1、二、考前必记的54个知识点 集合(1)集合间关系的两个重要结论AB包含AB和AB两种情况，两者必居其一，若存在xB且xA，说明AB，只能是AB.集合相等的两层含义：若AB且BA，则AB；若AB，则AB且BA.提醒1任何一个集合是它本身的子集，即AA.2对于集合A，B，C，如果AB且BC，则有AC.3含有n个元素的集合有2n个子集，有2n1个真子集，有2n2个非空真子集4集合中元素的三大特性：确定性、互异性、无序性(2)集合之间关系的判断方法ABAB且AB，类比于abab且ab.ABAB或AB，类比于aba0且a1)ylogax(a0且a1)定义域R(0，)值域(0，)R图象关系指数函数对数函数
2、奇偶性非奇非偶非奇非偶单调性0a1时，在R上是增函数0a1时，在(0，)上是增函数提醒直线x1与所给指数函数图象的交点的纵坐标即底数，直线y1与所给对数函数图象的交点的横坐标即底数 函数零点的判断方法(1)利用零点存在定理判断法：如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0)，(logax)(x0，a0，且a1)(ex)ex，(ax)axln a(a0，且a1)(2)导数的四则运算法则(uv)uvf1(x)f2(x)fn(x)f1(x)f2(x)fn(x)(uv)vuvu(cv)cvcvcv(c为常数)(v0)提醒1若两个函数可导，则它们的和、差、积、商
3、必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导2利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(xn)nxn1中nQ*，(cos x)sin x.3注意公式不要用混，如(ax)axln a，而不是(ax)xax1.4导数的加法与减法法则，可由两个可导函数推广到任意有限个可导函数的情形，即u(x)v(x)w(x)u(x)v(x)w(x)5一般情况下，f(x)g(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)f(x)g(x)，f(x)g(x) 极值与最值(1)判断极大、极小值的方法当函数f(x)在点x0处连续时如果在x0附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)是极大值如果在x
4、0附近的左侧f(x)0，则f(x0)是极小值提醒1可导函数极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点，如函数f(x)x3，x0时就不是极值点，但f(0)0.2极值点不是一个点，而是一个数x0，当xx0时，函数取得极值在x0处有f(x0)0是函数f(x)在x0处取得极值的必要不充分条件3函数f(x)在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点函数值中的最大值，函数f(x)在一闭区间上的最小值是此函数在此区间上的极小值与其端点函数值中的最小值(2)极值与最值的区别与联系区别：函数的极值函数的最值函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点使函数取得最大值，最小值的点可能
5、在区间的内部，也可能在区间的端点函数的极值是通过比较极值点附近的函数值得出的函数的最值是通过比较整个定义域内的函数值得出的函数的极值可能不止一个，也可能一个没有函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个函数的极大值不一定大于函数的极小值函数的最大值一定大于函数的最小值联系：(i)当连续函数在开区间内的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点；(ii)极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值 定积分(1)由定积分的定义可得定积分f(x)dx是一个常数，它的值仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量没有关系，即f(x)dxf(t)dtf(u)du.(2)定积分满
6、足性质：kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)；f1(x)f2(x)dxf1(x)dxf2(x)dx；f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中ac0)个单位得到ysin(x)的图象(当0，d0时，Sn有最大值，可由an0且an10求得n，从而求出Sn的最大值；当a10时，Sn有最小值，可由an0且an10求得n，从而求出Sn的最小值二次函数法：用求二次函数最值的方法求Sn的最值值得注意的是nN*，因此等差数列前n项和取得最值时n的值可能不是一个值，也有可能是两个值 等比数列的判断方法(1)定义法：q(q为常数且q0，nN*)或q(q为常数且q0，n2)an为等比数列(2)等比中项法：aan
