1、一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1（1）已知ABC是等腰三角形，其底边是BC,点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且DEC=DCE,若A等于60（如图）.求证：EB=AD；（2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变（如图），（1）的结论是否成立，并说明理由 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】试题分析：（1）作DFBC交AC于F，由平行线的性质得出ADF=ABC，AFD=ACB，FDC=DCE，证明ABC是等边三角形，得出ABC=ACB=60，证出ADF是等边三角形，DFC=120，得出AD=DF，由已知条件得出FDC=DEC
2、，ED=CD，由AAS证明DBECFD，得出EB=DF，即可得出结论；（2）作DFBC交AC的延长线于F，同（1）证出DBECFD，得出EB=DF，即可得出结论.试题解析：（1）证明：如图，作DFBC交AC于F，则ADF为等边三角形 AD=DF，又 DEC=DCB，DEC+EDB=60，DCB+DCF=60 ， EDB=DCA ，DE=CD，在DEB和CDF中， DEBCDF，BD=DF，BE=AD . (2). EB=AD成立；理由如下：作DFBC交AC的延长线于F，如图所示： 同（1）得：AD=DF，FDC=ECD，FDC=DEC，ED=CD，又DBE=DFC=60，DBECFD（AAS）
3、，EB=DF， EB=AD.点睛：此题主要考查了三角形的综合，考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行线的性质等知识，综合性强，有一定的难度，证明三角形全等是解决问题的关键.2如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F（1）证明：PC=PE； （2）求CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当ABC=120时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由【答案】（1）证明见解析（2）90（3）AP=CE【解析】【分析】(
4、1)、根据正方形得出AB=BC，ABP=CBP=45，结合PB=PB得出ABP CBP，从而得出结论；(2)、根据全等得出BAP=BCP，DAP=DCP，根据PA=PE得出DAP=E，即DCP=E，易得答案；(3)、首先证明ABP和CBP全等，然后得出PA=PC，BAP=BCP，然后得出DCP=E，从而得出CPF=EDF=60，然后得出EPC是等边三角形，从而得出AP=CE.【详解】(1)、在正方形ABCD中，AB=BC，ABP=CBP=45，在ABP和CBP中，又 PB=PB ABP CBP（SAS）， PA=PC，PA=PE，PC=PE；(2)、由（1）知，ABPCBP，BAP=BCP，D
5、AP=DCP，PA=PE， DAP=E， DCP=E， CFP=EFD（对顶角相等），180PFCPCF=180DFEE， 即CPF=EDF=90； (3)、APCE 理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，ABP=CBP，在ABP和CBP中， 又 PB=PB ABPCBP（SAS），PA=PC，BAP=DCP，PA=PE，PC=PE，DAP=DCP， PA=PC DAP=E， DCP=ECFP=EFD（对顶角相等）， 180PFCPCF=180DFEE，即CPF=EDF=180ADC=180120=60， EPC是等边三角形，PC=CE，AP=CE考点：三角形全等的证明3如图1，在中，是直角，
6、、分别是、的平分线，、相交于点（1）求出的度数；（2）判断与之间的数量关系并说明理由（提示：在上截取，连接）（3）如图2，在中，如果不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段、与之间的数量关系并说明理由【答案】（1）AFC120；（2）FE与FD之间的数量关系为：DFEF理由见解析；（3）ACAE+CD理由见解析【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和性质只要求出FAC，ACF即可解决问题;（2）根据在图2的AC上截取CG=CD，证得CFGCFD(SAS),得出DF=GF；再根据ASA证明AFGAFE，得EF=FG，故得出EF=FD；（3）根据(2)的证明方法，在图3的AC上截取AG=AE
7、，证得EAFGAF(SAS)得出EFA=GFA；再根据ASA证明FDCFGC，得CD=CG即可解决问题【详解】（1）解：ACB90，B60，BAC906030，AD、CE分别是BAC、BCA的平分线，FAC15，FCA45，AFC180（FAC+ACF）120（2）解：FE与FD之间的数量关系为：DFEF 理由：如图2，在AC上截取CGCD，CE是BCA的平分线，DCFGCF，在CFG和CFD中，CFGCFD（SAS），DFGFCFDCFG由（1）AFC120得，CFDCFGAFE60，AFG60，又AFECFD60，AFEAFG，在AFG和AFE中，AFGAFE（ASA），EFGF，DFEF
8、； （3）结论：ACAE+CD 理由：如图3，在AC上截取AGAE，同（2）可得，EAFGAF（SAS），EFAGFA，AGAEBAC+BCA=180-B=180-60=120AFC180(FAC+FCA)180-(BAC+BCA)=180-120=120，EFAGFA18012060DFC，CFGCFD60，同（2）可得，FDCFGC（ASA），CDCG，ACAG+CGAE+CD【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形4已知
