1、第4章 实数知识结构：实数1.平方根（1）定义:如果x2=a(a0),那么x叫做a的平方根（1）一个正数有两个平方根,它们互为相反数（2）性质 （2）0的平方根是0（3）负数没有平方根（3）开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方（4）算术平方根（1）定义:正数a的正的平方根叫做a的算术平方根（2）规定:0的算术平方根是0（3）性质:a具有双重非负性,即a0,a0（5）意义:(a)2=a(a0)a(a0)a2=a= -a(a0)2.立方根（1）定义:如果x3=a,那么x叫做a的立方根（2）性质（1）正数的立方根是正数（2）0的立方根是0（3）负数的立方根是负数（3）开立方：求一个数的立方根的运
2、算叫做开立方（4）意义3a3=a(3a)3=a3.实数（1）实数的分类1.按性质（1）正实数（2）0（3）负实数2.按概念（1）有理数（2）无理数-无限不循环小数（2）实数的性质实数范围内的相反数、倒数、绝对值意义与有理数范围内完全一样实数与数轴上的点是一一对应关系有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用与有理数的运算法则、运算律相同4.近似数定义：接近准确数而不等于准确数的数叫做近似数精确度：常用四舍五入法对近似数进行精确4.1平方根一、平方根的概念及表示名称定义表示方法举例性质平方根一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根或二次方根非负数a的平方根记作“a”
3、，读作“正、负根号a”，其中a叫做被开方数如4和-4的平方都等于16，那么4和-4都是16的平方根，4和-4可简记为4一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0只有一个平方根，是0本身；负数没有平方根拓展延伸：（1）由平方根的意义可知，x=a，把x=a代入x2=a，得（a）2=a（a0）.（2）当a0时，我们说式子a有意义，当a0时，式子a无意义。二、平方根的性质1.正数有两个平方根，它们互为相反数。如果a0，那么a的平方根为a2.0有一个平方根，就是0，即0=03.负数没有平方根三、开平方名称定义表示方法举例性质开平方求一个数的平方根的运算，叫做开平方a（a0）开平方用符号“a”表示（9）2=
4、81，81=9开平方是一种运算，它和平方运算是互逆的注意：开平方是求一个非负数的平方根的运算，开平方与平方互为逆运算，只不过一个数的平方是一个数，而一个数（正数）的平方根是一对相反数。四、算术平方根的概念及性质算术平方根（1）定义:正数a的正的平方根叫做a的算术平方根（2）规定:0的算术平方根是0（3）性质:a具有双重非负性,即a0,a0 当a0时，a2=a五、算术平方根与平方根的区别与联系区别平方根算术平方根定义不同如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根非负数a的非负平方根叫做a的算术平方根个数不同正数有两个平方根正数的算术平方根只有一个表示方法不同aa取值范围不同正数的平方根一正
5、一负，互为相反数正数的算术平方根为正数联系：（1）具有包含关系；（2）存在条件相同：被开方数为非负数；（3）0的平方根、算术平方根都是0.4.2立方根一、立方根的概念及表示一般地，如果x3=a,那么x叫做a的立方根，数a的立方根记作“3a”，读作“三次根号a”，其中a是被开方数，3是根指数（注意：根指数3不能省略）。注意：理解x3=a时，要弄清a是x的立方，x是a的立方根，千万不要把a与x的意义弄反。二、开立方1.求一个数的立方根的运算叫做开立方。开立方与立方互为逆运算，因此，求一个数的立方根可以通过立方运算来求。2.重要公式：（1） (3a)3=3a3=a（2）3-a=-3a求负数的立方根时
6、，可先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再取它的相反数，即三次根号内的负号可以移到根号外面。例如：3-125=-3125=-5三、立方根的性质正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；零的立方根是零。注意：立方根的性质可以概括为立方根的唯一性，即一个数的立方根是唯一的。4.3实数一、无理数无限不循环小数叫做无理数。注意：（1）无理数可分为正无理数和负无理数，要判断一个数是不是无理数，一要看它是不是无限小数，二要看它是不是不循环小数，只有同时满足“无限”和“不循环”这两个条件的小数才是无理数。（2）无理数的常见形式有以下几种：开方开不尽的数的相应方根是无理数，如2，7，35等；圆周率及一些含有的数
7、，如2，3+1等；以无限不循环小数形式写出的数，如0.1010010001（两个1之间依次多一个0）等。二、实数的概念有理数和无理数统称为实数。实数可以分类如下：实数有理数正有理数0 整数、有限小数或无限循环小数负有理数无理数正无理数 无限不循环小数负无理数三、实数与数轴的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数一一对应。四、实数范围内的有关概念名称性质举例相反数若a与b互为相反数，则a+b=03的相反数是-3倒数若a与b互为倒数，则ab=12的倒数是12绝对值任何实数的绝对值都是非负数，即a0 a（a0） a= 0（a=0） -a
8、（a0）互为相反数的两个数的绝对值相等，即a=-a2=-2=2五、实数的大小比较有理数大小比较的方法在实数范围内仍然适用。两实数的大小关系如下：正实数都大于0，负实数都小于0，正数大于一切负数；两个正实数，绝对值大的较大；两个负实数，绝对值大的反而小；在数轴上表示的两个实数，右边的数总比左边的数大。此外，还有如下方法：（1）通过比较两数的平方（立方）后的大小，进而确定原来实数的大小关系，如比较13与3的大小，由于（13）2=13,32=9,139，故133（2）用估算的方法求无理数的近似值，然后再比较大小。（3）利用计算器计算出它们的近似值，然后再比较大小。六、实数的运算在实数范围内，可以进行
9、加、减、乘、除（除数不为零）、乘方及开立方运算，任何非负实数都可以进行开平方运算。有理数的运算性质和运算律在实数范围内仍然适用，实数混合运算的顺序与有理数混合运算的顺序基本相同，先乘方、开方，再乘除，最后加减。同级运算按从左到右的顺序进行，有括号先算括号里的。在实数运算中，当遇到无理数时，可运用计算器进行求值。4.4近似数一、近似数与准确数与实际接近的数称为近似数；与实际情况完全符合的数叫做准确数。实际生产生活中的许多数据都是近似数。例如：测量工具，计算时间、速度所得的结果都是近似数，且由于测量工具不同，测量的精确程度也不同。在实际计算中，对于像这样的数，也常常取它的近似数。二、近似数的取法对较大的数取近似值时，结果一般要用科学记数法来表示。在一些计算或测量中，我们有时需要对近似值进行处理，通常应用四舍五入法对近似数进行精确。如果结果只取整数，那么就叫做精确到个位，如3.如果结果取1位小数，那么就叫做精确到十分位（或精确到0.1），如3.1.如果结果取2位小数，那么就叫做精确到百分位（或精确到0.01），如3.14.注意：对于“精确到哪一位”，是指四舍五入到哪一位。如313=3.333，若要求精确到十分位，是指四舍五入到十分位，则3133.38
