1、7-5-2.组合的基本应用（二）教学目标1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等知识要点一、组合问题日常生活中有很多“分组”问题如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有
2、多少种分组方法的问题一般地，从个不同元素中取出个()元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合 从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合从个不同元素中取出个元素()的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个不同元素的组合数记作一般地，求从个不同元素中取出的个元素的排列数可分成以下两步：第一步：从个不同元素中取出个元素组成一组，共有种方法；第二步：将每一个组合中的个元素进行全排列，共有种排法根据乘法原理，得到因此，组合数
3、这个公式就是组合数公式二、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：()这个公式的直观意义是：表示从个元素中取出个元素组成一组的所有分组方法表示从个元素中取出()个元素组成一组的所有分组方法显然，从个元素中选出个元素的分组方法恰是从个元素中选个元素剩下的()个元素的分组方法例如，从人中选人开会的方法和从人中选出人不去开会的方法是一样多的，即规定，例题精讲模块一、组合之几何问题【例 1】 在一个圆周上有个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的： 直线段； 三角形； 四边形 【考点】组合之基本运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由于个点全在圆周上，所以这个点没有三点共线，故只要
4、在个点中取个点，就可以画出一条线段；在个点中取个点，就可以画出一个三角形；在个点中取个点，就可以画出一个四边形，三个问题都是组合问题由组合数公式： 可画出(条)直线段 可画出(个)三角形 可画出(个)四边形【答案】 【巩固】 平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？ 【考点】组合之基本运用 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 这道题不考虑线段两个端点的顺序，是组合问题，实际上是求从个元素中取出个元素的组合数，由组合数公式，所以以个点中每个点为端点的线段共有条【答案】【巩固】 在正七边形中，以七边形的三个顶点为顶点的三角形共有多少个？ 【考点】组合之基本运用 【难度】2星 【题
5、型】解答 【解析】 三角形的形状与三个顶点选取的先后顺序无关，所以这是一个组合问题，实际上是求从个点中选出个点的选法，等于(种)【答案】【例 2】 平面内有个点，其中点共线，此外再无三点共线 可确定多少个三角形？ 可确定多少条射线？ 【考点】组合之基本运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 分三类：有个顶点在共线的点中，另个顶点在不共线的点中的三角形有个；有个顶点在共线的点中，另个顶点在不共线的点中的三角形有(个)；个顶点都在不共线的点中的三角形有个根据加法原理，可确定个三角形 两点可以确定两条射线，分三类：共线的点，确定条射线；不共线的点，每两点确定两条射线，共有(条)射线；从共线的点与
6、不共线的点中各取一个点可以确定(条)射线根据加法原理，可以确定(条)射线【答案】 【巩固】 如图，问： 图中，共有多少条线段？ 图中，共有多少个角？ 图 图【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 在线段上共有个点（包括端点、）注意到，只要在这七个点中选出两个点，就有一条以这两个点为端点的线段，所以，这是一个组合问题，而表示从个点中取两个不同点的所有取法，每种取法可以确定一条线段，所以共有条线段由组合数公式知，共有(条)不同的线段； 从点出发的射线一共有条，它们是， ，注意到每两条射线可以形成一个角，所以，只要看从条射线中取两条射线有多少种取法，就有多少个角显然，是组合问题
