1、第一章 量子力学基础知识-要点 微观粒子的运动特征光和微观实物粒子(电子、原子、分子、中子、质子等)都具有波动性和微粒性两重性质，即波粒二象性，其基本公式为：E=h5P=h/其中能量E和动量P反映光和微粒的粒性，而频率和波长反映光和微粒的波性，它们之间通过Plank常数h联系起来。h=。实物微粒运动时产生物质波波长可由粒子的质量m和运动度按如下公式计算。=h/m量子化是指物质运动时，它的某些物理量数值的变化是不连续的，只能为某些特定的数值。如微观体系的能量和角动量等物理量就是量子化的，能量的改变为E=h的整数倍。测不准关系可表示为：XPxhX是物质位置不确定度，Px为动量不确定度。该关系是微观
2、粒子波动性的必然结果，亦是宏观物体和微观物体的判别标准。对于可以把h看作O的体系，表示可同时具有确定的坐标和动量，是可用牛顿力学描述的宏观物体，对于h不能看作O的微观粒子，没有同时确定的坐标和动量，需要用量子力学来处理。 量子力学基本假设假设1：对于一个微观体系，它的状态和有关情况可用波函数(x，y，z)来描述，在原子体系中称为原子轨道，在分子体系中称为分子轨道，2d为空间某点附近体积元d中出现电子的几率，波函数在空间的值可正、可负或为零，这种正负值正反映了微观体系的波动性。描述的是几率波，根据几率的性质必须是单值、连续、平方可积的品优函数。 假设2. 对于微观体系的每一个可观测量,都有一个对
3、应的线性自轭算符。其中最重要的是体系的总能量算符（哈密顿算符） 假设3. 本征态、本征值和Schrdinger方程体系的力学量A的算符与波函数若满足如下关系 式中a为常数，则称该方程为本征方程，a为的本征值，为的本征态。Schrdinger方程就是能量算符 的本征值E和波函数构成的本征方程： 将某体系的实际势能算符 写进方程中，通过边界条件解此微分方程和对品优波函数的要求，求得体系不同状态的波函数i以及相应的能量本征值Ei。解一体系的Schrdinger方程所得的一组本征函数1，2，3n，形成一个正交归一的函数组。归一是指，正交是指（ij）假设4. 态叠加原理若1，2n为某体系的可能状态，由它
4、们线性组合所得的也是该体系可能存在的状态。 =C11+C22+Cnn=Cii式中Ci为任意常数，其数值的大小决定的性质中I的贡献，Ci大则相应i的贡献大。体系在状态时，力学量A的平均值假设5. Pauli原理在同一原子轨道或分子轨道中，至多只能容纳两个自旋相反的电子或者说描述多电子体系轨道运动和自旋运动的全波函数，对交换任意两个粒子的全部坐标必须是反对称的。量子力学的基本假设是建立在大量实验基础上的，所以是正确的。 一维势箱中粒子的Schrdinger方程及其解本节以一维势箱粒子为例，说明用量子力学解决问题的途径和方法。一个质量为m的粒子，在一维x方向上运动，其势能函数为粒子的Schrding
5、er方程为：根据势能边界条件解此方程得状态波函数n(x)和能级分式 共轭体系中的电子可近似地当成一维势箱中运动的粒子。受一定势场束缚的微观粒子的共同特性，即量子效应：(a) 粒子可存在多种运动状态 (b) 能量量子化(c) 存在零点能(d) 粒子按几率分布，不存在运动轨道(e) 波函数可为正值、负值和零值，为零的点称为节点，节点越多，能量越高第一章、量子力学基础习题解答一、填空题（在题中的空格处填上正确答案）1101、光波粒二象性的关系式为_。 1102、德布罗意关系式为_；宏观物体的值比微观物体的值_。 1103、在电子衍射实验中，2对一个电子来说，代表_。1104、测不准关系是_，它说明了
6、_。1105、一组正交、归一的波函数1， 2， 3，。正交性的数学表达式为 ，归一性的表达式为 。 1106、 (x1， y1， z1， x2， y2， z2)2代表_。 1107、物理量xpy- ypx的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_。1108、质量为 m 的一个粒子在长为l的一维势箱中运动， (1)体系哈密顿算符的本征函数集为_ ； (2)体系的本征值谱为_， 最低能量为_ ； (3)体系处于基态时， 粒子出现在0 l/2间的概率为_ ； (4)势箱越长， 其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长_ ； (5)若该粒子在长l、宽为2l的长方形势箱中运动， 则其本征函数集为_，本征值谱
