1、1一、复数项无穷级数二、复变函数项级数第一节第一节 幂级数幂级数三、小结复数列及其极限复数项级数的概念及其收敛性的判定复数函数项级数的概念幂级数及其收敛性2一、复数列的极限一、复数列的极限1.1.定义定义 ,0 数相应地都能找到一个正如果任意给定称那么时成立在使 ,),(NnNn记作时的极限当为复数列 ,nn.lim nn .收敛于收敛于此时也称复数列此时也称复数列n ,),2,1(其中为一复数列设nn,nnniba ,为一确定的复数又设iba 32.2.复数列收敛的条件复数列收敛的条件 ),2,1(1的充要条件是收敛于复数列定理nn.lim,limbbaannnn 此定理说明此定理说明:可将
2、复数列的敛散性转化为判别两可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性个实数列的敛散性.4nienn)11()1(因因为为下列数列是否收敛下列数列是否收敛,如果收敛如果收敛,求出其极限求出其极限.;)11()1(ninen.sin)11(nnbn ,cos)11(nnan 所所以以而而0lim,1lim nnnnba解解 例例1 1),sin)(cos11(ninn ;1)1()2(niznn5)2(解解 nna)1(由于,时时当当 n所以数列发散所以数列发散.,)11(收敛收敛所以数列所以数列nienn .1lim nn 且且,极限不存在na6二、复数项二、复数项(无穷无穷)级数的概念级数
3、的概念1.1.定义定义,),2,1(为为一一复复数数列列设设 nbannn nnn 211表达式表达式称为复数项无穷级数称为复数项无穷级数.其最前面其最前面 n 项的和项的和nns 21称为级数的部分和称为级数的部分和.部分和部分和7收敛与发散收敛与发散,收收敛敛如如果果部部分分和和数数列列ns,1收收敛敛那那末末级级数数 nn.lim称称为为级级数数的的和和并并且且极极限限ssnn 说明说明:.lim ssnn 利用极限利用极限 与实数项级数相同与实数项级数相同,判别复数项级数敛散判别复数项级数敛散性的基本方法是性的基本方法是:,不不收收敛敛如如果果部部分分和和数数列列ns .1发散发散那末
4、级数那末级数 nn 8:,0 nnz级数级数例如例如1-21nnzzzs ,1时时由于当由于当 z,)1(11 zzznzzsnnnn 11limlim,11z .1时级数收敛时级数收敛所以当所以当 z92.2.复数项级数收敛的条件复数项级数收敛的条件 )(11收收敛敛的的充充要要条条件件级级数数 nnnnniba .11都收敛都收敛和和 nnnnba定理定理2说明说明 复数项级数的审敛问题复数项级数的审敛问题 实数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题(定理定理2)10 )1(1 1是是否否收收敛敛？级级数数 nnin解解;1 11发发散散因因为为 nnnna .1121收敛收敛 nnnnb所
5、以原级数发散所以原级数发散.课堂练习课堂练习11 11nnnnba收收敛敛的的必必要要条条件件是是和和因因为为实实数数项项级级数数.0lim0lim nnnnba和和0lim nn 级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件重要结论重要结论:.0lim1发发散散级级数数 nnnn 收敛的必要条件是收敛的必要条件是所以复数项级数所以复数项级数 1nn 12:,1 nine级级数数例例如如,0limlim innnne 因因为为不满足必要条件不满足必要条件,所以原级数发散所以原级数发散.启示启示:判别级数的敛散性时判别级数的敛散性时,可先考察可先考察0lim nn?,0limnn 如果如果级数发散级数发
6、散;应进一步判断应进一步判断.,0lim nn 133.3.绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛 .,11也也收收敛敛那那末末收收敛敛如如果果 nnnn 定理定理3条件收敛条件收敛.如果如果 收敛收敛,那末称级数那末称级数 为为绝对收敛绝对收敛.1nn 1nn 定理3说明，绝对收敛的级数本身一定是收敛的；但反过来，11却不一定收敛。收敛，如果nnnn为不收敛，则称级数而收敛，若111 nnnnnn14证证由于由于,1221 nnnnnba 而而,2222nnnnnnbabbaa 根据实数项正项级数的比较审敛法根据实数项正项级数的比较审敛法,知知 ,11都都收收敛敛及及 nnnnba .11也都
7、收敛也都收敛及及故故 nnnnba由定理由定理2可得可得.1是收敛的是收敛的 nn 证毕证毕（实数项）（实数项）正项级数正项级数 .,11也收敛那末收敛如果nnnn15说明说明,22nnnnbaba由于.111绝对收敛绝对收敛与与绝对收敛绝对收敛 nnnnnnba,11绝对收敛时绝对收敛时与与 nnnnba所以.1绝对收敛绝对收敛也也 nn，由正项级数的比较审敛法知16都收敛都收敛,故原级数收敛故原级数收敛.但是级数但是级数条件收敛条件收敛,所以原级数非绝对收敛所以原级数非绝对收敛,是条件收敛的是条件收敛的.解解 因为因为例例2 2(1)(1)级数级数 是否绝对收敛是否绝对收敛?1(1)1 2
