1、圆锥曲线解题方法技巧第一、知识储备：1. 直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（2）与直线相关的重要内容倾斜角与斜率 点到直线的距离 夹角公式：直线 夹角为， 则（3）弦长公式直线上两点间的距离 （4）两条直线的位置关系（） =-1 （） 或者（）两平行线距离公式 距离 距离二、椭圆、双曲线、抛物线：椭圆双曲线抛物线定义1到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹2与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0e1）1到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(02a1）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.轨迹条件点集：
2、(MMF1+MF2=2a,F 1F22a.点集：MMF1-MF2.=2a,F2F22a.点集M MF=点M到直线l的距离.图形方程标准方程(0)(a0,b0)参数方程(t为参数)范围axa，byb|x| a，yRx0中心原点O（0，0）原点O（0，0）顶点(a,0), (a,0), (0,b) , (0,b)(a,0), (a,0)(0,0)对称轴x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2bx轴，y轴;实轴长2a, 虚轴长2b.x轴焦点F1(c,0), F2(c,0)F1(c,0), F2(c,0)准 线x=准线垂直于长轴，且在椭圆外.x=准线垂直于实轴，且在两顶点的内侧.x=-准线与焦点位于顶点两侧，
3、且到顶点的距离相等.焦距2c （c=）2c （c=）离心率e=1焦半径P(x0，y0)为圆锥曲线上一点，F1、F2分别为左、右焦点 |PF1|=a+ex0 |PF2|=a-ex0P在右支时： P在左支时： |PF1|=a+ex0 |PF1|=-a-ex0 |PF2|=-a+ex0 |PF2|=a-ex0|PF|=x0+【备注1】双曲线：等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程
4、可设为.【备注2】抛物线：（1）抛物线=2px(p0)的焦点坐标是(,0)，准线方程x=- ，开口向右；抛物线=-2px(p0)的焦点坐标是(-,0)，准线方程x=，开口向左；抛物线=2py(p0)的焦点坐标是(0,)，准线方程y=-，开口向上；抛物线=-2py（p0）的焦点坐标是（0,-），准线方程y=，开口向下.（2）抛物线=2px(p0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离；抛物线=-2px(p0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离（3）设抛物线的标准方程为=2px(p0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为，顶点到准线的距离，焦点到准线的距离为p.（4）已知过抛物线=2px(p0)焦点的
5、直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长=+p或(为直线AB的倾斜角)，(叫做焦半径).椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例1：已知椭圆的焦点是F1(0，1)、F2(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF1PF22F1F2，求椭圆的标准方程。解：由PF1PF22F1F2224，得2a4.又c1，所以b23.所以椭圆的标准方程是1. 2已知椭圆的两个焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，且2a10，求椭圆的标准方程解：由椭圆定义知c1，b.椭圆的标准方程为1.二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例：1. 椭圆的一个顶点为，
6、其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置解：（1）当为长轴端点时，椭圆的标准方程为：；（2）当为短轴端点时，椭圆的标准方程为：；三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。例求过点(3,2)且与椭圆1有相同焦点的椭圆的标准方程解：因为c2945，所以设所求椭圆的标准方程为1.由点(3,2)在椭圆上知1，所以a215.所以所求椭圆的标准方程为1.四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。例： 已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点，为 中点，的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程解：由题意，设椭圆方程为，由，得， 为所求
7、五、求椭圆的离心率问题。例 已知椭圆的离心率，求的值 解：当椭圆的焦点在轴上时，得由，得当椭圆的焦点在轴上时，得由，得，即满足条件的或 六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题 例：1.若ABC的两个顶点坐标A(4,0)，B(4,0)，ABC的周长为18，求顶点C的轨迹方程。解：顶点C到两个定点A，B的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点C的轨迹为椭圆，并且2a10，所以a5,2c8，所以c4，所以b2a2c29，故顶点C的轨迹方程为1.又A、B、C三点构成三角形，所以y0.所以顶点C的轨迹方程为1(y0)答案：1(y0)2已知椭圆的标准方程是1(a5)，它的两焦点分别是F1，F
8、2，且F1F28，弦AB过点F1，求ABF2的周长因为F1F28，即即所以2c8，即c4，所以a2251641，即a，所以ABF2的周长为4a4.3设F1、F2是椭圆1的两个焦点,P是椭圆上的点，且PF1:PF22:1，求PF1F2的面积解析：由椭圆方程，得a3，b2，c，PF1PF22a6.又PF1PF221，PF14，PF22，由2242(2)2可知PF1F2是直角三角形，故PF1F2的面积为PF1PF2244.七、直线与椭圆的位置问题例 已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为，利用条件求解法一：设所求直线的斜率为，则直线方程为代入椭圆方
