1、.对数函数的图象及性质例题解析题型一 判断对数函数【例1】函数f(x)(a2a1)log(a1)x是对数函数，则实数a_解析：由a2a11，解得a0,1 又a10，且a11，a1【例11】下列函数中是对数函数的为_（1）yloga(a0，且a1)；(2)ylog2x2；(3)y8log2(x1)；(4)ylogx6(x0，且x1)；(5)ylog6x解析：序号是否理由(1)真数是，不是自变量x(2)对数式后加2(3)真数为x1，不是x，且系数为8，不是1(4)底数是自变量x，不是常数(5)底数是6，真数是x题型二 底数对图象的影响【例2】如图所示的曲线是对数函数ylogax的图象已知a从，中取
2、值，则相应曲线C1，C2，C3，C4的a值依次为()A， B，C， D，解析：由底数对对数函数图象的影响这一性质可知，C4的底数C3的底数C2的底数C1的底数故相应于曲线C1，C2，C3，C4的底数依次是，答案：A点技巧 作直线y1，它与各曲线的交点的横坐标就是各对数的底数，由此判断各底数的大小题型三 对数型函数的定义域的求解(1)对数函数的定义域为(0，)(2)在求对数型函数的定义域时，要考虑到真数大于0，底数大于0，且不等于1若底数和真数中都含有变量，或式子中含有分式、根式等，在解答问题时需要保证各个方面都有意义(3)求函数的定义域应满足以下原则：分式中分母不等于零；偶次根式中被开方数大于
3、或等于零；指数为零的幂的底数不等于零；对数的底数大于零且不等于1；对数的真数大于零，如果在一个函数中数条并存，求交集【例3】求下列函数的定义域(1)ylog5(1x)； (2)ylog(2x1)(5x4)； (3)分析：利用对数函数ylogax(a0，且a1)的定义求解解：(1)要使函数有意义，则1x0，解得x1，故函数ylog5(1x)的定义域是x|x1(2) 要使函数有意义，则解得x且x1，故函数ylog(2x1)(5x4)的定义域是(1，)(3)要使函数有意义，则解得x1，故函数的定义域是题型四 对数型函数的值域的求解方法一、充分利用函数的单调性和图象是求函数值域的常用方法方法二、对于形
4、如ylogaf(x)(a0，且a1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：分解成ylogau，uf(x)这两个函数；求f(x)的定义域；求u的取值范围；利用ylogau的单调性求解方法三、对于函数yf(logax)(a0，且a1)，可利用换元法，设logaxt，则函数f(t)(tR)的值域就是函数f(logax)(a0，且a1)的值域注意：(1)若对数函数的底数是含字母的代数式(或单独一个字母)，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论(2)求对数函数的值域时，一定要注意定义域对它的影响当对数函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值范围【例4】求下列函数的值域：(1)ylog2(x24)；(2)y解
5、：(1)x244，log2(x24)log242函数ylog2(x24)的值域为2，)(2)设u32xx2，则u(x1)244u0，0u4又y在(0，)上为减函数，2函数y的值域为2，)【例41】已知f(x)2log3x，x1,3，求yf(x)2f(x2)的最大值及相应的x的值分析：先确定yf(x)2f(x2)的定义域，然后转化成关于log3x的一个一元二次函数，利用一元二次函数求最值解：f(x)2log3x，x1,3，yf(x)2f(x2)(log3x)26log3x6且定义域为1,3令tlog3x(x1,3)tlog3x在区间1,3上是增函数，0t1从而要求yf(x)2f(x2)在区间1,
6、3上的最大值，只需求yt26t6在区间0,1上的最大值即可yt26t6在3，)上是增函数，当t1，即x3时，ymax16613综上可知，当x3时，yf(x)2f(x2)的最大值为13题型五 对数函数的图象变换及定点问题(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题对数函数ylogax(a0，且a1)过定点(1,0)，即对任意的a0，且a1都有loga10这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键对于函数ybklogaf(x)(k，b均为常数，且k0)，令f(x)1，解方程得xm，则该函数恒过定点(m，b)方程f(x)0的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数(2)对数函数的图象变换的问题函数yloga
