1、分式的知识点及典型例题分析1、分式的定义：例：下列式子中，、8a2b、-、2-、 、中分式的个数为（ ） （A） 2 （B） 3 （C） 4 (D) 5练习题：（1）下列式子中，是分式的有 . ； ；. 下列式子，哪些是分式； ； ；.2、分式有、无意义：（1）使分式有意义：令分母0按解方程的方法去求解；（2）使分式无意义：令分母=0按解方程的方法去求解；例1：当x 时，分式有意义； 例2：分式中，当时，分式没有意义；例3：当x 时，分式有意义； 例4：当x 时，分式有意义；例5：，满足关系 时，分式无意义；例6：无论x取什么数时，总是有意义的分式是（ ）A B. C. D.例7：使分式 有意
2、义的x的取值范围为（）ABCD例8：要是分式没有意义，则x的值为（ ）A. 2 或-3 C. -1 3、分式的值为零：使分式值为零：令分子=0且分母0，注意：当分子等于0使，看看是否使分母=0了，如果使分母=0了，那么要舍去。例1：当x 时，分式的值为0； 例2：当x 时，分式的值为0例3：如果分式的值为为零,则a的值为( ) A. C. D.以上全不对例4：能使分式的值为零的所有的值是 （ ）A B C或 D或例5：要使分式的值为0，则x的值为（ ）或-3 D 2例6：若,则a是( )A.正数 B.负数 C.零 D.任意有理数4、分式的基本性质的应用：分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除
3、以一个不等于0的整式，分式的值不变。 例1： ； ；如果成立,则a的取值范围是_；例2： 例3：如果把分式中的a和b都扩大10倍，那么分式的值（ ）A、扩大10倍 B、缩小10倍 C、是原来的20倍 D、不变例4：如果把分式中的x，y都扩大10倍，则分式的值（ ） A扩大100倍 B扩大10倍 C不变 D缩小到原来的例5：若把分式的x、y同时缩小12倍，则分式的值（）A扩大12倍B缩小12倍C不变D缩小6倍例6：若x、y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（ ）A、 B、 C、 D、例7：根据分式的基本性质，分式可变形为（ ）A B C D 例8：不改变分式的值，使分式的分子、分
4、母中各项系数都为整数， ；例9：不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数， = 。5、分式的约分及最简分式：约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分分式约分的依据：分式的基本性质分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式约分的结果：最简分式（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式）约分主要分为两类：第一类：分子分母是单项式的，主要分数字，同字母进行约分。第二类：分子分母是多项式的，把分子分母能因式分解的都要进行因式分解，再去找共同的因式约去。例1：下列式子（1）；（2）；（3）；（4）中正确的是（ ）A 、1个 B 、2 个 C、 3
5、 个 D、 4 个例2：下列约分正确的是（ ）A、； B、； C、； D、例3：下列式子正确的是( )A B. C. D.例4：下列运算正确的是（ ）A、 B、 C、 D、例5：下列式子正确的是（ ）A B C D例6：化简的结果是（ ）A、 B、 C、 D、例7：约分： ；= ； 。例8：约分： ； ； ； ； _。例9：分式，中，最简分式有( )A1个 B2个 C3个 D4个6、分式的通分及最简公分母：通分：主要分为两类：第一类：分母是单项式；第二类：分母是多项式（要先把分母因式分解）分为三种类型：“二、三”型；“二、四”型；“四、六”型等三种类型。“二、三”型：指几个分母之间没有关系，最
6、简公分母就是它们的乘积。例如：最简公分母就是。“二、四”型：指其一个分母完全包括另一个分母，最简公分母就是其一的那个分母。例如：最简公分母就是“四、六”型：指几个分母之间有相同的因式，同时也有独特的因式，最简公分母要有独特的；相同的都要有。例如：最简公分母是：这些类型自己要在做题过程中仔细地去了解和应用，仔细的去发现之间的区别与联系。例1：分式的最简公分母是（ ）A B C D例2：对分式，通分时， 最简公分母是（ ）Ax2y B例3：下面各分式：,，其中最简分式有（ ）个。A. 4B. 3C. 2D. 1例4：分式，的最简公分母是 .例5：分式a与的最简公分母为_；例6：分式的最简公分母为
7、。8、分式的加减：分式加减主体分为：同分母和异分母分式加减。1、同分母分式不用通分，分母不变，分子相加减。2、异分母分式要先通分，在变成同分母分式就可以了。通分方法：先观察分母是单项式还是多项式，如果是单项式那就继续考虑是什么类型，找出最简公分母，进行通分；如果是多项式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型，继续通分。分类：第一类：是分式之间的加减，第二类：是整式与分式的加减。例1：= 例2：= 例3：= 例4：= 计算（1） （2） 例5：化简+等于（ ） A B C D例6： 例7： 例8： 例9： 练习题：（1） （2） （3） 例10：已知： 求的值。分式的乘法：乘法法测：=.
