1、 函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像)平面直角坐标系1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系2、各个象限内点的特征:第一象限：（+，+） 点P（x,y），则x0,y0；第二象限：（-，+） 点P（x,y），则x0,y0；第三象限：（-，-） 点P（x,y），则x0,y0；第四象限：（+，-） 点P（x,y），则x0,y0；3、坐标轴上点的坐标特征： x轴上的点，纵坐标为零；y轴上的点，横坐标为零；原点的坐标为（0 , 0）。两坐标轴的点不属于任何象限。4、点的对称特征：已知点P(m,n),关于x轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同，纵坐标
2、反号关于y轴的对称点坐标是(-m,n) 纵坐标相同，横坐标反号关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横，纵坐标都反号5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：平行于x轴的直线上的任意两点：纵坐标相等；平行于y轴的直线上的任意两点：横坐标相等。6、各象限角平分线上的点的坐标特征：第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。 第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。7、点P（x,y）的几何意义：点P（x,y）到x轴的距离为 |y|，点P（x,y）到y轴的距离为 |x|。点P（x,y）到坐标原点的距离为8、两点之间的距离：X轴上两点为A、B |AB|Y轴上两点为C、D |CD|已知A、B AB|
3、=9、中点坐标公式：已知A、B M为AB的中点,则：M=( , )10、点的平移特征： 在平面直角坐标系中，将点（x,y）向右平移a个单位长度，可以得到对应点（ x-a，y）；将点（x,y）向左平移a个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y）；将点（x,y）向上平移b个单位长度，可以得到对应点（x，yb）；将点（x,y）向下平移b个单位长度，可以得到对应点（x，yb）。注意：对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上点的坐标的加减变化，我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移。函数的基本知识：1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量：在一个变化过
4、程中只能取同一数值的量。2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。 *判断A是否为B的函数，只要看B取值确定的时候，A是否有唯一确定的值与之对应3、 定义域和值域：定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。值域：一般的，一个函数的因变量所得的值的范围，叫做这个函数的值域。4、确定函数定义域的方法： （1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零； （3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；
5、（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零； （5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。5、函数的图像一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象6、 函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。7：增减性（单调性）：增减性又叫单调性，分两种情况：单调增、单调减单调增：y随x的增大而增大 单调减：y随x的增大而减小 口诀：“同增异减”，注意：单调性只适用于单调区间，即有一个X只有唯一确定的y与之对应时。8、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些
6、自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。9、函数的表示方法列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。一次函数图象和性质【知识梳理】一、一次函数的基础知识1、定义：一般地，形如y=kxb(k,b是常数，k0
7、)，那么y叫做x的一次函数当b=0时，y=kxb即y=kx，称为正比倒函数，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的一般形式： y=kx+b (k0) 说明： k不为零 x指数为1 b取任意实数2、解析式：y=kx+b(k、b是常数，k0)3、图像：一次函数y=kx+b的图象是经过（0，b）和（-，0）两点的一条直线，我们称它为直线y=kx+b, 4、增减性（单调性）： k0，y随x的增大而增大（单调增）；k0，y随x的增大而增大；k0时直线与y轴交于原点上方（即y轴的正半轴）；当b0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；口诀“正上”当b0b0经过：第一、二、三象限不经过：第四象限
