1、数理统计课题组1.假设检验的基本概念假设检验的基本概念2.Neyman-Pearson范式范式3.和假设检验有关的两个问题和假设检验有关的两个问题4.广义似然比检验广义似然比检验5.单样本检验的几个实例单样本检验的几个实例6.两个样本的比较两个样本的比较7.实验设计实验设计 理解假设检验的直观概念和理解假设检验的直观概念和Neyman-Pearson范式范式 了解假设检验方法的可能缺陷了解假设检验方法的可能缺陷 掌握广义似然比检验掌握广义似然比检验 掌握正态、多项、泊松总体的假设检验掌握正态、多项、泊松总体的假设检验 掌握掌握Hanging Rootogram和概率图和概率图 掌握两个独立样本
2、的比较掌握两个独立样本的比较 理解实验设计理解实验设计假设检验的基本概念假设检验的基本概念Neyman-Pearson范式范式 Neyman-Pearson引理引理 显著性水平的确定和显著性水平的确定和p-值值一致最优检验一致最优检验和假设检验有关的两个问题和假设检验有关的两个问题置信区间和假设检验的对偶关系置信区间和假设检验的对偶关系如何选择原假设如何选择原假设广义似然比检验广义似然比检验 广义似然比方法广义似然比方法 多项分布的广义似然比检验多项分布的广义似然比检验 泊松分布的广义似然比检验泊松分布的广义似然比检验单样本检验的几个实例单样本检验的几个实例两个样本的比较两个样本的比较1.假设
3、检验的基本概念假设检验的基本概念 硬币猜测游戏硬币猜测游戏 用似然比用似然比likelihood ratio和和贝叶斯方法处理这个问题贝叶斯方法处理这个问题 正面朝上的概率硬币0 0.5硬币1 0.7猜硬币中的似然比 如果你在10次抛掷中看到2次正面朝上。则P0(2)/P1(2)=30。这就是似然比。硬币0出现这个结果的机会是硬币1的30倍0000(,)(|)()(|)()()P HxP x HP HP HxP xP x000111(|)()(|)(|)()(|)P HxP HP x HP HxP HP x H猜硬币中的似然比 根据抛掷结果计算出的后验概率成为评判根据抛掷结果计算出的后验概率成
4、为评判标准标准C是临界值是临界值critical value猜硬币中的错判概率 假定c=1。则判别规则如下：因为结果有随机性，这个规则导致错判 错误分成两类：H0为真的时候拒绝H0，H0为假的时候接受H0006,;6,XHXH则接受则拒绝临界值c对错判概率的影响 假定c=0.1，即先验概率有差异 不用贝叶斯方法不用贝叶斯方法 规避了先验概率的决定规避了先验概率的决定 对两个假设区别对待，一个成为原假设对两个假设区别对待，一个成为原假设H0(null hypotheses)，另一个成为备择，另一个成为备择假设假设H1(alternative hypotheses)由此导致在有些场合下选择原假设的
5、困难由此导致在有些场合下选择原假设的困难 第第I类错误类错误(Type I Error)，H0为真的时候拒绝为真的时候拒绝H0 检验的显著性水平检验的显著性水平(significance level)，第，第I类类错误的概率，通常记为错误的概率，通常记为 第第II类错误类错误(Type I Error)，H0为假的时候接受为假的时候接受H0，其概率记为，其概率记为 检验的功效检验的功效(power)，H0为假的时候拒绝为假的时候拒绝H0，其概率记为其概率记为 检验统计量检验统计量(test statistics)拒绝域拒绝域(rejection region)和接受域和接受域(acceptan
6、ce region)原分布原分布(null distribution)，在原假设为真的条，在原假设为真的条件检验统计量所服从的分布件检验统计量所服从的分布1,nXX2是来自正态总体的随机样本总体方差已知0011:HH事先给定显著性水平20210211211exp()2()()1exp()2niiniiXffXXX方差已知的正态2201102)nXnn（0000()/XxP XxPnn00()/xzn置信区间和假设检验的对偶关系置信区间和假设检验的对偶关系0011:HH00|Xx00|PXx0(/2)Xxz0|(/2)XXz0(/2)(/2)XXzXz(/2),(/2)XXXzXz置信区间和假设