8、分式的除法：除法法则：=例题：计算：（1） （2） 计算：（10） 求值题：（1）已知：，求的值。 求值题：（1）已知： 求的值。（2）已知：求的值。9、分式的求值问题：一、 所求问题向已知条件转化例1已知x+=3，则的值 。例2：若ab=1，则的值为 。例3：已知x2，y，求的值.二、 由已知条件向所求问题转化例4：已知 ，那么_ ；例5：已知，则的值为（ ）A B C D 例6：如果=2，则= 例7：已知y=3xy+x，求代数式的值例8：已知与的和等于，则a= , b = 。例9：若，则分式（ ）A、 B、 C、1 D、1练习1：已知x为整数，且+为整数，求所有符合条件的x值的和.2：已知
9、实数x满足4x2-4x+l=O，则代数式2x+的值为_10、分式其他类型试题：例1：观察下面一列有规律的数：，根据其规律可知第个数应是（n为正整数）例2： 观察下面一列分式：根据你的发现，它的第8项是 ，第n项是 。例3： 按图示的程序计算，若开始输入的n值为4，则最后输出的结果m是 （ ）A 10 B 20 C 55 D 50例4：当x=_时,分式与互为相反数.例5：在正数范围内定义一种运算，其规则为，根据这个规则的解为（） ABC或1D或例6：已知，则；例7：先填空后计算：= 。= 。= 。（3分）（本小题4分）计算：解：= 11、分式方程：（1）分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程
10、分式方程。（2）解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为0，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。（3）解分式方程的步骤 ：（1）能化简的先化简； (2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； (3)解整式方程； (4)验根例1：如果分式的值为1，则x的值是 ；例2：要使的值相等，则x=_。例3：当m=_时，方程=2的根为.例4：如果方程 的解是x5，则a 。例5：(1) (2) 例6:解方程：例7：已知：关于x的方程无解，求a的值。例8：已知关于x的方程的根是正数，求a的取值
11、范围。例9：若分式与的2倍互为相反数，则所列方程为_；例10：当m为何值时间关于的方程的解为负数例11：解关于的方程例12：解关于x的方程:例13：当a为何值时, 的解是负数例14关于x的方程的解为负值，求m的取值范围。12、分式方程的增根问题：（1）增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。 （2）分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。例1：分式方程+1=有增根，则m= 例2：当k的值等于 时，关于x的方程不会产生增根；。例3：若方程有增根，则增根可
12、能为（ ）A、0 B、2 C、0或2 D、113、分式的应用题：（1）列方程应用题的步骤是什么 (1)审；(2)设；(3)列；(4)解；(5)答（2）应用题有几种类型；基本公式是什么基本上有四种：a.行程问题：基本公式：路程=速度时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题b.数字问题： 在数字问题中要掌握十进制数的表示法c.工程问题： 基本公式：工作量=工时工效d.顺水逆水问题: v顺水=v静水+v水 v逆水=v静水-v水工程问题：例1：一项工程，甲需x小时完成，乙需y小时完成，则两人一起完成这项工程需要_ 小时。例2：小明和小张两人练习电脑打字，小明每分钟比小张少打6个字，小明打120个字所用的
13、时间和小张打180个字所用的时间相等。设小明打字速度为x个/分钟，则列方程正确的是（ ）A B C D 例3：某工程需要在规定日期内完成,如果甲工程队独做,恰好如期完成; 如果乙工作队独做,则超过规定日期3天,现在甲、乙两队合作2天,剩下的由乙队独做,恰好在规定日期完成,求规定日期.如果设规定日期为x天,下面所列方程中正确的是( )A.; B.; C.; D.例4：赵强同学借了一本书，共280页，要在两周借期内读完，当他读了一半时，发现平时每天要多读21页才能在借期内读完.他读了前一半时,平均每天读多少页如果设读前一半时,平均每天读x页,则下列方程中,正确的是（ ）A、 B、C、 D、例5：某
14、工程由甲、乙两队合做6天完成，乙、丙两队合做10天完成，甲、丙两队合做5天完成全部工程的。求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天价格价钱问题：例1：“五一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设参加游览的同学共x人，则所列方程为（）A B C D例2：为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某学校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款总额为4800元，第二次捐款总额为5000元，第二次捐款人数比第一次捐款人数多20人，而且两次人均捐款额恰好相等。那么这两次各有多少人进行捐款顺水逆水问题：例1：A
15、、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（ ）A、 B、 C、 D、例2：一只船顺流航行90km与逆流航行60km所用的时间相等，若水流速度是2km/h，求船在静水中的速度，设船在静水中速度为xkm/h，则可列方程（ ）A、= B、= C、+3= D、+3=例3：轮船顺流航行66千米所需时间和逆流航行48千米所需时间相同，已知水流速度是每小时3千米，求轮船在静水中的速度。行程问题：例1：八年级A、B两班学生去距学校千米的石湖公园游玩，A班学生步行出发半小时后，B班学生骑
16、自行车开始出发，结果两班学生同时到达石湖公园，如果骑自行车的速度是步行速度的3倍，求步行和骑自行车的速度各是多少千米/小时例2：A、B两地的距离是80公里，一辆公共汽车从A地驶出3小时后，一辆小汽车也从A地出发，它的速度是公共汽车的3倍，已知小汽车比公共汽车迟20分钟到达B地，求两车的速度。数字问题：例1：一个分数的分子比分母小6,如果分子分母都加1,则这个分数等于,求这个分数.例2：一个两位数，个位数字是2，如果把十位数字与个位数字对调，所得到的新的两位数与原来的两位数之比是7：4，求原来的两位数。例3：一个分数的分母加上5，分子加上4，其结果仍是原来的分数，求这个分数。14、公式变形问题：例1：一根蜡烛在凸透镜下成实像，物距为U像距为V，凸透镜的焦距为F，且满足，则用U、V表示F应是（ ）（A） （B） （C） （D）例2：已知公式（），则表示的公式是（ ）A B C D例3：一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距u，像距v和凸透镜的焦距f满足关系式：= 若f6厘米，v8厘米，则物距u 厘米.例4：已知梯形面积S、a、b、h都大于零，下列变形错误是（ ）A B. C. D.例5：已知,则M与N的关系为( )N =N N D.不能确定.