7、x(a0，且a1)函数yloga(xb)(a0，且a1)函数ylogax(a0，且a1)函数ylogaxb(a0，且a1)函数ylogax(a0，且a1)函数yloga|x|(a0，且a1)函数ylogax(a0，且a1)函数y|logax|(a0，且a1)【例5】若函数yloga(xb)c(a0，且a1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b，c的值分别为_解析：函数的图象恒过定点(3,2)，将(3,2)代入yloga(xb)c(a0，且a1)，得2loga(3b)c又当a0，且a1时，loga10恒成立，c2loga(3b)0b2答案：2,2【例51】作出函数y|log2(x1)|2的图象解：
8、(第一步)作函数ylog2x的图象，如图；(第二步)将函数ylog2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得函数ylog2(x1)的图象，如图；(第三步)将函数ylog2(x1)在x轴下方的图象作关于x轴的对称变换，得函数y|log2(x1)|的图象，如图；(第四步)将函数y|log2(x1)|的图象，沿y轴方向向上平移2个单位长度，便得到所求函数的图象，如图题型六 利用对数函数的单调性比较大小两个对数式的大小比较有以下几种情况：(1)底数相同，真数不同(2)底数不同，真数相同(3)底数不同，真数也不同(4)对于多个对数式的大小比较注意：对于含有参数的两个对数值的大小比较，要注意对底数是否大于1
9、进行分类讨论【例6】比较下列各组中两个值的大小(1)log31.9，log32；(2)log23，log0.32；(3)loga，loga3.141分析：(1)构造函数ylog3x，利用其单调性比较；(2)分别比较与0的大小；(3)分类讨论底数的取值范围解：(1)因为函数ylog3x在(0，)上是增函数，所以f(1.9)f(2)所以log31.9log32(2)因为log23log210，log0.32log0.310，所以log23log0.32(3)当a1时，函数ylogax在定义域上是增函数，则有logaloga3.141；当0a1时，函数ylogax在定义域上是减函数，则有logalo
10、ga3.141综上所得，当a1时，logaloga3.141；当0a1时，logaloga3.141【例61】若a2ba1，试比较，logba，logab的大小分析：利用对数函数的单调性或图象进行判断解：ba1，010，logablogaa1，logb1logbalogbb，即0logba1由于1b，01由logba，a2b1，10，即logbalogablogba题型七 利用对数函数的单调性解不等式常见的对数不等式有三种类型：形如logaf(x)logag(x)的不等式，借助函数ylogax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a1与0a1两种情况讨论形如logaf(x)b的不等式，应将b化
11、为以a为对数的对数式的形式，再借助函数ylogax的单调性求解形如logaf(x)logbg(x)的不等式，基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数值，利用对数函数的单调性来脱去对数符号，同时应保证真数大于零，取交集作为不等式的解集形如f(logax)0的不等式，可用换元法(令tlogax)，先解f(t)0，得到t的取值范围然后再解x的范围【例7】解下列不等式：(1)； (2)logx(2x1)logx(3x)解：(1)由已知，得解得0x2故原不等式的解集是x|0x2(2)当x1时，有解得1x3；当0x1时，有解得0x所以原不等式的解集是【例71】若1，求a的取值范围解：1，11，即(1)当a
12、1时，ylogax为增函数，a，结合a1，可知a(2)当0a1时，ylogax为减函数，a，结合0a1，知0aa的取值范围是题型八 对数型函数单调性的讨论（1）解决与对数函数有关的函数的单调性问题的关键：一是看底数是否大于1，当底数未明确给出时，则应对底数a是否大于1进行讨论；二是运用复合法来判断其单调性；三是注意其定义域(2)关于形如ylogaf(x)一类函数的单调性，有以下结论：函数ylogaf(x)的单调性与uf(x)(f(x)0)的单调性，当a1时相同，当0a1时相反【例8】求函数ylog2(32x)的单调区间分析：首先确定函数的定义域，函数ylog2(32x)是由对数函数ylog2u