7、检验的对偶关系：引理置信区间和假设检验的对偶关系：引理A引理A)():()100 1)C XXA 0000假定对中的每个都存在一个假设H:=的 水平为 的检验，该检验的接收域记为A(。则是 的一个（的置信区间。置信区间和假设检验：引理置信区间和假设检验：引理A证明证明A是一个检验在水平 下的接收域，所以有00()|1PA X引理A证明 则按照则按照C(X)的定义的定义0000()|()|1PCPA XX置信区间和假设检验的对偶关系：引理置信区间和假设检验的对偶关系：引理B00000()100 1)%()|1()|()C XPCAC XXX00假定是 的一个（的置信域，即对每个都有则假设H:=的
8、一个检验的水平为 的一个接收域为引理B 证明 0000()|()|1PAPC XX广义似然比检验广义似然比检验（Generalized Likelihood Ratio Test）似然比检验在对两个简单假设进行检验的时候是最优的。本节介绍的广义似然比检验将能够处理比较复杂的假设形式。其原理和似然比有相似之处。1001101(,)(|),nXXfHHXx假定观测值有一个联合密度或者频数函数。规定规定。一个比较自然的度量两个假设可信程度的指标是两个假设的似然比。广义似然比检验广义似然比检验因为在两个假设中，参数都有多个可能取值，所以在可能的参数集合上取最大值是一个可以考虑的 01*maxlik()
9、maxlik()0*maxlik()maxlik()出于数学处理上的考虑，把分母改成在整个参数集合上取最大值广义似然比检验：广义似然比检验：方差未知正态总体的均值检验方差未知正态总体的均值检验2100100010,i.i.d.:,|,nXXHH 正态分布，均值为，方差未知。要检验的假设为在这里充当三个参数空间分别为0*maxlik()maxlik()看的分子和分母0,是单点 分子很简单分母要在整个实数域上求最大值这个问题已经解决过广义似然比检验：广义似然比检验：方差未知正态总体的均值检验方差未知正态总体的均值检验20211exp()2niniX似然比统计量的分子是122211exp()2nin
10、iXX似然比统计量的分母是122202111exp()()2nniiiiXXX 22021112log()()nniiiiXXX 广义似然比检验：广义似然比检验：方差未知正态总体的均值检验方差未知正态总体的均值检验22200112200()()()-2ln()nniiiiXXXn Xn XH 利用恒等式可知在/比较大的时候应该拒绝多项分布的广义似然比检验多项分布的广义似然比检验100011:(),!max()()!mxxmpmHppnppxx.则似然比的分子是考虑多项分布的似然比检验。考虑多项分布的似然比检验。1111:,!max()()!mxxmpmHmmnppxx如果有 个格子是不受约束的
11、.即所有元素之和为1的维非负向量.似然比的分母是多项分布的广义似然比检验多项分布的广义似然比检验/iipxn根据前面学过的极大似然估计,分母在时取最大值1111111!()()!()!mimxxxmmmixxiimmnppxxpnpppxx 似然比是11,()2log2log2logiimmiiiiiiiixnppOnpOEp 由于有,()iiiiOnp Enp其中Pearson卡方统计量和似然比卡方统计量和似然比221()()miiiiPearsonxnpnp 通常用来检验拟合优度(goodness of fit)的卡方(chi-square)统计量可以证明在H0成立的条件下，Pearson
12、统计量和似然比渐近等价，这里用Taylor展开做一直观解释。Pearson卡方统计量和似然比卡方统计量和似然比12log2log()miiiipnpp 002000()logTaylor11()()()2xf xxxxf xxxxxx在 附近的展开为211()2log2()()mmiiiiiiippnppnp 21()()miiiinxnpnp右边第一项为0，这是因为两组概率之和都等于1。右边第二项求和号里面分子分母同乘以 可得Handy-Weinberg均衡均衡 在参数估计的例子中引入了Handy-Weinberg均衡.4247对 进行最大似然估计,得到估计值Bacterial Clump
