1、 学而思小学奥数知识点梳理 一、计算41、四则混合运算繁分数42、简便计算43、估算54、比较大小55、定义新运算66、特殊数列求和67、大数计算：69、重复数字：324324324324=3241001001001610、头同尾和十611、452=2025612、71113 = 10016373 = 111613、7的秘密：614、位值原理：7二、数论71、奇偶性问题72、位值原则73、数的整除特征：74、整除性质75、带余除法=76. 唯一分解定理87、约数个数与约数和定理88、两数的约数也是两数差的约数；89、同余定理810弃九法811完全平方数性质812孙子定理（中国剩余定理）见下81
2、3余数应用814辗转相除法-根本在于辗转相减915. 质数916求最大公因数，最小共倍数917数论解题的常用方法9三、几何图形121、平面图形122、立体图形：长方体、正方体143、周长154、图形计数：155、图形分割和拼接156、一些特殊图形157、勾股定理158曲线形图形169、一些特殊的图形：16四、典型应用题171植树问题172方阵问题173列车过桥问题184年龄问题185鸡兔同笼186牛吃草问题187平均数问题188盈亏问题189和差问题1810和倍问题1811差倍问题1812逆推问题1813代换问题19五、行程问题191相遇问题192追及问题193流水行船194多次相遇195环形
3、跑道196行程问题中正反比例关系的应用197钟面上的相遇与追及问题。208结合分数、工程、和差问题的一些类型。209行程问题时常运用“时光倒流”和“假定看成”的思考方法。2010发车间隔问题2011接送问题2012火车过桥：2013电梯问题2014猎狗追兔20六、计数问题211枚举法：212标数法：213加法原理：分类214乘法原理：分步215排列组合：216容斥原理：217对应法：218抽屉原理：229握手问题22102211染地图，22七、分数问题221纯循环小数、混循坏小数，互换222量率对应223以不变量为“1”224利润问题235浓度问题236工程问题237按比例分配，238分百问题
4、239在比的问题中：23八、方程解题231等量关系232二元一次方程组的求解：就是消元的过程233不定方程的分析求解244不等方程的分析求解245未知数24九、找规律（操作与策略 ）24周期性问题，也叫循坏问题24数列问题24（3）最值问题25十、算式谜25十一、数阵问题261相等和值问题：262数列分组，含数独263幻方26十二、进制27十三、一笔画271、一笔画定理：272哈密尔顿圈与哈密尔顿链273多笔画定理274怎么把不能一笔画的变成可以的：275一笔画的实际问题，276最值问题（4）最值问题：27十四、逻辑推理271等价条件的转换272假设法273列表法274对阵图285逆推法28十
5、五、火柴棒问题28十六、游戏与对策问题28十七、智力问题29十八、构造与论证29十九、解题方法29前言小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的小学数学奥林匹克、中国少年报社主编的华杯赛教材、华杯赛集训指南以及学而思的寒假班系列教材和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。1、把条件翻成数学表达（图、式子等）2、代数的思想，翻不出来用字母代 3、不会做的时候怎么吧，能做啥做啥
6、 概述遇到让找出所有数.,不要害怕，肯定不是很多，找规律，静下心；代数思想、逆推思想、归纳思想、猜证思想、分类分步思想、数形结合思想，我们告诉快速提分策略。 不知该怎么办时，枚举找规律一、计算必考题目一般需要速算巧算要先观察，看准了再动手！和、差、积的个位都只和每个数的个位有关能大巧算就大巧，不能大巧就小巧，实在不行来狠的（数少或小的时候，有时也许可以硬算）数多或大时，硬算会出人命的，此时大都需要找规律。1、四则混合运算繁分数 运算顺序： 分数、小数混合运算技巧一般而言： 加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式； 带分数的加减法常常整数和分数分开写； 乘除运算中，统一以分数形式。乘法变成假
7、分数；带分数与假分数的互化如果有大量的假可以化带，如果有大量的带，可以化假；繁分数的化简(5) 要考虑整体约分、连续约分的概念；2、简便计算凑整思想 互补就加、尾同就减、配对凑整、借来还去分组凑整：（1）好多数，且中间有省略；（2）甚至可能打乱顺序，重组；（3）带着前面的符号基准数思想裂项与拆分 裂和：目的：两两相消；凑整= +; = +=+裂差：目的：两两相消（1） 分子全部相同，最简单形式为1，不是1提取公因数（2） 分母均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数首尾相接；（3） 分母上的几个因数间的差是一个定值； 分数拆分： = + =+, m, n是10的约数就可以；选取m