13、和一次函数u32x复合而成，求其单调区间或值域时，应从函数u32x的单调性、值域入手，并结合函数ylog2u的单调性考虑解：由32x0，解得函数ylog2(32x)的定义域是设u32x，x，u32x在上是减函数，且ylog2u在(0，)上单调递增，函数ylog2(32x)在上是减函数函数ylog2(32x)的单调减区间是【例8-1】求函数yloga(aax)的单调区间解：(1)若a1，则函数ylogat递增，且函数taax递减又aax0，即axa，x1函数yloga(aax)在(，1)上递减(2)若0a1，则函数ylogat递减，且函数taax递增又aax0，即axa，x1函数yloga(aa
14、x)在(1，)上递减综上所述，函数yloga(aax)在其定义域上递减析规律 判断函数ylogaf(x)的单调性的方法函数ylogaf(x)可看成是ylogau与uf(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断需特别注意的是，在求复合函数的单调性时，首先要考虑函数的定义域，即“定义域优先”【例82】已知f(x)(x2axa)在上是增函数，求a的取值范围解：是函数f(x)的递增区间，说明是函数ux2axa的递减区间，由于是对数函数，还需保证真数大于0令u(x)x2axa，f(x)在上是增函数，u(x)在上是减函数，且u(x)0在上恒成立即1a满足条件的a的取值范围是题
15、型九 对数型函数的奇偶性问题判断与对数函数有关的函数奇偶性的步骤是：(1)求函数的定义域，当定义域关于原点不对称时，则此函数既不是奇函数也不是偶函数，当定义域关于原点对称时，判断f(x)与f(x)或f(x)是否相等；(2)当f(x)f(x)时，此函数是偶函数；当f(x)f(x)时，此函数是奇函数；(3)当f(x)f(x)且f(x)f(x)时，此函数既是奇函数又是偶函数；(4)当f(x)f(x)且f(x)f(x)时，此函数既不是奇函数也不是偶函数【例9】判断函数f(x)(xR，a0，且a1)的奇偶性解：f(x)f(x)loga(x21x2)loga10，f(x)f(x)f(x)为奇函数【例9-1
16、】已知函数f(x)(a0，且a1)（1） 求函数f(x)的定义域；（2） 判断函数f(x)的奇偶性；（3） 求使f(x)0的x的取值范围分析：对于第(2)问，依据函数奇偶性的定义证明即可对于第(3)问，利用函数的单调性去掉对数符号，解出不等式解：(1)由0，得1x1，故函数f(x)的定义域为(1,1)(2)f(x)f(x)，又由(1)知函数f(x)的定义域关于原点对称，函数f(x)是奇函数(3)当a1时，由0loga1，得1，解得0x1；当0a1时，由0loga1，得01，解得1x0故当a1时，x的取值范围是x|0x1；当0a1时，x的取值范围是x|1x0题型十 反函数【例10】若函数yf(x
17、)是函数yax(a0，且a1)的反函数，且f(2)1，则f(x)()Alog2x B C D2x2解析：因为函数yax(a0，且a1)的反函数是f(x)logax，又f(2)1，即loga21，所以a2故f(x)log2x【例10-1】函数f(x)3x(0x2)的反函数的定义域为()A(0，) B(1,9 C(0,1) D9，)解析： 0x2，13x9，即函数f(x)的值域为(1,9故函数f(x)的反函数的定义域为(1,9【例10-2】若函数yf(x)的反函数图象过点(1,5)，则函数yf(x)的图象必过点()A(5,1) B(1,5) C(1,1) D(5,5)解析：由于原函数与反函数的图象
18、关于直线yx对称，而点(1,5)关于直线yx的对称点为(5,1)，所以函数yf(x)的图象必经过点(5,1)【例10-3】已知f(ex)x，则f(5)()Ae5B5eCln 5Dlog5e解析：(方法一)令tex，则xln t，所以f(t)ln t，即f(x)ln x所以f(5)ln 5(方法二)令ex5，则xln 5，所以f(5)ln 5【例10-5】已知对数函数f(x)的图象经过点，试求f(3)的值分析：设出函数f(x)的解析式，利用待定系数法即可求出解：设f(x)logax(a0，且a1)，对数函数f(x)的图象经过点，a2af(x)f(3)1【例10-6】已知对数函数f(x)的反函数的图象过点(2,9)，且f(b)，试求b的值解：设f(x)logax(a0，且a1)，则它的反函数为yax(a0，且a1)，由条件知a2932，从而a3于是f(x)log3x，则f(b)log3b，解得b.