13、用显微镜检查用显微镜检查0.01毫升牛奶中的细菌群的数量毫升牛奶中的细菌群的数量.计量方法是每个方格子里的数量计量方法是每个方格子里的数量 看起来用泊松分布是不错的看起来用泊松分布是不错的 以下数据来自以下数据来自Bliss and Fisher(1953)2.44Bacterial Clump22675.4,6,(0.005)18.55 自由度为Fisher重新检验孟德尔重新检验孟德尔(Mendel)的数据的数据现代基因理论的结果现代基因理论的结果孟德尔的观测结果孟德尔的观测结果2log.618 Pearson卡方统计量卡方统计量0.604泊松散布度检验泊松散布度检验(dispersion
14、test)1,nnxx1给定一组计数结果要检验的原假设是这些结果来自同一个参数为 的泊松分布，备择假设是来自参数分别为的泊松分布泊松分布的特点是均值和方差相等111/!/!iiiiinxxinxxinxiiiiiXnexxexex 原假设下的 的极大似然估计是。分母中的 意味着个不同的参数。则似然比等于泊松散布度检验泊松散布度检验(dispersion test)112log2log()2logniiiiniiixxxxxxxx 似然比检验统计量为2112log()niixxx 利用泰勒展开可以得到一个近似表达式泊松散布度检验泊松散布度检验(dispersion test)近似公式可以有如下解
15、释：等于方差估计值除以近似公式可以有如下解释：等于方差估计值除以均值估计值的比率的均值估计值的比率的n倍倍泊松分布的方差和均值相等，但一般情况下的数据泊松分布的方差和均值相等，但一般情况下的数据的方差大于均值。因此这个检验称为散布度检验的方差大于均值。因此这个检验称为散布度检验比如负二项分布和泊松分布相比就具有比如负二项分布和泊松分布相比就具有更大的散布程度更大的散布程度2/x比率有时用来计量集群程度泊松散布度检验：石棉纤维泊松散布度检验：石棉纤维泊松散布度检验：细菌菌落泊松散布度检验：细菌菌落22.44,4.591.88Pearsonx在细菌菌落例子里，我们用卡方检验来检验牛奶中的菌落数是否
16、服从泊松分布。这批数据的方差对均值的比等于而不是12752.7nTx检验统计量399p在原假设下，检验统计量服从自由度为的卡方分布。这里可以利用正态近似估算该统计量的 值。399752.7399(752.7)2 3992 399 1(12.5)0TP TP 更多的评估拟合优度的方法 Hanging rootograms Probability plots 正态性检验Hanging rootograms 原理：用图象展示观测值和拟合值的直方图之间的差异 演示数据：来自Martin,Gudzinowicz and Fanger 1975，共152 通常会用正态分布来拟合所得到的数据Hanging
17、rootograms-1(,)jjxx根据观测值可以估计均值和标准差如果服从的是正态分布，则观测值落在区间的概率应该是1jjjxxxxp,jjnjnnp样本量为则落入第 个区间的观测值个数的期望值或者拟合值等于Hanging rootogramshanging histogramjjnn画出的直方图，可以得到差异的Probability plots(1)(2)()()0,1,(order statisitcs)()1njXXXjE Xn考虑来自均匀分布的样本量为n的样本。将排序后的样本取值记为这些是所谓的次序统计量。可以证明要对一组数据对某个理论分布的拟合程度进行定性判断，概率图是极为有用的一