7、，共有种不同的取法，所以，可组成个角 由组合数公式知，共有(个)不同的角【答案】 模块二、组合之应用题【例 3】 6个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？ 【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 这与课前挑战的情景是类似的因为两个人握手是相互的，个朋友每两人握手一次，握手次数只与握手的两个人的选取有关而与两个人的顺序无关，所以这是个组合问题由组合数公式知，(次)所以一共握手次【答案】【巩固】 某班毕业生中有名同学相见了，他们互相都握了一次手，问这次聚会大家一共握了多少次手？ 【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 (次)【答案】【例 4】 学校
8、开设门任意选修课，要求每个学生从中选学门，共有多少种不同的选法？ 【考点】组合之基本运用 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 被选中的门排列顺序不予考虑，所以这是个组合问题由组合数公式知，(种)所以共有种不同的选法【答案】【例 5】 有2克，5克，20克的砝码各1个，只用砝码和一架已经调节平衡了的天平，能称出 种不同的质量。【考点】组合之基本运用 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，一试，第5题【解析】 第一大类：砝码只放一边。共有或者（种）；第二大类：两边都放砝码。再分类：两边各放一个，共有种；一边放两个一边放一个有或者种。所以这一大类共有（种）。根据加法原理，共能称出7+
9、6=13（种）不同的质量。【答案】种【例 6】 工厂某日生产的10件产品中有2件次品，从这10件产品中任意抽出3件进行检查，问：（1）一共有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种？ 【考点】组合之基本运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 （1）从10件产品中抽出3件，抽法总数为=120（种）（2）3件中恰好一件次品，那么还有两件正常品抽法总数为=56（种）（3）与“至少有一件是次品”互补的事件是“全都不是次品”全都不是次品的抽法总数为=56（种）所以至少有一件次品的抽法总数为120-56=64（种）【答案】（1
10、）120 （2）56 （3）64 【例 7】 200件产品中有5件是次品，现从中任意抽取4件，按下列条件，各有多少种不同的抽法（只要求列式）？都不是次品；至少有1件次品；不都是次品 【考点】组合之基本运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 第题：与顺序无关；都不是次品，即全部都是正品，正品有195件第题：与顺序无关；至少有1件次品，即有1件次品、2件次品、3件次品、4件次品等四类情况，次品共5件可用直接法解答，也可用间接法解答第题：与顺序无关；不都是次品，即至少有1件是正品都不是次品，即全部为正品共有抽法种至少有1件次品，包括1件、2件、3件、4件次品的情况共有抽法种（或种）不都是次品，即
11、至少有1件正品共有抽法种（或种）【答案】 【例 8】 某班要在名同学中选出名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？如果在人中选人站成一排，有多少种站法？ 【考点】组合之基本运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 要在人中选人去参加夏令营，那么，所有的选法只与选出的同学有关，而与三名同学被选出的顺序无关所以，应用组合数公式，共有种不同的选法要在人中选出人站成一排，那么，所有的站法不仅与选出的同学有关，而且与三名同学被选出的顺序有关所以，应用排列数公式，共有种不同的站法由组合数公式，共有(种)不同的选法；由排列数公式，共有(种)不同的站法【答案】【例 9】 将三盘同样的红花和四盘同样的黄花摆放成
12、一排，要求三盘红花互不相邻，共有_种不同的方法 【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】希望杯，1试【解析】 因为三盘红花不能相邻，所以可以先将四盘黄花摆好，红花只能摆在黄花之间或者黄花的两边这样共有个空，每个空最多只能放一盘红花，相当于从个元素中取出个，所以共有种不同的放法【答案】【例 10】 在一次合唱比赛中，有身高互不相同的8个人要站成两排，每排4个人，且前后对齐而且第二排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住一共有多少种不同的排队方法？ 【考点】组合之基本运用 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 因为所有人的身高两两不同，所以只要确定了位于同一列的两个
