1、第十一章第十一章 最优化技术的实用指南最优化技术的实用指南11.4 计算结果的分析和评价计算结果的分析和评价 对于一个最优化问题，通过我们前面介绍的方法求得最优解后，是否工程对于一个最优化问题，通过我们前面介绍的方法求得最优解后，是否工程最优化问题就算完全解决了呢？最优化问题就算完全解决了呢？否否!在工程最优化中在工程最优化中,最重要的工作是：最重要的工作是：（1）以求得的最优解为基础，证明解的有效性以及灵敏度分析；）以求得的最优解为基础，证明解的有效性以及灵敏度分析；（2）考察最优解附近区域的系统状态。）考察最优解附近区域的系统状态。也就是要解决下列问题：也就是要解决下列问题：在最优解处哪些
2、约束是起作用约束？（即限制系统进一步改进的要素）在最优解处哪些约束是起作用约束？（即限制系统进一步改进的要素）目标函数中哪一些价值项起支配作用？目标函数中哪一些价值项起支配作用？最优解对参数变化的灵敏度如何？最优解对参数变化的灵敏度如何？11.4.1 证实解的有效性证实解的有效性解的有效性是指这个解是所研究系统的一个可实现的状态，而且是最优状态。解的有效性是指这个解是所研究系统的一个可实现的状态，而且是最优状态。为什么要做解的有效性证实？为什么要做解的有效性证实？所有数学模型都有一定使用限制条件；所有相关关系都有一个有效范围；所有所有数学模型都有一定使用限制条件；所有相关关系都有一个有效范围；
3、所有的数据都只有有限精度；所有的优化算法的收敛终止准则都不可能完美无缺。的数据都只有有限精度；所有的优化算法的收敛终止准则都不可能完美无缺。（2）几乎所有实际问题的最优点都位于一个或多）几乎所有实际问题的最优点都位于一个或多个不等式约束的边界上。个不等式约束的边界上。即至少有一个约束函数值为零，如果不是，说明即至少有一个约束函数值为零，如果不是，说明迭代还未收敛迭代还未收敛，应继续进行优化迭代。，应继续进行优化迭代。（1）所有数学模型都有一定的使用限制条件，）所有数学模型都有一定的使用限制条件，（建模中可能忽略一些次要约（建模中可能忽略一些次要约束），所得解是否超出了此限制，如果超出了，就不是
4、一个有效解，应该再增束），所得解是否超出了此限制，如果超出了，就不是一个有效解，应该再增加约束，重新求解；加约束，重新求解；（3）验证解作为系统最优解的合理性。）验证解作为系统最优解的合理性。从实际从实际意义上解释它，说明它为什么是最优的。意义上解释它，说明它为什么是最优的。S11.4.2 灵敏度分析灵敏度分析 确定最优解对模型参数或假设的变化确定最优解对模型参数或假设的变化（例如目标函数中价值系数变化、约（例如目标函数中价值系数变化、约束变化、增加一些约束束变化、增加一些约束）的敏感程度。的敏感程度。(1)找到敏感参数。找到敏感参数。如果存在的话，则化些时间和精力改变相应的系统特如果存在的话
5、，则化些时间和精力改变相应的系统特征是值得的，如发现最优解对销售量非常敏感，则应在此多做工作。征是值得的，如发现最优解对销售量非常敏感，则应在此多做工作。(2)提取对系统进行增补或修改的信息提取对系统进行增补或修改的信息。(3)弄清楚不精确的参数的变化对系统的影响。弄清楚不精确的参数的变化对系统的影响。如果某些参数的精度对系如果某些参数的精度对系统影响显著，则有必要化精力去提高这些参数的精度。统影响显著，则有必要化精力去提高这些参数的精度。(4)了解不可控的外部参数对系统的影响。了解不可控的外部参数对系统的影响。如市场需求量如市场需求量 灵敏度的信息通常通过两种方法得到：灵敏度的信息通常通过两
6、种方法得到：根据根据Lagrange乘子的取值情况；通乘子的取值情况；通过参数分析过参数分析 对于非线性规划的情形，对于非线性规划的情形，Lagrange乘子是目标函数值相对于乘子是目标函数值相对于约束函数中常数项的变化率。约束函数中常数项的变化率。以一具有两个变量和一个等式约束的问题为例来说明：以一具有两个变量和一个等式约束的问题为例来说明：min f(x1，x2)s.t.h1(x1，x2)=b1其中其中b1相当于某种资源的可得性相当于某种资源的可得性，对其进行灵敏度分析，对其进行灵敏度分析。该问题的该问题的Lagrange函数为函数为 L(x,1)=f(x)+1h1(x)b1 设设x*为最
7、优点，为最优点，1*为相应的最优为相应的最优Lagrange乘子，根据乘子，根据KT条件，条件，在（在（x*，1*）处有）处有 011111xhxfxL021122xhxfxL0111bhL(11.4.1)(11.4.2)(11.4.3)且且 f(x*)=L(x*，1*)=f*显然，显然，(x*，1*）是）是b1的函数，所以的函数，所以f*也随也随b1变化，变化率为导数变化，变化率为导数 1*/bf对方程对方程h1(x*)b10两边求两边求b1的导数的导数 1*2*2*1*1*1*1*bxxfbxxfbf(11.4.4)011*2*21*1*1bxxhbxxh(11.4.5)(11.4.5)1
8、*+(11.4.4)得1*1*1*21*11*bxxhxfbfjjjj011111xhxfxL021122xhxfxL0111bhL*11*bf约束函数常数增加一个单位，目标约束函数常数增加一个单位，目标函数的最优值下降函数的最优值下降1*个单位个单位经济经济学中学中称称为为“影子价影子价格格”对一般问题对一般问题 min f(x)s.t.gi(x)di i=1,2,l hj(x)=bj j=1,2,m有有jjbfiidf其中其中j,i为为Lagrange函数函数 L(x,)=f(x)+i gi(x)di+j hj(x)bjli 1mj 1中的中的Lagrange乘子。乘子。目标函数值随着约束
9、右端常数的变化而变化，这种变化的一阶近似表达式为：目标函数值随着约束右端常数的变化而变化，这种变化的一阶近似表达式为：jjjiiijjjiiibdbbfddfxfxf )()(*在工程最优设计中，总是希望尽可能地缩小实际情况与理论计算之间的差距，在工程最优设计中，总是希望尽可能地缩小实际情况与理论计算之间的差距，总是希望避免起作用约束的某些变动而引起对设计结果的较大影响以至于使总是希望避免起作用约束的某些变动而引起对设计结果的较大影响以至于使这项设计不能使用，这就要求灵敏度越低越好。这项设计不能使用，这就要求灵敏度越低越好。对于实际工程问题灵敏度分析有其经济意义。它能定量地显示该设计有多对于实际工程问题灵敏度分析有其经济意义。它能定量地显示该设计有多大的裕量和安全系数，并估计出对某些参数的修改所能取得的效果，从而大的裕量和安全系数，并估计出对某些参数的修改所能取得的效果，从而使设计节省不必要的投资，获得更好的经济效益。使设计节省不必要的投资，获得更好的经济效益。