18、种图形工具这意味着可以比较排序后的观测值和它们的期望值Probability plots(1)(),1/(1),/(1)nXXnn n具体方法是绘制排序后的观测值和期望值的散点图均匀均匀概率图均匀均匀概率图Probability plots1100,YYYY假定生成的方法是每个 都等于两个独立的均匀分布随机变量的均值。则 应该服从三角而不是均匀分布4,00.5()44,0.51yyf yyy(1)(),1/(1),/(1)nYYnn n绘制和的散点图。概率图概率图00.20.40.60.810.00.20.40.60.81.0显然这条曲线不是线性的均匀均匀-三角概率图三角概率图概率图：概率积分
19、变换概率图：概率积分变换probability integral transformation()0,1XXYFX如果连续型随机变量 有严格递增的累积分布函数，则服从上的均匀分布。1(),()/(1)nkXXF Xkn给定样本，绘制对的散点图。其等价形式是1()1kkXFn对概率图：特定的概率图：特定的F(x)()FxF xG有些 的形式为是位置参数是尺度参数()11()11kkXkGnkXGn绘制散点图对或者对1()1kkXGn如果模型无误，则有概率图：概率图：Michelson光速测定实验结果光速测定实验结果正态性检验正态性检验正态性检验正态性检验31134114coefficient o
20、f skewness1()coefficient of kurtosis1()niiniiXXnbsXXnbs样本的偏度系数样本的峰度系数正态性检验正态性检验比较两个独立样本比较两个独立样本(Independent Samples)比较两个独立样本：基于正态分布比较两个独立样本：基于正态分布2121,nXmYXXYY来自均值为方差为的正态分布；来自均值为方差也为的正态分布XY如果把 理解为处理组的观测值则 可以理解为对照组的观测值XYXY计量差异，其估计量为211,XYXYNnm 比较两个独立样本：基于正态分布比较两个独立样本：基于正态分布方差已知方差已知2()()(0,1)11XYXYZXY
21、ZNnm如果已知，则可以根据下面的 构造的一个置信区间11()(/2)XYznm比较两个独立样本：基于正态分布比较两个独立样本：基于正态分布方差未知方差未知2222pooled sample variance(1)(1)2XYpnsmssn m一般情况下，未知，需要估计合并之后的样本方差2211/(1)()nXiisnXX其中11A,()()112nmXYiipXXYYXYYXtsnmmnt定理.如果是独立样本，也是独立样本且和独立，则服从自由度为的 分布比较两个独立样本：基于正态分布比较两个独立样本：基于正态分布方差未知方差未知2222()()11(1)(1)12XYpXYXYUsnmnsm
22、sVmn定理定理A的证明的证明统计量可以表示为U/V.U服从标准正态分布.V等于卡方随机变量除以其分布自由度.U/V服从t分布比较两个独立样本：基于正态分布比较两个独立样本：基于正态分布方差未知方差未知11pX Yssnm记-2A.A100 1)%()(/2)XYXYm nX Yts推论在定理 的假设下，的一个（置信区间为比较两个独立样本：基于正态分布比较两个独立样本：基于正态分布方差未知，例方差未知，例A问题：问题：今有今有A和和B两种决定冰的热功当量的方法两种决定冰的热功当量的方法此处放箱线图比较两个独立样本：基于正态分布比较两个独立样本：基于正态分布方差未知，例方差未知，例A2280.0
23、2.02479.98.0311270.0007178190.027AaBbabppXsXsssss.0411.012138ABABpXXXXss自由度为自由度为19的的t分布的分布的.975分位点等于分位点等于2.0931995%(.025)ABABXXXXts置信区间为()即即(.015,.065)两样本假设检验两样本假设检验1023:XYXYXYXYHHHHX YX Yts检验假设的统计量为双侧备择假设双侧备择假设 two-sided alternative单侧备择假设单侧备择假设 one-sided alternative122232,|(/2),(),()n mn mn mHttHtt