7、为 _。 1109、质量为m的粒子被局限在边长为a的立方箱中运动。波函数211(x，y，z)= _；当粒子处于状态211时，概率密度最大处坐标是_；若体系的能量为，其简并度是_。1110、在边长为a的正方体箱中运动的粒子，其能级E=的简并度是_，E= 的简并度是_。1111、双原子分子的振动，可近似看作是质量为= 的一维谐振子，其势能为V=kx2/2，它的薛定谔方程是_。1112、1927年戴维逊和革未的电子衍射实验证明了实物粒子也具有波动性。欲使电子射线产生的衍射环纹与Cu的K线(波长为154 pm的单色X射线)产生的衍射环纹相同， 电子的能量应为_J。1113、对于波函数j、j，其归一性是
8、指 ，正交性是指 。1114、若算符满足 或满足 , 则算符为厄米算符。1115、一个质量为m的微观粒子在箱长为a的一维势箱中运动时，体系的势能为 ，体系的零点能为 。1119、对氢原子 1s 态： (1) 在 r 为_处有最高值； (2) 径向分布函数 在 r 为_处有极大值；(3) 电子由 1s 态跃迁至 3d 态所需能量为_。1120、对于立方势箱中的粒子，考虑出的能量范围，在此范围内有 个能级 在此范围内有 个状态二、选择填空题（选择正确的答案，填在后面的括号内）1201、首先提出能量量子化假定的科学家是：-( ) (A) Einstein (B) Bohr (C) Schroding
9、er (D) Planck 1202、任一自由的实物粒子，其波长为，今欲求其能量，须用下列哪个公式-( ) (A) (B) (C) (D) A，B，C都可以 1203、下列哪些算符是线性算符- ( ) (A) (B) 2 (C) 用常数乘 (D) 1204、下列函数中 (A) cos kx (B) e -bx (C) e-ikx (D) (1) 哪些是的本征函数；- ( ) (2) 哪些是的本征函数；- ( ) (3) 哪些是和的共同本征函数。- ( ) 1205、线性算符具有下列性质 (U + V) = U+V (cV) = cV 式中c为复函数，下列算符中哪些是线性算符 -( ) (A)
10、U=U， =常数 (B) U=U* (C) U=U2 (D) U = (E) U=1/U 1206、电子自旋存在的实验根据是：- ( ) (A) 斯登-盖拉赫(Stern-Gerlach)实验 (B) 光电效应 (C) 红外光谱 (D) 光电子能谱 1207、一个在一维势箱中运动的粒子， (1) 其能量随着量子数n的增大：- ( ) (A) 越来越小 (B) 越来越大 (C) 不变 (2) 其能级差 En+1-En随着势箱长度的增大：-( ) (A) 越来越小 (B) 越来越大 (C) 不变 1208、立方势箱中的粒子，具有E=的状态的量子数。 nx ny nz是- ( )(A) 2 1 1
11、(B) 2 3 1 (C) 2 2 2 (D) 2 1 3 1209、处于状态 (x)=sin的 一维势箱中的粒子，出现在x=处的概率为- ( ) (A) P= () = sin() = sin = (B) P= ( )2= (C) P= () = (D) P= ( )2= (E) 题目提法不妥，所以以上四个答案都不对1210、在一立方势箱中，的能级数和状态数分别是(势箱宽度为l，粒子质量为m)：-( ) (A) 5，11 (B) 6，17 (C) 6，6 (D) 5，14 (E) 6，14 1211、关于光电效应，下列叙述正确的是：(可多选) （） (A)光电流大小与入射光子能量成正比 (B