13、人是谁，也就确定了他们的前后关系所以排队方法总数为：（种）【答案】【例 11】 在一次考试的选做题部分，要求在第一题的个小题中选做个小题，在第二题的个小题中选做个小题，在第三题的个小题中选做个小题，有多少种不同的选法？ 【考点】组合之基本运用 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 由于选做的题目只与选取的题目有关，而与题目的顺序无关，所以在三道题中选题都是组合问题第一题中，个小题中选做个，有(种)选法；第二题中，个小题中选做个，有(种)选法；第三题中，个小题中选做个，有(种)选法根据乘法原理，一共有(种)不同的选法【答案】【例 12】 某年级个班的数学课，分配给甲、乙、丙三名数学老师任教，每人
14、教两个班，分派的方法有多少种？ 【考点】组合之基本运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 分三步进行：第一步，取两个班分配给甲，与先后顺序无关，是组合问题，有(种)选法；第二步，从余下的个班中选取两个班给乙，有(种)选法；第三步，剩余的两个班给丙，有种选法根据乘法原理，一共有(种)不同的分配方法【答案】【例 13】 将19枚棋子放入的方格网内，每个方格至多只放一枚棋子，且每行每列的棋子个数均为奇数个，那么共有_种不同的放法 【考点】组合之基本运用 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】迎春杯，高年级，初赛【解析】 的方格网共有25个方格，放入19枚棋子，说明还有6个空格由于棋子的数目较多，
15、直接考虑棋子比较困难，可以反过来考虑6个空格由于每行每列的棋子个数均为奇数个，而每行每列都有5个方格，说明每行每列的空格数都是偶数个那么每行每列的空格数可能为0，2或4如果有某一行或某一列的空格数为4个，为保证每行每列的空格数都是偶数个，那么这4个空格所在的列或行都至少还有另外1枚棋子，这样至少有8个空格，与题意不符，所以每行每列的空格数不能为4个，只能为0个或2个则肯定是某3行和某3列中每行每列各有2个空格，如下：其中表示空格，表示有棋子的方格，其它的方格则全部有棋子选择有空格的3行3列有种选法，在这3行3列中选择6个空格(也相当于每行每列选择1枚棋子)有种选法，所以总共有种不同的放法【答案
16、】【例 14】 甲射击员在练习射击，前方有三种不同类型的气球，共3串，有一串是红气球3个，有一串是黄气球2个，有一串是绿气球4个，而且每次射击必须射最下面的气球，问有多少种不同的射法？ 【考点】组合之基本运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据射击规则，任意一种打法都对应三个红色气球，二个黄色气球，四个绿色气球，即9个物体的排列，当然有种排列方法但是，其中三个红色气球是不能随意排列的，应该是固定由下到上的，而上面却包括了它的随意排列的情况，所以应该除以，其他黄色气球、绿色气球依此类推所以共有射击方法：(种)本题也可以这样想：任意一种打法都对应9个物体的排列，从中先选出3个位置给红色气球
17、，有种选法；这3个红色气球的顺序是固定的，所以它们之间只有一种排列顺序；再从剩下的6个位置中选出2个给黄色气球，有种选法；它们之间也只有一种排列顺序；剩下的4个位置给绿色气球，它们之间也只有一种排列顺序所以，根据乘法原理，共有种不同的射法【答案】【例 15】 某池塘中有三只游船，船可乘坐人，船可乘坐人，船可乘坐人，今有个成人和个儿童要分乘这些游船，为安全起见，有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，那么他们人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？ 【考点】组合之基本运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 由于有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，所以儿童不能乘坐船若这人都不乘坐船，