9、，.点在上以的速度由点向点运动，同时点在上由点向点运动，它们运动的时间为（1）如图，若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段和线段的位置关系；（2）如图，将图中的“，”为改“”，其他条件不变设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）全等，PC与PQ垂直；（2）存在，或【解析】【分析】（1）利用SAS证得ACPBPQ，得出ACP=BPQ，进一步得出APC+BPQ=APC+ACP=90得出结论即可；（2）由ACPBPQ，分两种情况：AC=BP，AP=BQ，AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即
10、可【详解】解：（1）当t=1时，AP=BQ=1，BP=AC=3，又A=B=90，在ACP和BPQ中，ACPBPQ（SAS）ACP=BPQ，APC+BPQ=APC+ACP=90CPQ=90，即线段PC与线段PQ垂直（2）若ACPBPQ，则AC=BP，AP=BQ，解得，若ACPBQP，则AC=BQ，AP=BP，解得，综上所述，存在或使得ACP与BPQ全等【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，在解题时注意分类讨论思想的运用5在中，点在边上，且是射线上一动点(不与点重合，且)，在射线上截取，连接当点在线段上时，若点与点重合时，请说明线段；如图2，若点不与点重合，请说明；当点在线段的延长线上时，用等式
11、表示线段之间的数量关系(直接写出结果，不需要证明)【答案】（1）证明见解析；证明见解析；（2）BFAE-CD【解析】【分析】（1）根据等边对等角，求到，再由含有60角的等腰三角形是等边三角形得到是等边三角形，之后根据等边三角形的性质以及邻补角的性质得到，推出，根据全等三角形的性质即可得出结论；过点A做AGEF交BC于点G，由DEF为等边三角形得到DADG，再推出AEGF，根据线段的和差即可整理出结论；（2）根据题意画出图形，作出AG，由（1）可知，AE=GF，DC=BG，再由线段的和差和等量代换即可得到结论【详解】（1）证明：，且E与A重合，是等边三角形在和中 如图2，过点A做AGEF交BC于
12、点G，ADB60DEDFDEF为等边三角形AGEFDAGDEF60，AGDEFD60DAGAGDDADGDADEDGDF，即AEGF由易证AGBADCBGCDBFBGGFCDAE（2）如图3，和（1）中相同，过点A做AGEF交BC于点G，由（1）可知，AE=GF，DC=BG，故【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键6如图（1），AB=4cm，ACAB，BDAB，AC=BD=3cm，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，他们的运动时间为t(s).（1）若点Q的运动
13、速度与点P的运动速度相等，当t=1时，ACP与BPQ是否全等，请说明理由（2）判断此时线段PC和线段PQ的关系，并说明理由。（3）如图（2），将图（1）中的“ACAB，BDAB”改为“CAB=DBA=60”，其他条件不变，设点Q的运动速度为x cm/s，是否存在实数x，使得ACP与BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由。【答案】（1）ACPBPQ，理由见解析；（2）PC=PQ且PCPQ，理由见解析；（3）存在；或【解析】【分析】（1）利用SAS证得ACPBPQ；（2）由（1）得出PC=PQ，ACP=BPQ，进一步得出APC+BPQ=APC+ACP=90得出结论即可；（3
14、）分两种情况：AC=BP，AP=BQ，AC=BQ，AP=BP，建立方程组求得答案即可【详解】解：（1）如图（1），ACPBPQ，理由如下：当t=1时，AP=BQ=1，BP=AC=3，又A=B=90，在ACP和BPQ中，ACPBPQ（SAS）（2）PC=PQ且PCPQ，理由如下：由（1）可知ACPBPQPC=PQ，ACP=BPQ，APC+BPQ=APC+ACP=90CPQ=90，PCPQ（3）如图（2），分两种情况讨论：当AC=BP，AP=BQ时，ACPBPQ，则，解得，当AC=BQ，AP=BP时，ACPBQP，则，解得综上所述，存在或使得ACP与BPQ全等【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定
15、与性质的综合应用，能熟练进行全等的分析判断以及运用分类讨论思想是解题关键7（1）在等边三角形中，如图，分别是边，上的点，且，与交于点，则的度数是_度；如图，分别是边，延长线上的点，且，与的延长线交于点，此时的度数是_度；（2）如图，在中，是锐角，点是边的垂直平分线与的交点，点，分别在，的延长线上，且，与的延长线交于点，若，求的大小（用含法的代数式表示）【答案】（1）60；（2）60；（3）【解析】【分析】（1）只要证明ACECBD，可得ACE=CBD，推出BFE=CBD+BCF=ACE+BCF=BCA=60；只要证明ACECBD，可得ACE=CBD=DCF，即可推出BFE=D+DCF=D+CB