7、an2(an0，nN*)an为等比数列(3)通项公式法：ana1qn1(其中a1，q为非零常数，nN*)an为等比数列提醒判断一个数列是否是等比数列，还有一种直观的判断方法，即前n项和公式法：若Sn表示数列an的前n项和，且Snaqna(a0，q0，q1)，则数列an是公比为q的等比数列但此方法不能用于证明一个数列是等比数列 数列中项的最值的求法(1)根据数列与函数之间的对应关系，构造相应的函数f(n)an，利用求解函数最值的方法(多利用函数的单调性)进行求解，但要注意自变量的取值必须是正整数的限制(2)利用数列的单调性求解，由不等式an1an(或an1an)求解出n的取值范围，从而确定数列单
8、调性的变化，进而确定相应的最值(3)转化为关于n的不等式组求解：若求数列an的最大项，则可解不等式组若求数列an的最小项，则可解不等式组求出n的取值范围之后再确定取得最值的项 不等式的解法(1)分式不等式的解法分式不等式0(或0(0(a(x)f(x)(x)(a1)或f(x)(x)(0aloga(x)f(x)(x)0(a1)或0f(x)(x)(0a0(0(a0)，且0(a0，b0)，当且仅当ab时，等号成立整式形式：ab(a，bR)，a2b22ab(a，bR)，(ab)24ab(a，bR)，(a，bR)，以上不等式当且仅当ab时，等号成立分式形式：2(ab0)，当且仅当ab时，等号成立倒数形式：
9、a2(a0)，当且仅当a1时，等号成立；a2(a0)，当且仅当a1时，等号成立(2)利用基本不等式求最值对于正数x，y，若积xy是定值p，则当xy时，和xy有最小值2.对于正数x，y，若和xy是定值s，则当xy时，积xy有最大值s2.已知a，b，x，y为正实数，若axby1，则有(axby)abab2()2.已知a，b，x，y为正实数，若1，则有xy(xy)abab2()2.提醒利用基本不等式求最大值、最小值时应注意“一正、二定、三相等”，即：所求式中的相关项必须是正数；求积xy的最大值时，要看和xy是否为定值，求和xy的最小值时，要看积xy是否为定值，求解时，常用到“拆项”“凑项”等解题技巧
10、；当且仅当各项相等时，才能取等号以上三点应特别注意，缺一不可 空间几何体的表面积和体积(1)直棱柱的侧面积：S侧cl(c是底面周长，l为侧棱长)正棱锥的侧面积：S侧ch(c是底面周长，h为斜高)正棱台的侧面积：S侧(cc)h(c，c分别是上、下底面周长，h为斜高)圆柱的侧面积：S侧cl2rl(c是底面周长，l为母线长)圆锥的侧面积：S侧clrl(c是底面周长，l为母线长)圆台的侧面积：S侧(cc)l(rr)l(c，c分别是上、下底面周长，l为母线长)球的表面积：S4R2.(2)柱体的体积：V柱Sh(S为底面积，h是柱体的高)锥体的体积：V锥Sh(S为底面积，h是锥体的高)球的体积：V球R3S表
11、R. 球的组合体(1)球与长方体的组合体：长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长(2)球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长(3)球与正四面体的组合体：棱长为a的正四面体的内切球的半径为a(正四面体高a的)，外接球的半径为a(正四面体高a的) 证明空间位置关系的方法(1)线面平行：a，a，a.(2)线线平行：ab，ab，ab，cb.(3)面面平行：，.(4)线线垂直：ab.(5)线面垂直：l，a，a，b.(6)面面垂直：，.提醒利用定理证明线面关系时要注意结合几何体的结构特征，尤其要注意灵活利
12、用正棱柱、正棱锥等特殊几何体的性质，进行空间线面关系的相互转化 空间向量的坐标运算设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则(1)aba1b1a2b2a3b3；(2)aba1b1，a2b2，a3b3(R，b0)；(3)aba1b1a2b2a3b30(b0)；(4)|a|；(5)cosa，b(a0，b0)；(6)点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离d|. 空间向量的应用(1)夹角公式：设非零向量a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则cosa，b .推论：(a1b1a2b2a3b3)2(aaa)(bbb)(2)异面直线所成的角：cos |cosa，b|，其