18、则恰好坐满两船，若两个儿童在同一条船上，只能在船上，此时船上还必须有个成人，有种方法；若两个儿童不在同一条船上，即分别在两船上，则船上有个儿童和个成人，个儿童有种选择，个成人有种选择，所以有种方法故人都不乘坐船有种安全方法；若这人中有人乘坐船，这个人必定是个成人，有种选择其余的个成人与个儿童，若两个儿童在同一条船上，只能在船上，此时船上还必须有个成人，有种方法，所以此时有种方法；若两个儿童不在同一条船上，那么船上有个儿童和个成人，此时个儿童和个成人均有种选择，所以此种情况下有种方法；故人中有人乘坐船有种安全方法所以，共有种安全乘法【答案】【例 16】 有蓝色旗面，黄色旗面，红色旗面这些旗的模样
19、、大小都相同现在把这些旗挂在一个旗杆上做成各种信号，如果按挂旗的面数及从上到下颜色的顺序区分信号，那么利用这些旗能表示多少种不同信号? 【考点】组合之基本运用 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 按挂旗的面数来分类考虑第一类：挂一面旗从蓝、黄、红中分别取一面，可以表示种不同信号；第二类：挂两面旗按颜色分成：红黄（种）；红蓝（种）；黄蓝（ 种）；黄黄（种）；蓝蓝（种）；共种；第三类：挂三面旗按颜色分类：红蓝蓝（种）；红黄黄（种）；红黄蓝（种）；黄黄蓝（种）；黄蓝蓝（种）；蓝蓝蓝（种）；共种；第四类：挂四面旗按颜色分类：红黄黄蓝（或种）；红黄蓝蓝（或种）；红蓝蓝蓝（种）；黄黄蓝蓝（种）；黄蓝蓝蓝
20、（种），共种；第五类：挂五面旗按颜色分类：红黄黄蓝蓝（种）；红黄 蓝蓝蓝（种）；黄黄蓝蓝蓝（种），共种；第六类：挂六面旗红黄黄蓝蓝蓝（种）根据加法原理，共可以表示种不同的信号【答案】【例 17】 从名男生，名女生中选出人参加游泳比赛在下列条件下，分别有多少种选法？恰有名女生入选；至少有两名女生入选；某两名女生，某两名男生必须入选；某两名女生，某两名男生不能同时入选；某两名女生，某两名男生最多入选两人 【考点】组合之基本运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 恰有名女生入选，说明男生有人入选，应为种；要求至少两名女生人选，那么“只有一名女生入选”和“没有女生入选”都不符合要求运用包含与排除的
21、方法，从所有可能的选法中减去不符合要求的情况：；人必须入选，则从剩下的人中再选出另外人，有种；从所有的选法种中减去这个人同时入选的种：分三类情况：人无人入选；人仅有人入选；人中有人入选，共：【答案】种；种；【例 18】 从名男生，名女生中选出名代表 不同的选法共有多少种？ “至少有一名女生”的不同选法共有多少种？ “代表中男、女生都要有”的不同选法共有多少种？ 【考点】组合之基本运用 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 相当于从名学生中任意选名，不同的选法有(种) 方法一：可以分成三类：选名女生，选名男生由乘法原理，有(种)选法；选名女生，选名男生由乘法原理，有(种)选法；选名女生，男生不选
22、，有种选法根据加法原理，“至少有一名女生”的不同选法有(种)方法二：先不考虑对女生的特殊要求，从从名学生中任意选名，有(种)选法；考虑一个女生都不选的情况，则名代表全产生于男生中，有 (种)选法，所以，至少选一名女生的选法有种，这种“去杂法”做起来也比较简单 “代表中男、女生都要有”，可以分成两类：名男生，名女生，由乘法原理，有(种)选法；名男生，名女生，由乘法原理，有(种)选法根据加法原理，“代表中男、女生都要有”的不同选法共有(种)【小结】选择问题是组合问题中的一类常见问题，可根据具体情况从正面考虑或逆向求解，采用“去杂法”【答案】 【巩固】 在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科
23、主任各一名，现要组成5人医疗小组送医下乡，按照下列条件各有多少种选派方法？ 有3名内科医生和2名外科医生； 既有内科医生，又有外科医生； 至少有一名主任参加； 既有主任，又有外科医生 【考点】组合之基本运用 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 先从名内科医生中选名，有种选法；再从名外科医生中选名，共有种选法根据乘法原理，一共有选派方法种 用“去杂法”较方便，先考虑从名医生中任意选派人，有 种选派方法；再考虑只有外科医生或只有内科医生的情况由于外科医生只有人，所以不可能只派外科医生如果只派内科医生，有种选派方法所以，一共有种既有内科医生又有外科医生的选派方法 如果选名主任，则不是主任的名医生要