8、经过：第一、三、四象限不经过：第二象限经过：第一、三象限不经过：第二、四象限增减性（单调性）：图象从左到右上升，y随x的增大而增大，单调增k0，y随x的增大而减小（单调减）；k0)和y=(k0)，在同一坐标系中的图象可能是（ ） A B C D在一次函数y=2x-1的图象上，到两坐标轴距离相等的点有（ ） A、1个 B、2个 C、3个 D、无数个若点（-2，y1）、（-1，y2）、（1，y3）在反比例函数的图像上，则下列结论中正确的是（ D ）A、 y1y2y3 B、y1y2y1y3 D、y3y1y2已知一次函数y=(m2-4)x+1-m的图象在y轴上的截距与一次函数y=(m2-2)x+m2-
9、3的图象在y轴上的截距互为相反数，则m=_-1_。函数专题训练一、选择题1已知正比例函数y(m1)x，y随x的增大而减小，则m的取值范围是( )Am1 Bm1 Cm1 Dm12若一次函数yaxb的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是( )Aab0 Bab0 Ca2b0 Dab03若将抛物线yx22x1沿着x轴向左平移1个单位，再沿y轴向下平移2个单位，则得到的新抛物线的顶点坐标是( )A(0，2 ) B(0，2) C(1，2) D(1，2)4若点A(5，y1)，B(3，y2)，C(2，y3)在反比例函数y的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )Ay1y3y2 By1y2y
10、3 Cy3y2y1 Dy2y1y35如图，已知二次函数yax2bxc(a0)的图象与x轴交于点A(1，0)，与y轴的交点B在(0，2)和(0，1)之间(不包括这两点)，对称轴为直线x1.下列结论：abc0； 4a2bc0； 4acb28a ；a； bc.其中含所有正确结论的选项是( ) A B C D二、填空题7将抛物线y2(x1)22向左平移3个单位，再向下平移4个单位，那么得到的抛物线的表达式为_ 8在函数y(x2)0中，自变量x的取值范围是_ _9在同一直角坐标系中，P、Q分别是yx3与y3x5的图象上的点，且P、Q关于原点成中心对称，则点P的坐标是_ _ 10如图，在平面直角坐标系中，
11、点A在第二象限内，点B在x轴上，AOB30，ABBO，反比例函数y(x0)的图象经过点A，若SABO，则k的值为_ _ 11如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为_ _米12如图，直线yxb与直线ykx6交于点P(3，5)，则关于x的不等式xbkx6的解集是_ _13如图，双曲线y在第一象限内的图象与等腰直角三角形OAB相交于C点和D点，A90，OA1，OC2BD，则k的值是_ _14.如图，抛物线yx22x3与y轴交于点C，点D(0，1)，点P是抛物线上的动点若PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为_ _三、解答题15昨天
12、早晨7点，小明乘车从家出发，去西安参加中学生科技创新大赛，赛后，他当天按原路返回，如图，是小明昨天出行的过程中，他距西安的距离y(千米)与他离家的时间x(时)之间的函数图象根据下面图象，回答下列问题： (1)求线段AB所表示的函数关系式；(2)已知昨天下午3点时，小明距西安112千米，求他何时到家？16如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数yaxb的图象与反比例函数y的图象相交于点A(4，2)，B(m，4)，与y轴相交于点C.(1)求反比例函数和一次函数的表达式；(2)求点C的坐标及AOB的面积17已知抛物线y(xm)2(xm)，其中m是常数(1)求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个
13、公共点；(2)若该抛物线的对称轴为直线x.求该抛物线的函数解析式； 把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点18旅游公司在景区内配置了50辆观光车供游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x(元)是5的倍数发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆已知所有观光车每天的管理费是1100元(1)优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？(注：净收入租车收入管理费)(2)当每辆车的日租金为多少元时，每天的
14、净收入最多？19某校准备组织师生共60人，从南靖乘动车前往厦门参加夏令营活动，动车票价格如下表所示：(教师按成人票价购买，学生按学生票价购买)运行区间成人票价(元/张)学生票价(元/张)出发站终点站一等座二等座二等座南靖厦门262216若师生均购买二等座票，则共需1020元(1)参加活动的教师有_ _人，学生有_ _人；(2)由于部分教师需提早前往做准备工作，这部分教师均购买一等座票，而后续前往的教师和学生均购买二等座票设提早前往的教师有x人，购买一、二等座票全部费用为y元求y关于x的函数关系式；若购买一、二等座票全部费用不多于1032元，则提早前往的教师最多只能多少人？20如图，已知抛物线yax2bxc(a0)的对称轴为直线x1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点B.(1)若直线ymxn经过B、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴x1上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标15