13、中(00)圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0)圆的参数方程：(为参数)圆的直径式方程：(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0(圆的直径的端点是A(x1，y1)，B(x2，y2)(2)直线与圆的位置关系直线l：AxByC0和圆C：(xa)2(yb)2r2(r0)有相交、相离、相切三种情况可从代数和几何两个方面来判断：代数方法(判断直线与圆的方程联立所得方程组的解的情况)：0相交；0相离；0相切；几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则dr相离；dr相切(3)圆与圆的位置关系设圆O1：(xa1)2(yb1)2r(r10)，圆O2：(xa2)2(y
14、b2)2r(r20)，则其位置关系的判断方法如下表：方法位置关系几何法代数法公切线的条数圆心距d与r1，r2的关系联立两圆方程组成方程组的解的情况外离dr1r2无解4外切dr1r2一组实数解3相交|r1r2|dr1r2两组不同的实数解2内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解1内含0db0)1(ab0)图形几何性质范围axa，bybbxb，aya对称性对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点焦点F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)顶点A1(a，0)，A2(a，0)；B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)；B1(b，0)，B2(b，0)轴线段A1A2，B1
15、B2分别是椭圆的长轴和短轴；长轴长为2a，短轴长为2b焦距|F1F2|2c离心率焦距与长轴长的比值：e(0，1)a，b，c的关系c2a2b2提醒椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度，e的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的圆扁程度因为a2b2c2，所以，因此，当e越趋近于1时，越趋近于0，椭圆越扁；当e越趋近于0时，越趋近于1，椭圆越接近于圆所以e越大椭圆越扁，e越小椭圆越圆当且仅当ab，c0时，椭圆变为圆，方程为x2y2a2. 双曲线(1)双曲线的标准方程及几何性质标准方程1(a0，b0)1(a0，b0)图形几何性质范围|x|a，yR|y|a，xR对称性对称轴：x轴，y轴；对称中心：原点焦点F
16、1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c)，F2(0，c)顶点A1(a，0)，A2(a，0)A1(0，a)，A2(0，a)轴线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为2a，虚轴长为2b焦距|F1F2|2c离心率焦距与实轴长的比值：e(1，)渐近线yxyxa，b，c的关系a2c2b2提醒1离心率e的取值范围为(1，)当e越接近于1时，双曲线开口越小；当e越接近于时，双曲线开口越大2满足|PF1|PF2|2a的点P的轨迹不一定是双曲线，当2a0时，点P的轨迹是线段F1F2的中垂线；当02a|F1F2|时，点P的轨迹不存在(2)双曲线的方程与渐近线方程的关系若双曲线的方程为1，则渐近线
17、的方程为0，即yx.若渐近线的方程为yx，即0，则双曲线的方程可设为.若所求双曲线与双曲线1有公共渐近线，其方程可设为(0，焦点在x轴上；0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)图形几何性质对称轴x轴y轴顶点O(0，0)焦点FFFF准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR离心率e1(2)抛物线焦点弦的常用结论设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，为直线AB的倾斜角，则焦半径|AF|x1，|BF|x2.x1x2，y1y2p2.弦长|AB|x1x2p.以弦AB为直径的圆与准线相切SOAB(O为抛物线的顶点) 直线与
18、圆锥曲线的位置关系(1)弦长的求解方法设直线与圆锥曲线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若直线AB的斜率存在(设为k)，则|AB|x1x2|；若k0，则|AB|y1y2|，其中|x1x2|，|y1y2|.当直线AB的斜率不存在时，可直接求出直线与圆锥曲线的交点坐标，利用两点间的距离公式求弦长(2)圆锥曲线中的最值问题利用圆锥曲线的定义进行转化，一般在三点共线时取得最值求圆锥曲线上的点到已知直线的距离的最值，则当已知直线的平行线与圆锥曲线相切时，两平行线间的距离即所求利用基本不等式求最值 频率与概率的区别与联系(1)区别频率具有随机性，在不同的试验中，同一事件发生的频率可能不同；概率是
