1、导数及其应用 【考纲说明】1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】导 数导数的概念导数的运算导数的应用导数的几何意义、物理意义函数的单调性函数的极值函数的最值常见函数的导数导数的运算法则一、导数的概念函数y=f
2、(x),如果自变量x在x0处有增量，那么函数y相应地有增量=f（x0+）f（x0），比值叫做函数y=f（x）在x0到x0+之间的平均变化率，即=。如果当时，有极限，我们就说函数y=f(x)在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数，记作f（x0）或y|。即f（x0）=。说明：（1）函数f（x）在点x0处可导，是指时，有极限。如果不存在极限，就说函数在点x0处不可导，或说无导数。（2）是自变量x在x0处的改变量，时，而是函数值的改变量，可以是零。由导数的定义可知，求函数y=f（x）在点x0处的导数的步骤：（1）求函数的增量=f（x0+）f（x0）；（2）求平均变化率=；（3）取极限
3、，得导数f(x0)=。二、导数的几何意义函数y=f（x）在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f（x）在点p（x0，f（x0）处的切线的斜率是f（x0）。相应地，切线方程为yy0=f/（x0）（xx0）。三、几种常见函数的导数 ; ; ; .四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： ( 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数，即：若C为常数,则.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： 法则3：两
4、个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：=（v0）。形如y=f的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解求导回代。法则：y|x= y|u u|x五、导数应用1、单调区间：一般地，设函数在某个区间可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数；如果在某区间内恒有，则为常数；2、极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3、最值：一般地，在区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值。求函数(x)在(a，b)内的极值；求函数(x)在区间
5、端点的值(a)、(b)；将函数(x)的各极值与(a)、(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。4定积分(1)概念：设函数f(x)在区间a，b上连续，用分点ax0x1xi1xixnb把区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间xi1，xi上取任一点i（i1，2，n）作和式In(i)x（其中x为小区间长度），把n即x0时，和式In的极限叫做函数f(x)在区间a，b上的定积分，记作：，即(i)x。这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。基本的积分公式：C； C（mQ， m1）；dxlnC；C；C；si
6、nxC；cosxC（表中C均为常数）。(2)定积分的性质（k为常数）；（其中acb。(3)定积分求曲边梯形面积由三条直线xa，xb(ab)，x轴及一条曲线yf(x) (f(x)0)围成的曲边梯的面积。如果图形由曲线y1f1(x)，y2f2(x)（不妨设f1(x)f2(x)0），及直线xa，xb（a0，且x1时，f(x)，求k的取值范围。b=1f(x)=1【解析】(1)f,(x)=由于直线x+2y-3=0的斜率为，且过点(1,1)，=f,(1)=故 即 解得a=1，b=1。(2)由（1）知，所以。考虑函数，则。(i)设，由知，当时，。而，故当时，可得；当x（1，+）时，h（x）0从而当x0,且x
7、1时，f（x）-（+）0，即f（x）+.（ii）设0k0,故h （x）0,而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）0，可得h（x）0,而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）0，可得 h（x）0;当x时，f (x)0,所以f(x)在x=处取得极大值，在x=处取得极小值。（2） 若为上的单调函数则f (x)恒大于等于零或f (x)恒小于等于零，因为a0所以=（-2a）2-4a0，解得00）.（）令F（x）xf（x），讨论F（x）在（0.）内的单调性并求极值；（）求证：当x1时，恒有xln2x2a ln x1.【课后作业】一、选择题1.（2005全国卷文）函数,已知在时取得极值,则=( )