24、H tt 对于对于对于两样本假设检验，续例两样本假设检验，续例A0:3.3311ABABpHXXtsnm对做双侧检验。检验统计量为19(.005)2.8613.33.01t临界值。以水平拒绝原假设。显然，认为两种方法之间无差异是几乎没有疑义的。检验检验H0对对H1等价于似然比检验等价于似然比检验000,(,),XYXYXYH 参数的所有可能取值空间未知参数2222(1/2)()/(1/2)()/221111lik(,)22iXiYnmXYXYijee 222211()()(,)log2log221()()2XYnmiXjYijmnmnlXY 取对数求最大值：似然比的分子部分求最大值：似然比的分
25、子部分0mn00在下，我们得到的是一个来自正态总体样本量为的样本，均值和标准差未知其最大似然估计分别为0111nmijijXYmn222000111()()nmijijXYmn22000()()(,)log2log222mnmnmnl 求最大值：似然比的分母部分求最大值：似然比的分母部分21,XY为了得到下的最大似然估计和可以求对数似然的微分212122241111()0()01()()022nXiimYjjnmXYijijXYmnXY2221111()()XYnmXYijijXYXYmn似然比的计算结果似然比的计算结果2211()()(,)log2log222XYm nm nm nl 似然比
26、的分母部分是2120log2mn似然比的对数为22200011222111()()()()nmijijnmijijXYXXYY似然比检验在下列值比较大的时候拒绝原假设分子部分的变换分子部分的变换220011220011()()()()()()nniiiimmjjjjXXXn XYYYm Y01()nXmYnXmYmnmnmn00()()m XYXmnn YXYmn22211()()nmijijmnXXYYXYmn222111()()nmijijXYmnmnXXYY在比较大的时候拒绝原假设2211|()()nmijijXYXXYY其等价形式为如果方差不相等22Var()XYssXYnm如果两个总
27、体的方差不相等，则对的一个自然估计是以它为以它为t统计量的分母，所得到的统计量不再服从统计量的分母，所得到的统计量不再服从t分布，分布，但近似服从自由度为下述结果取整之后的结果的但近似服从自由度为下述结果取整之后的结果的t分布分布2222222(/)(/)df(/)(/)11XYXYsnsmsnsmnm教材例11.2.1.1待处理教材例11.2.1.1下面是对数变换的模型下面是对数变换的模型(1),1,(1),1,logloglog(1),1,logloglog(1),1,iXijYjiXijYjXinYjmXinYjm变异系数变异系数(coefficient of variation)(),
28、1,(),1,iXjYXXYYE XinE Yjm XYXY一个分布的标准差和均值的比率称为变异系数一个分布的标准差和均值的比率称为变异系数(coefficient of variation)对于变换后的数据，对于变换后的数据，t统计量为统计量为.917，p-值为值为.37。没有理由拒绝原假设。没有理由拒绝原假设。95%置信区间是置信区间是(-.61,.23).61log.23.541.26XYXY这意味着或者功效(power)XY1.实际差异，=|-|。差异越大，功效越大。2.检验的水平。显著性水平越高，检验的功效越大。3.总体标准差，这是掩盖“信号”的噪声强度。标准差越小，则检验功效越大。
29、计算功效对于在规划实验时确定样本量的大小具有重要意义。计算功效对于在规划实验时确定样本量的大小具有重要意义。检验的功效是在原假设为假的时候拒绝原假设的概率。检验的功效是在原假设为假的时候拒绝原假设的概率。影响两样本影响两样本t检验的四个要素包括：检验的四个要素包括：4.nm样本量 和。样本量越大，则功效越大。功效的计算1:XYH t如果要用精确分布计算必要的样本量，就必须使用非中心 分布。不过在样本量比较大的情况下，可以用正态近似。22,11Var()2nXYnnn 假设都已经给定，两个样本量都是。00:XYXYHH考虑2/|(/2)2|(/2)XYZnZzXYzn检验统计量为拒绝域，即XY