19、频率的稳定值，是一个确定的常数，不管进行多少次试验，同一事件发生的概率是不变的(2)联系频率和概率都是用来刻画随机事件发生的可能性大小的量；概率可看作频率在理论上的期望值，随试验次数的增加，频率可近似地作为这个事件的概率 事件的关系与运算(1)包含关系：如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A，记作BA(或AB)(2)相等事件：如果BA且AB，那么称事件A与事件B相等，记作AB.(3)并(和)事件：若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作AB(或AB)(4)交(积)事件：若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事
20、件为事件A与事件B的交事件(或积事件)，记作AB(或AB)(5)互斥事件：若AB为不可能事件(即AB)，那么称事件A与事件B互斥，其含义是事件A与事件B在任何一次试验中都不会同时发生(6)对立事件：若AB为不可能事件，AB为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，其含义是事件A与事件B在任何一次试验中有且只有一个发生提醒互斥事件与对立事件都是指两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生以外，还要求二者必须有一个发生因此，对立事件一定是互斥事件，而互斥事件未必是对立事件 概率的几个基本性质(1)任何事件A的概率都在01之间，即0P(A)1.(2)
21、若AB，则P(A)P(B)(3)必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0.(4)当事件A与事件B互斥时，P(AB)P(A)P(B)注意没有事件A与事件B互斥这一条件时，这个公式不成立(5)若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)P(B)1.提醒当一事件的概率不易直接求，但其对立事件的概率易求时，可运用(5)，即用间接法求概率 古典概型的概率公式如果随机事件A包含的基本事件数为m，总的基本事件数为n，则P(A).提醒求解古典概型问题的步骤1判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件A.2分别计算总的基本事件的个数n和所求的事件A所包含的基本事件的个数m.3利用古典概型的概率公式P(
22、A)，求出事件A的概率 几何概型的概率公式在几何概型中，事件A的概率的计算公式如下：P(A).提醒在几何概型中，“等可能”一词应理解为对应于每个试验结果的点落入某区域内的可能性大小仅与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置与形状无关 几何概型与古典概型的差异名称古典概型几何概型相同点基本事件发生的可能性相等不同点基本事件有有限个；P(A)0A为不可能事件；P(B)1B为必然事件基本事件有无限个；P(A)0A为不可能事件；P(B)1B为必然事件 均值的相关结论(1)E(k)k(k为常数)(2)E(aXb)aE(X)b.(3)E(X1X2)E(X1)E(X2)(4)若X1，X2相互独立，则E(X
23、1X2)E(X1)E(X2)(5)若随机变量X服从两点分布，则E(X)p.(6)若X服从二项分布，即XB(n，p)，则E(X)np.提醒E(X)是一个常数，由X的分布列唯一确定，它描述X取值的平均状态作为随机变量X是可变的，可取不同的值 方差的相关性质结论(1)D(k)0(k为常数)(2)D(aXb)a2D(X)(3)D(X)E(X2)E(X)2.(4)若X1，X2，Xn两两独立，则D(X1X2Xn)D(X1)D(X2)D(Xn)提醒1随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度，其中标准差与随机变量本身有相同的单位2方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定是
24、非负的 二项分布与正态分布(1)条件概率的计算公式：当P(B)0时，在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率P(A|B)；类似地，当P(A)0时，在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率P(B|A).(2)二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(k)Cpk(1p)nk，其中k0，1，n.(3)若随机变量X服从正态分布N(，2)，则P(a0)正态分布密度函数的性质：函数图象关于直线x对称；(0)的大小决定函数图象的“胖”“瘦”；P(x)0.682 6，P(2x2)0.954 4，P(3x3)0.997 4.在实际问题中进行概率、百分比计算时，关键是把正态分布的两个重要参数，求出，然后确定三个区间(范围)