12、)光电流大小与入射光子频率成正比 (C)光电流大小与入射光强度成正比 (D)入射光子能量越大，则光电子的动能越大 1212、提出实物粒子也有波粒二象性的科学家是：（ ） (A) de Brglie (B) A. Einstein (C) W. Heisenberg (D) E. Schrdinger 1213、微粒在间隔为1eV的二能级之间跃迁所产生的光谱线的波数应为：（ ） (A) 4032 cm-1 (B) 8065 cm-1 (C) 16130 cm-1 (D) 2016 cm-1 (1eV=10-19J) 1214、普朗克常数是自然界的一个基本常数，它的数值是：（ ） (A) 10-2
13、3尔格 (B) 10-30尔格秒 (C) 10-34焦耳秒 (D) 10-16尔格秒 1215、首先提出微观粒子的运动满足测不准原理的科学家是：（ ） (A) 薛定谔 (B) 狄拉克 (C) 海森堡 (D) 波恩1216、下列哪几点是属于量子力学的基本假设(多重选择)：（ ） ()电子自旋(保里原理) ()微观粒子运动的可测量的物理量可用线性厄米算符表征 ()描写微观粒子运动的波函数必须是正交归一化的 ()微观体系的力学量总是测不准的，所以满足测不准原理1217、描述微观粒子体系运动的薛定谔方程是：（ ） (A) 由经典的驻波方程推得 (B) 由光的电磁波方程推得 (C) 由经典的弦振动方程导
14、出 (D) 量子力学的一个基本假设 1218、一电子被1000V的电场所加速，打在靶上，若电子的动能可转化为光能，则相应的光波应落在什么区域（A）X光区 （B）紫外区（C）可见光区 （D）红外区1219、由戴维逊革末的衍射实验，观察某金属单晶（晶面间距d为104pm）上反射，若一级衍射的布拉格角控制为45o，则此实验要用多大的加速电压来加速电子（单位：V）- ( )（A）10 （B）25 （C）70 （D）1501220、一维势箱的薛定谔方程求解结果所得的量子数n，下面论述正确的是 （A）可取任意整数 （B） 与势箱宽度一起决定节点数 （C） 能量与n2成正比例 （D） 对应于可能的简并态三、
15、判断题（对判断给出的命题的对错，正确的题号后画，错误的题号后画）1301、根据测不准原理，任一微观粒子的动量都不能精确测定，因而只能求其平均值。1302、波函数平方有物理意义， 但波函数本身是没有物理意义的。1303、任何波函数 (x， y， z， t)都能变量分离成 (x， y， z)与 (t)的乘积。1304、=cosx， px有确定值， p2x没有确定值，只有平均值。1305、一维势箱中的粒子，势箱长度 为l， 基态时粒子出现在x=l/2处的概率密度最小。1306、波函数本身是连续的，由它推求的体系力学量也是连续的。1307、测不准关系式是判别经典力学是否适用的标准。1308、光照射到金
16、属表面时，金属中有光电子产生，且照射光的强度越大，电子逸出金属表面的动能越大。1309、量子力学中力学量算符都是线性的、厄米的。1310、在电子的衍射实验中采用单个电子穿过晶体粉末，在足够长的时间后，在屏上得到了衍射环纹，这说明单个电子也可以产生波。四、简答题1401、对一个运动速率vc的自由粒子，有人作了如下推导 ： A B C D E 结果得出的结论。问错在何处 说明理由。1402、简述一个合格的波函数所应具有的条件1403、被束缚在0xa区间运动的粒子，当处于基态时，出现在x 区间内的概率是多少1404、一维势箱中一粒子的波函数n(x)=(2/l)1/2sin(nx/l)是下列哪些算符的
17、本征函数，并求出相应的本征值。 （A） （） （） （）= 1405、说明下列各函数是，2， z三个算符中哪个的本征函数 2pz， 2px 和2p11406、一维势箱中运动的一个粒子，其波函数为，a为势箱的长度，试问当粒子处于n=1或n=2的状态时，在0 a/4区间发现粒子的概率是否一样大，若不一样，n取几时更大一些，请通过计算说明。1407、是否是算符的本征函数，若是，本征值是多少1408、下列休克尔分子轨道中哪个是归一化的若不是归一化的，请给出归一化系数。（原子轨道是已归一化的）a.b.1409、已知一函数f(x)=2e2x，问它是否是的本征函数相应的本征值是多少1410、有一粒子在边长为