30、时检验的功效是检验统计量落入拒绝域的概率，即2|(/2)PXYzn2()(/2)PXYzn2()(/2)PXYzn()(/2)2/2/2/21(/2)XYznPnnzn 2(/2)zn 对功效的影响0一般说来，随着 远离 点，上述两项之中有一项会变得非常小例A。两样本比较。样本量均为18，来自正态总体，标准差都是5，显著性水平.05。1.96.12525nn如果希望能够以.9的概率发现=1的差异，需要多大样本量？这时 0，所以可以忽略第二项。解得非参数方法：Mann-Whitney检验这个检验也叫这个检验也叫Wilcoxon秩和检验秩和检验(Wilcoxon Rank Sum Test)将将m
31、+n次实验分配给处理组和对照组，次实验分配给处理组和对照组，随机抽取随机抽取n个分配给对照组，剩下的个分配给对照组，剩下的m个给处理组个给处理组要检验的原假设是处理没有效应。要检验的原假设是处理没有效应。如果原假设通过检验，就说明结果中的差异是由随机化造成的如果原假设通过检验，就说明结果中的差异是由随机化造成的统计量的计算方法如下统计量的计算方法如下1、将、将m+n个观测值放在一起，按照升序排列。个观测值放在一起，按照升序排列。（为简化问题，假定没有并列名次。实际上，出现并列（为简化问题，假定没有并列名次。实际上，出现并列名次并不影响我们的计算）。名次并不影响我们的计算）。2、计算来自对照组的
32、观测值的秩的和、计算来自对照组的观测值的秩的和3、如果秩和太大或者太小就可以拒绝原假设、如果秩和太大或者太小就可以拒绝原假设Mann-Whitney检验的简单例子4位受试，随机抽取其中两名进入处理组，剩下两名在对照组位受试，随机抽取其中两名进入处理组，剩下两名在对照组表中的数据是实验结果（响应值），括号中出现的是这个值的秩表中的数据是实验结果（响应值），括号中出现的是这个值的秩对照组的秩和等于对照组的秩和等于7，处理组的秩和等于，处理组的秩和等于3这个差异足以让我们相信在处理组和对照组的结果之间这个差异足以让我们相信在处理组和对照组的结果之间存在系统的差别吗？让我们来做一个概率计算。存在系统的
33、差别吗？让我们来做一个概率计算。Mann-Whitney检验的简单例子Mann-Whitney检验的关键思想是：检验的关键思想是：我们可以用显式公式计算原假设下的秩和分布。我们可以用显式公式计算原假设下的秩和分布。在原假设下，所有观测值的秩的组合在原假设下，所有观测值的秩的组合都是等概率的。这样一共有都是等概率的。这样一共有4!=24种结果。种结果。特别地，处理组的结果的秩特别地，处理组的结果的秩有有6种，也应该是等概率出现的。种，也应该是等概率出现的。Mann-Whitney检验mnm但是计算方法是一样的。对照组的秩可能组合一共有个，都是等概率的。分别计算出所有这些组合的和就可以得到检验的n
34、ull distribution。实际中的检验问题不可能有这么小的m和n11*(1)min(,)nRRn mnRRR R 是比较小的样本量，是这个样本的秩和。Mann-Whitney检验：例A数据来自教材数据来自教材423页，例页，例A排序结果，有并列排名并列排名的处理方式：比如有4个值都等于79.97。它们占据的名次为3,4,5和6，则每个数的秩都等于(3+4+5+6)/4=4.5*518(8 13 1)12551RRRR Mann-Whitney检验：例A 5360查表可知，双侧检验在=.01水平下的临界值是；在=.05水平下的临界值是。Mann-Whitney检验：定理A12,()Var
35、()mYYYY YYTFGE TT的秩和记为。可以得到在原假设下的和。A,(1)()2(1)Var()12YYFGm mnE Tmn mnT定理如果则有证明提示：利用教材7.3.1的定理A和BMann-Whitney检验：定理A的证明21,2,()Var()1YYYTmnmmE TmNmTmN在原假设下，是从总体中以无放回方式抽取的一个样本量为 的随机样本的和，自然等于样本均值的 倍。22212112NNN其中 为总体规模，和分别为总体均值和方差。Mann-Whitney检验1.Mann-Whitney检验不依赖正态假设2.用排序名次取代实际数字，对离群值不敏感3.可以证明，如果正态假设成立，