24、选人，有种选派方法；如果选名主任，则不是主任的名医生要选人，有种选派方法根据加法原理，一共有种选派方法 分两类讨论：若选外科主任，则其余人可任意选取，有种选取方法；若不选外科主任，则必选内科主任，且剩余人不能全选内科医生，用“去杂法”有种选取法根据加法原理，一共有种选派方法【答案】 【例 19】 在10名学生中，有5人会装电脑，有3人会安装音响设备，其余2人既会安装电脑，又会安装音响设备，今选派由人组成的安装小组，组内安装电脑要人，安装音响设备要人，共有多少种不同的选人方案？ 【考点】组合之基本运用 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 按具有双项技术的学生分类： 两人都不选派，有(种)选派方
25、法； 两人中选派人，有种选法而针对此人的任务又分两类：若此人要安装电脑，则还需人安装电脑，有(种)选法，而另外会安装音响设备的人全选派上，只有种选法由乘法原理，有(种)选法；若此人安装音响设备，则还需从人中选人安装音响设备，有(种)选法，需从人中选人安装电脑，有(种)选法由乘法原理，有(种)选法根据加法原理，有(种)选法；综上所述，一共有(种)选派方法 两人全派，针对两人的任务可分类讨论如下：两人全安装电脑，则还需要从人中选人安装电脑，另外会安装音响设备的人全选上安装音响设备，有(种)选派方案；两人一个安装电脑，一个安装音响设备，有(种)选派方案；两人全安装音响设备，有(种)选派方案根据加法原
26、理，共有(种)选派方案综合以上所述，符合条件的方案一共有(种)【答案】 【例 20】 有11名外语翻译人员，其中名是英语翻译员，名是日语翻译员，另外两名英语、日语都精通从中找出人，使他们组成两个翻译小组，其中人翻译英文，另人翻译日文，这两个小组能同时工作问这样的分配名单共可以开出多少张？ 【考点】组合之基本运用 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 针对两名英语、日语都精通人员(以下称多面手)的参考情况分成三类： 多面手不参加，则需从名英语翻译员中选出人，有种选择，需从名日语翻译员中选出人，有种选择由乘法原理，有种选择 多面手中有一人入选，有种选择，而选出的这个人又有参加英文或日文翻译两种可能
27、：如果参加英文翻译，则需从名英语翻译员中再选出人，有种选择，需从名日语翻译员中选出人，有种选择由乘法原理，有种选择；如果参加日文翻译，则需从名英语翻译员中选出人，有种选择，需从名日语翻译员中再选出名，有种选择由乘法原理，有种选择根据加法原理，多面手中有一人入选，有种选择 多面手中两人均入选，对应一种选择，但此时又分三种情况：两人都译英文；两人都译日文；两人各译一个语种情况中，还需从名英语翻译员中选出人，有种选择需从名日语翻译员中选人，种选择由乘法原理，有种选择情况中，需从名英语翻译员中选出人，有种选择还需从名日语翻译员中选出人，有种选择根据乘法原理，共有种选择情况中，两人各译一个语种，有两种安
28、排即两种选择剩下的需从名英语翻译员中选出人，有种选择，需从名日语翻译员中选出人，有种选择由乘法原理，有种选择根据加法原理，多面手中两人均入选，一共有种选择综上所述，由加法原理，这样的分配名单共可以开出张【小结】组合问题中出现“多面手”时，往往“多面手”是进行分类讨论的对象，这样可以简化问题【答案】 【巩固】 某旅社有导游人，其中人只会英语，人只会日语，其余个既会英语又会日语现要从中选人，其中人做英语导游，另外人做日语导游则不同的选择方法有多少种？ 【考点】组合之基本运用 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 此题若从“多面手”出发来做，不太简便，由于只会日语的人较少，所以针对只会日语的人讨论，
29、分三类： 只会日语的人都出场，则还需个多面手做日语导游，有种选择从剩下的只会英语的人和多面手共人中选人做英语导游，有种选择由乘法原理，有种选择 只会日语的人中有人出场，有种选择还需从多面手中选人做日语导游，有种选择剩下的只会英语的人和多面手共人中选人做英语导游，有种选择由乘法原理，有种选择 只会日语的人不出场，需从多面手中选人做日语导游，有种选择剩下的只会英语的人和多面手共人中选人做英语导游，有种选择由乘法原理，有种选择根据加法原理，不同的选择方法一共有种【小结】当“多面手”的数量较多时，对“多面手”分类讨论问题反倒不简单了那么此时应灵活选择数量较少的一类元素讨论(如本题中的会日语的导游)做题时要根据具体问题灵活处理【答案】
