述，当2时，；当时，；当时，14分8（本小题满分12分）已知函数在上不具有单调性（I）求实数的取值范围；（II）若是的导函数，设，试证明：对任意两个不相等正数，不等式恒成立解：（I）， （2分）在上不具有单调性，在上有正也有负也有0，即二次函数在上有零点 （4分）是对称轴是，开口向上的抛物线，的实数的取值范围 （6分）（II）由（I），方法1：，（8分）设，在是减函数，在增函数，当时，取最小值从而，函数是增函数，是两个不相等正数，不妨设，则， ，即 （12分）方法2： 、是曲线上
21、任意两相异点， （8分）设，令，由，得由得在上是减函数，在上是增函数，在处取极小值，所以即 （12分）9（本小题满分12分）已知函数 （I）讨论函数的单调性； （II）证明：若（1）的定义域为， 2分（i）若，则 故在单调增加（ii）若 单调减少，在（0，a-1）， 单调增加（iii）若 单调增加（II）考虑函数 由 由于，从而当时有 故，当时，有10（本小题满分14分）已知函数（I）若函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数的取值范围；（II）若，设，求证：当时，不等式成立解：（I）， （2分）函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同，当时，恒成立， （4分）即恒成立， 在时恒成
22、立，或在时恒成立，或 （6分）（II），定义域是，即在是增函数，在实际减函数，在是增函数当时，取极大值，当时，取极小值， （8分）， （10分）设，则，在是增函数，在也是增函数 （12分），即，而，当时，不等式成立 （14分）11（本小题满分12分）设曲线：（），表示导函数（I）求函数的极值；（II）对于曲线上的不同两点，求证：存在唯一的，使直线的斜率等于解：（I），得当变化时，与变化情况如下表：0单调递增极大值单调递减当时，取得极大值，没有极小值； （4分）（II）（方法1），即，设，是的增函数，；，是的增函数，函数在内有零点， （10分）又，函数在是增函数，函数在内有唯一零点，命题成立（1
23、2分）（方法2），即，且唯一设，则，再设，在是增函数，同理方程在有解 （10分）一次函数在是增函数方程在有唯一解，命题成立（12分）注：仅用函数单调性说明，没有去证明曲线不存在拐点，不给分12（本小题满分14分）定义，（I）令函数，写出函数的定义域；（II）令函数的图象为曲线C，若存在实数b使得曲线C在处有斜率为8的切线，求实数的取值范围；（III）当且时，求证解：（I），即 （2分）得函数的定义域是， （4分）（II）设曲线处有斜率为8的切线，又由题设存在实数b使得 有解， （6分）由得代入得， 有解， （8分）方法1：，因为，所以，当时，存在实数，使得曲线C在处有斜率为8的切线（10分）方法2：得， （10分）方法3：是的补集，即 （10分）（III）令又令 ，单调递减. （12）分单调递减， ， （14分）