36、则Mann-Whitney检验和t分布的功效几乎相等4.下面我们用另一种观点看待Mann-Whitney检验,.()XFYGP XY样本 来自分布样本 来自分布考虑计量处理效应的指标Mann-Whitney检验111,10,nmijijijijXYZZmn如果的一个自然的估计值为，其中否则()()1,0,ijijXYV如果为了建立 和秩和之间的关系，考虑否则1111nmnmijijijijijijZVVZ显然有，因为是对的一个重排。Mann-Whitney检验(1)(2)11()(nmijijmVYXYXYX小于的 的个数)+小于的 的个数)+小于的 的个数)()(1)1(2)2,1,2,ky
37、kyyYRYXRYXR在合并样本中的秩记为则小于的 的个数为小于的 的个数为余者类推。12111111)2)(1)2(1)2nmijyyymijmmmyiyiiiiyVRRRmm mRiRm mT（Mann-Whitney检验0A:HFG推论在原假设下，有Mann-Whitney检验贝叶斯方法i.i.d.i.i.d.,iXjYiXYX假定是正态，均值精度precision为；假定 是正态，均值精度precision为和独立；(,)XY 的后验联合分布()/2 122post11(,)exp()()2m nnmn mXYiXjYijfxy 贝叶斯方法2221()(1)()niXXXjixnsnx
38、y利用以及 的类似分解()/2 122post22(,)exp(1)(1)2exp()exp()22n mXYXYXYfnsmsnmxyXY可见，对于固定的，和服从独立正态分布?xynmxy均值为 和，精度为和。则差异1-1-1()xynm均值为，精度为。贝叶斯方法211()XYn mptxytsnm 的边缘后验分布和 分布有关：解释是完全不一样的贝叶斯方法1111110()()(0|,)|,pppXYxyxyPX YPX YsnmsnmyxP Tsnm 由此可以得到的后验概率。用 和 记观测值补充例题比较配对样本comparing paired samples许多实验中使用的不是独立样本，而
39、是配对样本。许多实验中使用的不是独立样本，而是配对样本。医学实验。受试可能按照年龄、体重或者患病程度医学实验。受试可能按照年龄、体重或者患病程度配对，然后每个对中的一个成员会被随机分到处理组配对，然后每个对中的一个成员会被随机分到处理组，另一个进入对照组。，另一个进入对照组。或者，对是由同一位受试在计量或者，对是由同一位受试在计量“之前之前”和和“之后之后”构成构成关键问题是如何处理关键问题是如何处理“不独立不独立”样本的相关性样本的相关性比较配对样本22(,),1,.,;,Cov(,)iiXYXYiiXYiiiX YinXYX YDXY 对记为各个 和 的均值和方差为。协方差。我们要处理的是
40、。2222()Var()22iXYiXYXYXYXYE DD XYDXY对的自然估计是。其性质为22()1Var()2XYXYXYE DDn 比较配对样本22()1Var()XYXYE DDn如果是独立样本，则有222(1)Var()2Var()XYDnXYn考虑简单情形，。则有配对实验的优势在于，如果配对实验的优势在于，如果X和和Y的相关系数大于的相关系数大于0，则估计值的方差更小则估计值的方差更小Var()1Var()DXY 相对效率为比较配对样本：正态分布2()(),iXYDiDE DVar D假设差异服从正态分布通常这个值是未知的。0-1DntDts要利用下面这个自由度为的 分布1100(1)%(/2)DnDDts的置信区间是。1:0|(/2)|DnDDts0原假设H的水平为 的双侧检验拒绝域为比较配对样本：正态分布，例A数据：Levine(1973)研究比较配对样本：正态分布比较配对样本非参数方法，符号秩检验signed rank text