8、A 2B 3C 4D 52(2008海南、宁夏文）设，若，则（ ）A B C D 3（2005广东）函数是减函数的区间为（ ）A B C D（0，2）4.（2008安徽文）设函数 则（ ）A 有最大值 B 有最小值 C 是增函数D 是减函数5（2007福建文、理）已知对任意实数x有f(x)=f(x)，g(-x)=g(x)，且x0时，f(x)0，g(x)0，则x0，g(x)0 B f(x)0，g(x)0C f(x)0 D f(x)0，g(x)0）有极大值9. （）求m的值； （）若斜率为-5的直线是曲线的切线，求此直线方程.【参考答案】【课堂练习】一、选择110AADBD DDCCC(2) 填空
9、（1） 3 ； 12； 13. 2 ； 14. ,球的体积函数的导数等于球的表面积函数三、解答题15. 解：每月生产x吨时的利润为，故它就是最大值点，且最大值为：答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.16. 解：()因为, 所 即当因斜率最小的切线与平行，即该切线的斜率为-12，所以 解得()由()知 17解：（1） 求导：当时，, 在上递增当，求得两根为即在递增, 递减, 递增（2）要使f(x)在在区间内是减函数，当且仅当，在恒成立，由的图像可知，只需，即, 解得。a2。所以，的取值范围。18.解：（）因为 所以切线的斜率为故切线的方程为即。（）令y= 0得x=t+1
10、, x=0得所以S（t）=从而当（0，1）时，0, 当（1,+）时,0,所以S(t)的最大值为S(1)=。19 解：的定义域为（）当时，；当时，；当时，从而，分别在区间，单调增加，在区间单调减少（）由（）知在区间的最小值为又所以在区间的最大值为20.（）解：根据求导法则得故 于是列表如下：x (0,2) 2 (2,+)F（x） - 0 +F(x) 极小值F（2） 故知F（x）在（0，2）内是减函数，在（2，+）内是增函数，所以，在x2处取得极小值F（2）2-2In2+2a.（）证明：由于是由上表知，对一切从而当所以当故当【课后作业】一、 选择1-10 DBDAB ACABD一、 填空11. ；
11、 12. ；13. 32；14. 2 , -2 .三、解答题15. 解：（I） f (x)3x26x9令f (x)0，解得x3，所以函数f(x)的单调递减区间为（，1），（3，）（II）因为f(2)81218a=2a，f(2)81218a22a，所以f(2)f(2)因为在（1，3）上f (x)0，所以f(x)在1, 2上单调递增，又由于f(x)在2，1上单调递减，因此f(2)和f(1)分别是f(x)在区间2，2上的最大值和最小值，于是有 22a20，解得 a2 故f(x)=x33x29x2，因此f(1)13927， 即函数f(x)在区间2，2上的最小值为716.解（），。从而是一个奇函数，所以
12、得，由奇函数定义得；（）由（）知，从而，由此可知，和是函数是单调递增区间；是函数是单调递减区间；在时，取得极大值，极大值为，在时，取得极小值，极小值为。一、 解：()由的图象过点P（0，2）,d=2知,所以 ,(x)=3x2+2bx+c,由在(-1,(-1)处的切线方程是6x-y+7=0,知-6-f(-1)+7=0,即f(-1)=1, (-1)=6,即解得b=c=-3。故所求的解析式为f(x)=x3-3x2-3x+2,() (x)=3x2-6x-3,令3x2-6x-3=0即x2-2x-1=0,解得x1=1-,x2=1+,当x1+时, (x)0;当1-x1+时, (x)0f(x)=x3-3x2-
13、3x+2在(1+,+)内是增函数,在(-, 1-)内是增函数,在(1-,1+)内是减函数.18.解：设长方体的宽为x（m），则长为2x(m)，高为.故长方体的体积为从而令V（x）0，解得x=0（舍去）或x=1，因此x=1.当0x1时，V（x）0；当1x时，V(x)0，故在x=1处V（x）取得极大值，并且这个极大值就是V（x）的最大值。从而最大体积VV（x）912-613（m3），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m3。19解：（）因为是函数的极值点，所以，即，因此经验证，当时，是函数的极值点（）由题设，当在
14、区间上的最大值为时，对一切都成立，即对一切都成立令，则由，可知在上单调递减，所以， 故a的取值范围是（2）当时，抛物线的对称轴为，当a0时，有h(0)= -60, 所以h(x)在上单调递减，h(x) 0时,因为h(0)= -60,所以要使h(x)0在上恒成立,只需h(2) 0成立即可,解得a;综上，的取值范围为20.解：() f(x)3x2+2mxm2=(x+m)(3xm)=0,则x=m或x=m,当x变化时，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(,m)m(m,)(,+)f(x)+00+f (x)极大值极小值从而可知，当x=m时，函数f(x)取得极大值9，即f(m)m3+m3+m3+1=9,m2.()由()知，f(x)=x3+2x24x+1,依题意知f(x)3x24x45，x1或x. 又f(1)6，f()，所以切线方程为y65(x1),或y5(x)，即5xy10，或135x27y230.19 / 19