16、D=BCA=60；（2）只要证明AECCDB，可得E=D，即可推出BFE=D+DCF=E+ECA=OAC=.【详解】解：（1）如图中，ABC是等边三角形，AC=CB，A=BCD=60，AE=CD，ACECBD，ACE=CBD，BFE=CBD+BCF=ACE+BCF=BCA=60故答案为60；如图，ABC是等边三角形，AC=CB，A=BCD=60，CAE=BCD=120AE=CD，ACECBD，ACE=CBD=DCF，BFE=D+DCF=D+CBD=BCA=60故答案为60；（2）如图中，图点是边的垂直平分线与的交点，【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质和等腰三角形的性质和判定以及等边三角形的
17、性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题8在等边中，点是边上一点.作射线，点关于射线的对称点为点.连接并延长，交射线于点.（1）如图，连接，与的数量关系是_；设，用表示的大小；（2）如图，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明.【答案】(1) AB=AE；BCF=；(2) AF-EF=CF，理由见详解.【解析】【分析】（1）根据轴对称性，即可得到答案；由轴对称性，得：AE=AB，BAF=EAF=，由是等边三角形，得AB=AC，BAC=ACB=60，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和等于180，即可求解；（2）作FCG=60交AD于点G，连接BF，易证FCG是
18、等边三角形，得GF=FC，再证ACGBCF(SAS)，从而得AG=BF，进而可得到结论.【详解】（1）点关于射线的对称点为点，AB和AE关于射线的对称，AB=AE.故答案是：AB=AE；点关于射线的对称点为点，AE=AB，BAF=EAF=，是等边三角形，AB=AC，BAC=ACB=60，EAC=60-2，AE=AC，ACE=，BCF=ACE-ACB=-60=.（2）AF-EF=CF，理由如下：作FCG=60交AD于点G，连接BF，BAF=BCF=，ADB=CDF，ABC=AFC=60，FCG是等边三角形，GF=FC，是等边三角形，BC=AC，ACB=60，ACG=BCF=.在ACG和BCF中，
19、ACGBCF(SAS)，AG=BF，点关于射线的对称点为点，AG=BF=EF，AF-AG=GF，AF-EF=CF.【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键.9如图1，已知CF是ABC的外角ACE的角平分线，D为CF上一点，且DADB（1）求证：ACBADB；（2）求证：AC+BC2BD；（3）如图2，若ECF60，证明：ACBC+CD【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）过点D分别作AC，CE的垂线，垂足分别为M，N，证明RtDAMRtDBN，得出DAM=DBN，则结论得证；（2）证明Rt
20、DMCRtDNC，可得CM=CN，得出AC+BC=2BN，又BNBD，则结论得证；（3）在AC上取一点P，使CP=CD，连接DP，可证明ADPBDC，得出AP=BC，则结论可得出【详解】（1）证明：过点D分别作AC，CE的垂线，垂足分别为M，N，CF是ABC的外角ACE的角平分线，DMDN，在RtDAM和RtDBN中， ，RtDAMRtDBN（HL），DAMDBN，ACBADB；（2）证明：由（1）知DMDN，在RtDMC和RtDNC中， ，RtDMCRtDNC（HL），CMCN，AC+BCAM+CM+BCAM+CN+BCAM+BN，又AMBN，AC+BC2BN，BNBD，AC+BC2BD（3
21、）由（1）知CADCBD，在AC上取一点P，使CPCD，连接DP，ECF60，ACF60，CDP为等边三角形，DPDC，DPC60，APD120，ECF60，BCD120，在ADP和BDC中， ，ADPBDC（AAS），APBC，ACAP+CP，ACBC+CP，ACBC+CD【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题10在平面直角坐标系中，点A（0，5），B（12，0），在y轴负半轴上取点E，使OAEO，作CEFAEB，直线CO交BA的延长线于点D（1）根据题意，可求得OE ；（2）求证：ADOE
22、CO；（3）动点P从E出发沿EOB路线运动速度为每秒1个单位，到B点处停止运动；动点Q从B出发沿BOE运动速度为每秒3个单位，到E点处停止运动二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止在某时刻，作PMCD于点M，QNCD于点N问两动点运动多长时间OPM与OQN全等？【答案】（1）5；（2）见解析；（3）当两动点运动时间为、10秒时，OPM与OQN全等【解析】【分析】（1）根据OA=OE即可解决问题（2）根据ASA证明三角形全等即可解决问题（2）设运动的时间为t秒，分三种情况讨论：当点P、Q分别在y轴、x轴上时；当点P、Q都在y轴上时；当点P在x轴上，Q在y轴时若二者都没有提前停止，当点Q提前
23、停止时；列方程即可得到结论【详解】（1）A（0，5），OEOA5，故答案为5（2）如图1中，OEOA，OBAE，BABE，BAOBEO，CEFAEB，CEFBAO，CEODAO，在ADO与ECO中，ADOECO（ASA）（2）设运动的时间为t秒，当POQO时，易证OPMOQN分三种情况讨论：当点P、Q分别在y轴、x轴上时POQO得：5t123t，解得t（秒），当点P、Q都在y轴上时POQO得：5t3t12，解得t（秒），当点P在x轴上，Q在y轴上时，若二者都没有提前停止，则POQO得：t53t12，解得t（秒）不合题意；当点Q运动到点E提前停止时，有t55，解得t10（秒），综上所述：当两动点运动时间为、10秒时，OPM与OQN全等【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型