8、, n的比不同就可以分成不同的两个分数相加；这里有（1,2）（2,5）（1,10）（1,5）（1,1）阶乘：考试考到阶乘通常是除法和逆运算乘法，乘法往上5！，想6, 5！6 = 6！ 除法考虑自己，想5，5！5 = 4!提取公因数公因数不会明白地告诉，需要用找出来 如何找？用拆分，也就是乘不变的方法，目的是找公因数 * 迎春杯特点：一定会考一题，一般是凑整求和、提取共因数；考提取公因数的可能比较大，但不会那么明显地给出公因数，需要拆分找出来；实在不会，低年级可以硬算。商不变性质改变运算顺序 运算定律的综合运用：交换率、结合率 连减的性质 连除的性质 同级运算移项的性质：搬家带符号，加减括号，前
9、面是、是一定要注意 增减括号的性质 变式提取公因数形如：(7)换元 (8)通项归纳找规律，从简单情况入手目的：利用通项求解解题步骤：找最后一项，然后套公式（通常别算出来，当找不出规律时，再考虑算出来）a. 1或2步上10阶楼梯，有多上种上法；b. 几个圆或线或矩形吧平面分多少份 方法：看多一个图形，多几个点，看多一个点把新的图形分成几个部分，就多几个部分 线和圆把平面分成多少份，第一条线有问题，其他恢复正常；3、估算求某式的整数部分：扩缩法4、比较大小 基本方法 通分a. 通分母b. 通分子 跟“中介”比，比如和1比 利用倒数性质若，则cba.。形如：，则。 浓度法是真分数，必有 ;是假分数，
10、且ab，必有 向左划括号60，所以，274604=34，就是所求的数。例2：一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？题中3、7、8三个数两两互质。则7，8=56；3，8=24；3，7=21；3，7，8=168。为了使56被3除余1，用562=112；使24被7除余1，用245=120。使21被8除余1，用215=105；然后，112212041055=1229，因为，1229168，所以，12291687=53，就是所求的数。例3：一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。题中5、8、11三个数两两互质。则8，11=88；5，11=55；5，8=4
11、0；5，8，11=440。为了使88被5除余1，用882=176；使55被8除余1，用557=385；使40被11除余1，用408=320。然后，176438533202=2499，因为，2499440，所以，24994405=299，就是所求的数。 例4：有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人 ？（幸福123老师问的题目）题中9、7、5三个数两两互质。则7，5=35；9，5=45；9，7=63；9，7，5=315。为了使35被9除余1，用358=280；使45被7除余1，用455=225；使63被5除余1，用632=126。然后，280
12、522511262=1877，因为，1877315，所以，18773155=302，就是所求的数。 例5：有一个年级的同学，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，问这个年级至少有多少人 ？ 题中9、7、5三个数两两互质。则7，5=35；9，5=45；9，7=63；9，7，5=315。为了使35被9除余1，用358=280；使45被7除余1，用455=225；使63被5除余1，用632=126。然后，280622521263=2508，因为，2508315，所以，25083157=303，就是所求的数。（例5与例4的除数相同，那么各个余数要乘的“数”也分别相同，所不同的就是最后两
13、步。） 关于“中国剩余定理”类型题目的另外解法“中国剩余定理”解的题目其实就是“余数问题”，这种题目，也可以用倍数和余数的方法解决。不懂论坛上有没人发过。小学奥赛考试时学习过，也用过，现在把方法写出来，如果懂的也别笑我，呵呵。例一，一个数被5除余2，被6除少2，被7除少3，这个数最小是多少？解法：题目可以看成，被5除余2，被6除余4，被7除余4 。看到那个“被6除余4，被7除余4”了么，有同余数的话，只要求出6和7的最小公倍数，再加上4，就是满足后面条件的数了，6X7446。下面一步试下46能不能满足第一个条件“一个数被5除余2”。不行的话，只要再46加上6和7的最小公倍数42，一直加到能满足