9、程，并整理得由韦达定理得是弦中点，故得所以所求直线方程为解法二：设过的直线与椭圆交于、，则由题意得得 将、代入得，即直线的斜率为所求直线方程为双曲线典型例题一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。例1讨论表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征分析：由于，则的取值范围为，分别进行讨论解：（1）当时，所给方程表示椭圆，此时，这些椭圆有共同的焦点（4，0），（4，0）（2）当时，所给方程表示双曲线，此时，这些双曲线也有共同的焦点（4，0），）（4，0）（3），时，所给方程没有轨迹说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些值，画出其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感二、根据已
10、知条件，求双曲线的标准方程。例2根据下列条件，求双曲线的标准方程（1）过点，且焦点在坐标轴上（2），经过点（5，2），焦点在轴上（3）与双曲线有相同焦点，且经过点解：（1）设双曲线方程为 、两点在双曲线上，解得所求双曲线方程为说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的（2）焦点在轴上，设所求双曲线方程为：（其中）双曲线经过点（5，2），或（舍去）所求双曲线方程是说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉（3）设所求双曲线方程为：双曲线过点，或（舍）所求双曲线方程为说明：（1）注意到了与双曲线有公共焦点的双曲线系方程为后，便有了以上巧妙的设法（2）寻找一种简捷的方法，须
11、有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面三、求与双曲线有关的角度问题。例3 已知双曲线的右焦点分别为、，点在双曲线上的左支上且，求的大小分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形解：点在双曲线的左支上说明：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化（2）题目的“点在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点在双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。例4 已知、是双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，求的面积分析：利用双曲线的定义及中的勾股定理可求的面积解：为双曲线上的一
12、个点且、为焦点,在中，说明：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用五、根据双曲线的定义求其标准方程。例5已知两点、，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹分析：问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接求出动点轨迹解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线，所求方程为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线例:是双曲线上一点，、是双曲线的两个焦点，且，求的值分析：利用双曲线的定义求解解：在双曲线中，故由是双曲线上一点，得或又，得说明：本题容易忽视这一条件，而得出错误的结论或 六、求与圆有关的双曲线方程。例6求下列动圆圆心的轨迹方程：（1）与内切，且过点（2）与和都外切（3）与外切，且与内切分析
13、：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半径与圆心距离如果相切的、的半径为、且，则当它们外切时，；当它们内切时，解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程解：设动圆的半径为（1）与内切，点在外，点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支，且有：，双曲线方程为（2）与、都外切，点的轨迹是以、为焦点的双曲线的上支，且有：，所求的双曲线的方程为：（3）与外切，且与内切，点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支，且有：，所求双曲线方程为：说明：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法（2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量（3）
14、通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标抛物线典型例题一、求抛物线的标准方程。例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程（1） （2）分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程（2）先把方程化为标准方程形式，再对a进行讨论，确定是哪一种后，求p及焦点坐标与准线方程解：（1），焦点坐标是（0，1），准线方程是：（2）原抛物线方程为：，当时，抛物线开口向右，焦点坐标是，准线方程是：当时，抛物线开口向左，焦点坐标是，准线方程是：综合上述，当时，抛物线的焦点坐标为，准线方程是：二、求直线与抛物线相结合的问题例2 若直
15、线与抛物线交于A、B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k的方程求解另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故也可利用“作差法”求k解法一：设、，则由：可得：直线与抛物线相交，且，则AB中点横坐标为：，解得：或（舍去）故所求直线方程为：解法二：设、，则有两式作差解：，即，故或（舍去）则所求直线方程为：三、求直线中的参数问题例3（1）设抛物线被直线截得的弦长为，求k值（2）以（1）中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P点坐标分析：（1）题可利用弦长公式求k，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求P点坐标解：（1）由得
16、：设直线与抛物线交于与两点则有： ，即（2），底边长为，三角形高点P在x轴上，设P点坐标是则点P到直线的距离就等于h，即或，即所求P点坐标是（1，0）或（5，0）四、与抛物线有关的最值问题例4定长为3的线段的端点、在抛物线上移动，求的中点到轴的距离的最小值，并求出此时中点的坐标解：如图，设是的焦点，、两点到准线的垂线分别是、，又到准线的垂线为，、和是垂足，则设点的横坐标为，纵坐标为，则等式成立的条件是过点当时，故，所以，此时到轴的距离的最小值为例已知点，为抛物线的焦点，点在该抛物线上移动，当取最小值时，点的坐标为_分析：本题若建立目标函数来求的最小值是困难的，若巧妙地利用抛物线定义，结合图形则问题不难解决解：如图，由定义知，故取等号时，、三点共线，点纵坐标为2，代入方程，求出其横坐标为2，所以点坐标为