18、a的一维势箱中运动。 (1)计算当n=2时，粒子出现在0xa/4区域中的概率；(2)根据一维势箱的图，说明0xa/4区域中的概率。五、证明题1501、已知一维运动的薛定谔方程为: +V（x） =E 1和2是属于同一本征值的本征函数， 证明: 1-2=常数1502、试证明实函数2 ()=(1/)1/2cos2和2()=(2/)1/2sin2cos都是方程 + 4 ()=0 的解。1503、证明函数x+iy，x-iy和z都是角动量算符的本征函数，相应的本征值是多少1504、已知有2n个碳原子相互共轭的直链共轭烯烃的分子轨道能量可近似用一维势阱的能级公式表示为 Ek= k=1，2，2n 其中，m是电
19、子质量，r是相邻碳原子之间的距离，k是能级序号。试证明它的电子光谱第一吸收带(即电子基态到第一激发态的激发跃迁)波长与n成线性关系。假定一个粒子在台阶式势阱中运动，势阱宽度为l，而此台阶位于l/2l之间。1505、证明同一个厄米算符的、属于不同本征值的本征函数相互正交。1506、证明厄米算符的本征值是实数。1507、已知和是厄米算符，证明(+)和2也是厄米算符。1508、证明描述在一球面上运动的粒子（刚性转子）的波函数是三维空间中运动的自由粒子（势能V=0）的薛定谔方程的解，并求粒子的能量。 已知。1509、证明描述在一球面上运动的粒子（刚性转子）的波函数是在三维空间中运动的自由粒子（势能V=
20、0）的薛定谔方程的解，并求粒子的能量。 已知。1510、证明波函数是角动量平方的本征函数，并求粒子的角动量。已知角动量平方算符。六、计算题1601、波长=400 nm的光照射到金属铯上，计算金属铯所放出的光电子的速率。已知铯的临阈波长为600 nm。 1602、光电池阴极钾表面的功函数是 eV。当波长为350 nm的光照到电池时，发射的电子最大速率是多少 (1 eV=10-19J， 电子质量me=10-31 kg) 1603、设体系处在状态=c1211+ c2210中， 角动量M2和Mz有无定值。其值为多少若无，则求其平均值。1604、函数 (x)= 2sin - 3sin 是不是一维势箱中粒
21、子的一种可能状态 如果是， 其能量有没有确定值(本征值) 如有， 其值是多少 如果没有确定值， 其平均值是多少1605、在长为l的一维势箱中运动的粒子， 处于量子数为n的状态， 求： (1) 在箱的左端1/4区域内找到粒子的概率； (2) n为何值时， 上述概率最大 (3) 当n时， 此概率的极限是多少 (4) (3)中说明了什么 1606、(1) 写出一维简谐振子的薛定谔方程； (2) 处于最低能量状态的简谐振子的波函数是 0= ()1/4 exp-2x2/2 此处，=(42k/h2)1/4，试计算振子处在它的最低能级时的能量。 (3) 波函数在x取什么值时有最大值 计算最大值处2的数值。1
22、607、氢分子在一维势箱中运动，势箱长度l=100nm，计算量子数为n时的de Broglie波长以及n=1和n=2时氢分子在箱中49nm到51nm之间出现的概率，确定这两个状态的节面数、节面位置和概率密度最大处的位置。1608、限制在一个平面中运动的两个质量分别为m1和m2的质点 ， 用长为R的、没有质量的棒连接着，构成一个刚性转子。 (1) 建立此转子的Schrdinger方程， 并求能量的本征值和归一化的本征函数； (2) 求该转子基态的角动量平均值。已知角动量算符 =z=-i。1609、氢原子中，归一化波函数：（ 和 都是归一化的）所描述的状态，其能量平均值是（a）R；能量 出现的概率