14、“一个数被5除余2”。这步的原因是，42是6和7的最小公倍数，再怎么加都会满足“被6除余4，被7除余4”的条件。46428846424213046424242172这是一种形式的，它的前提是条件中出现同余数的情况，如果遇到没有的，下面讲例二，一个班学生分组做游戏，如果每组三人就多两人，每组五人就多三人，每组七人就多四人，问这个班有多少学生？解法：题目可以看成，除3余2，除5余3，除7余4。没有同余的情况，用的方法是“逐步约束法”，就是从“除7余4的数”中找出符合“除5余3的数”，就是再7上一直加4，直到所得的数除5余3。得出数为18，下面只要在18上一直加7和5得最小公倍数35，直到满足“除3
15、余2”471111718183553这种方法也可以解“中国剩余定理”解的题目。比“中国剩余定理”更好理解，我觉的速度上会比那个繁琐的公式化的解题更快。大家可以试下. 所以：一共有5个 187 367 547 727 90718、最值问题 考虑平均化和极端化两数和一定，差小积大； 两数积一定，差小和小三、几何图形几何出题特点及趋势： 淡化几何几大模型的直接考察 勾股定理频繁现身几何题中 方程（组）作用非比寻常欧拉公式 = 顶点 + 区域 = 边数 + 维数 11、平面图形多边形的内角和N边形的内角和=(N-2)180等积变形（位移、割补） 三角形内等底等高的三角形 平行线内等底等高的三角形 公共
16、部分的传递性 极值原理（变与不变）三角形面积与底的正比关系 S1S2 =ab ； S1S2=S4S3 或者S1S3=S2S4（所谓蝴蝶模型）相似三角形性质（份数、比例） ; S1S2=a2A2（即所谓梯形蝴蝶模型）S1S3S2S4= a2b2abab ; S=（a+b）2燕尾定理SABG：SAGCSBGE：SGECBE：EC；SBGA：SBGCSAGF：SGFCAF：FC；SAGC：SBCGSADG：SDGBAD：DB；(6)共角定理(7)差不变原理知5-2=3，则圆点比方点多3。(8)隐含条件的等价代换 例如弦图中长短边长的关系。(9)组合图形的思考方法 化整为零 先补后去 正反结合 有时要
17、求的无法求，可以用反面的方法，求外围然后减去 求面积，直接求 间接求：整体部分；总 不好求，放到一个大的图形中去求，方法:这个大的图形的面积好求，或者这个大的图形可以放到再一个大的图形中求，而这个更大的图形的面积好求 容斥法求解 (10) 长方形 a bd c a d b c ac = bd ac = bd（11）正方形： 说到正方形，就要想到等腰三角形，反之亦然 弦图：看到斜着放的正方形，就应该想到弦图 变成5个小正方形作一个面积为5的正方形（12）海伦公式 三角形的三边长分别为：a、b、c; p为半周长 = （a +b +c）/2 则三角形的面积S = （13） 如果六边形对边相等，相隔一
18、个顶点相连成的三角形的面积是六边形面积的一半（14） 当求一部分比另一部分的面积大多少时，除了直接求出每部分相减外，应该可以考虑差不变得方法；2、立体图形：长方体、正方体规则立体图形的表面积和体积公式 几个面，几个棱等要记清； 圆柱体的体积和表面积 圆锥体的体积和表面积 三棱柱的体积和表面积不规则立体图形的表面积整体观照法体积的等积变形 水中浸放物体：V升水=V物要先判断是否水上升超过了侵入的物体，然后再算升高了多少； 测啤酒瓶容积：V=V空气+V水三视图与展开图 最短线路与展开图形状问题求堆积体表面积的常见方法三视图法，有些看不见的图要额外加上求堆积体体积的常见方法切片法染色问题（含染色再切
19、块） 几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系。(6) 打洞题目3、周长（1）规则图形：（2）不规则图形：平移，注意别有漏的，必要的时候要分析线段之间的关系、要加加减减，4、图形计数：容易数不全，方法：会分类特别的：（6+5+4+3+2+1）（4+3+2+1）5、图形分割和拼接（1）割：从数量和对称点入手（特别是当要求面积一样时）（2）拼：看每条边的长度，相同长度的往一起拼，当然有时候可以是一条长边等于多条短边（3）剪、拼：前后面积相等、要计算规划6、一些特殊图形完美长方形、弦图(对角线把长方形分成相等的两部分记一些图形规律7、勾股定理（两直角边的平方和等于斜边的平方， 记的数据：3、4
20、、5； 5、12、13；1、1、根号2(1) 在平面几何中应用：直线形，曲线形（两园相切：园心相连过切点；两园相交）折叠：（1）利用对称，用尽量少得未知数表述图中的线段 （2）勾股定理解方程；(2) 立体几何中的应用：对角线AD2 = ( AC2 + BC2 ) + BD2ABCD8曲线形图形（圆、扇形的周长与面积；平移、割补、旋转） 公式总结：圆的面积 扇形面积 圆的周长 扇形周长 9、一些特殊的图形：（1）弓形：弓形通常只求面积，半圆是特殊的弓形；弓形面积扇形面积三角形面积（除了半圆）（2）“弯角” ：弯角的面积正方形扇形 （3）“谷子”：“谷子”的面积弓形面积2（5） 圆环面积： 环=
21、（ ）（6） (7) “谷子”+ 四、典型应用题迎春杯特点：* 不会那么明显、直接地出盈亏、鸡兔同笼、倍比关系，会有变形和复杂的关系或陷阱* 画图时，对于卖掉、去掉、运走、增加一样多等从左边画；* 高年级了，实在不好考虑，用方程做，一般求啥设啥为未知数（直接设），还可以间接设；1植树问题开放型与封闭型间隔与株数的关系2方阵问题外层边长数-2=内层边长数 （即不论哪一层，每往里一层，每边差2，每相邻两层的总数差8）（外层边长数-1）4=外周长数（即可以用螺旋法求每一层的总数，其他形状的队列也一样）外层边长数2-中空边长数2=实面积数，（即正方形、长方形的有时可以转换成面积）3列车过桥问题车长+桥
22、长=速度时间车长甲+车长乙=速度和相遇时间车长甲+车长乙=速度差追及时间列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题车长=速度和相遇时间车长=速度差追及时间4年龄问题（1）牢记：年龄差不变；如果变了，一定有特殊的年龄情况，一定要找问题的关键，比如XX年没有某人没有出生等等；（2）年龄增加数一样；年龄倍数是变的5鸡兔同笼假设法的解题思想、方程的方法常常会更简单快，但解方程要准确，但可以两种方法进行检验假设法：全都是一种动物。 如果有多种动物，可根据动物的特点先分成两种砍足法画图法捆绑法（打包法）换算法6牛吃草问题原有草量=（牛吃速度-草长速度）时间7平均数问题无论什么平均，一定记得总的数量
23、总的单位，才是平均设数法8盈亏问题假设法的解题思想、方程的方法常常会更简单快，但解方程要准确，但可以两种方法进行检验公式法 : 分析差量关系（盈亏）两次分配差 （盈盈）两次分配差（亏亏）两次分配差特别注意：一定的数量平均分给固定的对象时才能直接套公式，即：（1）涉及三个量：被分配的总数、接受分配的人或物、分配原则（平均）； 原则：要保证“被分配的总数”、“接受分配的人或物”不变 方法：想办法把变的量变成不变的（2）基本的盈亏问题可以用殷老师的画图的方法；9和差问题10和倍问题11差倍问题12逆推问题 还原法，从结果入手倒推法（列图表、线段图）吹气球法 逆推 -归纳13代换问题 列表消元法 等价
24、条件代换五、行程问题普通行程问题最基本的概念：路程和=速度和相遇时间，所有的问题都来自于： （1） S变：往返问题（ST图），环形跑道（一圈的概念）ST图，即柳卡图，但遇到数字不好解的，考虑有没有其他方法（2） V变：流水行程（水速），变速问题（差量） 解题时要考虑速度比，或者假设速度不变会怎样（比如S变为多少）（3） T变：走走停停（分段），平均速度（总S/总T） 线段图、方程、比列法都是常用工具，有时候可以转化成面积； 三人以上相遇或追及：杀人，转换成两两相遇 如果路程、时间和速度只告诉一个，或一个都没有告诉用设数法 中点问题（陷阱） 如果题目中未提示什么相遇，相遇包括迎面相遇和追及相遇；
25、端点的相遇，即是迎面相遇又是追及相遇（4）变道：判断相遇的大概位置，第一次的，和要求的那次的相遇的大概位置1相遇问题路程和=速度和相遇时间2追及问题路程差=速度差追及时间3流水行船顺水速度=船速+水速逆水速度=船速-水速船速=（顺水速度+逆水速度）2，顺水速度和逆水速度和是两倍的船速；水速=（顺水速度-逆水速度）2，顺水速度和逆水速度差是两倍的水速；相遇：速度和= V甲+V乙船速，变速后分段考虑追及：速度差= V甲V乙船速，变速后分段考虑说明：两船相遇、追及问题可以忽略水速，问一船的问题必须考虑水速；掉东西，掉多久，追多久；只有一个量（V、S、T）比例设数；4多次相遇线型路程： 甲乙共行全程数=相遇次数2-1环型路程： 甲乙共行全程数=相遇次数其中甲共行路程=甲在单个全程所行路程共行全程数5环形跑道6行程问题中正反比例关系的应用路程一定，速度和时间成反比。速度一定，路程和时间成正比。时间一定，路程和速度成正比。7钟面上的相遇与追及问题。 钟面介绍：钟面60格，1格6o，时针速度：1小时5格60分 = 格/分；