23、是（b）；角动量平均值是（c） ；角动量 出现的概率是（d）；角动量Z分量的平均值是（e） ；角动量Z分量 出现的概率是（f）。1610、已知类氢离子 的某一状态波函数为： 则（a）此状态的能量为； （b）此状态的角动量的平方值； （c）此状态角动量在Z方向的分量为；（d）此状态的 值分别为；(e)此状态角度分布的节面数为；第一章、量子力学基础习题参考答案1100、填填空题（在题中的空格处填上正确答案）1101、E=h p=h/ 1102、 小 1103、电子概率密度 1104、xpx 微观物体的坐标和动量不能同时测准, 其不确定度的乘积不小于。1105、(a) id = 0, ij (b)
24、id = 1 1106、电子1出现在x1,y1,z1, 同时电子2出现在x2, y2, z2处的概率密度1107、-i (x - y)1108、(1) = sin n=1, 2, 3, (2) E = ; (3) 1/2 (4) 增长 (5) = sin sin E = + 1109、(1)211(x,y,z) = sin x siny sin z (2)(a/4, a/2, a/2) (3a/4, a/2, a/2) (3)61110、3, 41111、1112、T = =10-17 J1113、(（1114、（）（）1115、零，1116、(1) = sin n=1, 2, 3, (2)
25、E = ; 1117、 (1) 211(x,y,z) = sin x siny sin z (2) (a/4, a/2, a/2) (3a/4, a/2, a/2) (3) 6 1118、17，51119、(1) O 或核附近 (2) a0 或 pm (3) 89 eV1120、E = 共有17个状态, 这些状态分属6个能级。1200、选择填空题（选择正确的答案，填在后面的括号内）1201、(D) 1202、（B）1203、(D)1204、(1) B, C (2) A, B, C (3) B, C1205、(A), (D)1206、(A)1207、(1) B (2) A1208、（C）1209
26、、（E）1210、（B）1211、(C),(D)1212、(A)1213、（B）1214、(C)1215、(C)1216、(A) ,(B)1217、(D)1218、(A)1219、(C)1220、(C)1300、判断题（对判断给出的命题的对错，正确的题号后画，错误的题号后画）1301、1302、1303、1304、1305、1306、1307、1308、1309、1310、1400、简答题1401、A,B两步都是对的, A中v是自由粒子的运动速率, 它不等于实物波的传播速率u, C中用了= v/, 这就错了。 因为= u/。 又D中E=h是粒子的总能量, E中E=mv2仅为vc时粒子的动能部分
27、,两个能量是不等的。 所以 C, E都错。1402、(1) 单值的。 (2) 连续的, 一级微商也连续。 (3) 平方可积的, 即有限的。1403、P= sin2() dx= + = 1404、(A).不是 (B).是,本征值为 n2h2/(4l2) (C).不是 (D).是,本征值为 n2h2/(8ml2)1405、 是共同的本征函数 为和的线性组合,是共同 的本征函数 是共同的本征函数1406、P= = n=1，P= n=2，P=. n=2时，粒子出现在0a/4区间概率更大些。1407、 = = = =12 是，本征值为121408、归一化条件： A 2(,a是归一化的。 B ,b不是归一
28、化的。 归一化因子即。1409、 f(x)是的本征函数，本征值为。1410、 （当n=2时）= (2) 0 a/4 a/2 a x1500、证明题1501、 = 1 - 2 = 0 1 - 2 = 0 1 - 2 = 常数1502、将代入方程 说明是方程的解。 将代入方程 说明也是方程的解。1503、 故x+iy是本征函数,本征值为 故x-iy是本征函数,本征值为 故z是本征函数,本征值为 0 1504、第一吸收带是由HOMO到LUMO跃迁产生。 对本题HOMO k=n; LUMO k=n+1; 所以 即1505、设u1,u2,.,.是算符的分别属于本征值.的本征函数，则有 可得 根据的厄米性,从上式可得