8、nnnin 11(1)1,2nnnnn 1(1)nnn (2)(2)级数级数 是否绝对收敛呢是否绝对收敛呢?1(34)6nnni 17 !)8(1是否绝对收敛？是否绝对收敛？级数级数 nnni例例3 3,!81收敛收敛 nnn故原级数收敛故原级数收敛,且为绝对收敛且为绝对收敛.,!8!)8(nninn 因为因为所以由正项级数的比值判别法知所以由正项级数的比值判别法知:解解18为复变函数项级数为复变函数项级数.121()()()()nnnfzf zfzfz )()()()(21zfzfzfzSnn 为该级数前为该级数前n项的项的部分和部分和.设设 是定义在区域是定义在区域D上的复变函数列上的复变
9、函数列,()nfz称称三、复变函数项级数三、复变函数项级数1.1.定义定义19 )()()()(21zfzfzfzSnS(z)称为该级数在区域称为该级数在区域D上的上的和函数和函数.如果对如果对 级数级数 收敛收敛,即即 0,zD 01()nnfz 00lim()(),nnSzS z 则称级数则称级数 在在 点收敛点收敛,且且 是级数的和是级数的和.1()nnfz 0z0()S z如果级数如果级数 在在D内处处收敛内处处收敛,则称其在则称其在 1()nnfz 区域区域D内收敛内收敛.此时级数的和是此时级数的和是D内的函数内的函数2.2.收敛概念及和函数收敛概念及和函数2020120()()()
10、nnnc zacc zac za 20121,nnnnnc zcc zc zc z 这类函数项级数称为这类函数项级数称为幂级数幂级数.或或 的特殊情形的特殊情形0 函数项级数函数项级数(),nncza 三、幂级数三、幂级数1.1.定义定义21定理定理4 (Abel定理定理)若级数若级数 在在 0nnnc z 10z 处收敛，则当处收敛，则当 时时,级数级数 绝对收敛绝对收敛;0nnnc z 1zz 若级数若级数 在在 处发散，则当处发散，则当 时时,级数级数 0nnnc z 2z2zz 0nnnc z 发散发散.2.2.幂级数的敛散性幂级数的敛散性22收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径(1)级数
11、在复平面内处处绝对收敛级数在复平面内处处绝对收敛.(2)级数仅在级数仅在 z=0(即原点处即原点处)收敛，除原点外处收敛，除原点外处处发散处发散.(3)在复平面内既存在使级数发散的点在复平面内既存在使级数发散的点,也存在也存在使级数收敛的点。使级数收敛的点。由由 ,幂级数幂级数 收敛情况有三种收敛情况有三种:0nnnc z 23xyo.R收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径幂级数幂级数 0nnnzc的收敛范围是以原点为中心的圆域的收敛范围是以原点为中心的圆域.1 1.设设 时时,级数收敛级数收敛;时时,级数发散级数发散.如图如图:z z 24 幂级数幂级数00()nnnczz 的收敛范围是的收敛范围是
12、因此，因此，事实上事实上,幂级数在收敛圆周上敛散性的讨幂级数在收敛圆周上敛散性的讨问题：问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?以以 为中心的圆域为中心的圆域.0zz 收敛半径根据前面所述的三种情形收敛半径根据前面所述的三种情形,分别分别,0,.R规定为规定为论比较复杂论比较复杂,没有一般的结论没有一般的结论,要对具体级数要对具体级数进行具体分析进行具体分析.25收敛半径的求法收敛半径的求法1lim,nnncc 设级数设级数0.nnnc z (比值法比值法)如果如果则收敛半径则收敛半径 .1 Rlim,nnnc (根值法根值法)如果如果则收敛半径则收敛半径 .1 R
13、;R 当当 时时,收敛半径收敛半径 0 0;R 当当 时时,收敛半径收敛半径 26解解2111(1).1nnnzSzzzzz 1 z1lim1nnSz 级数级数 0nnz收敛收敛,1 z0lim nnz级数级数 0nnz发散发散.绝对收敛绝对收敛,且有且有在在 内内,级数级数1z 0nnz例例4 4 求级数求级数 的和函数与收敛半径的和函数与收敛半径.0nnz 所以收敛半径所以收敛半径1,R 11.1nnzz 27例例5求下列幂级数的收敛半径：求下列幂级数的收敛半径：21nnzn 1(2)nnzn (1)(2)28由于幂级数在收敛圆的内部绝对收敛，因此由于幂级数在收敛圆的内部绝对收敛，因此可得
14、出下面几个性质：可得出下面几个性质：(1)设级数设级数 和和 的收敛半径分别的收敛半径分别0nnna z 0nnnb z 为为 和和 1R2,R则在则在 内内,12min(,)zRR R 000(),nnnnnnnnnnab za zb z 0110000.nnnnnnnnnnna zb za ba ba bz 3.3.幂级数的性质幂级数的性质29(2)幂级数幂级数 的和函数的和函数0nnnc z 在收敛圆在收敛圆()s z内是解析的；且幂级数在其收敛圆内，可以逐项内是解析的；且幂级数在其收敛圆内，可以逐项求导和逐项积分。求导和逐项积分。30(3)设级数设级数 的收敛半径为的收敛半径为 r.0
15、()nnnf zc z 如果在如果在 内内,函数函数 解析解析,并且并且Rz )(zg,)(rzg 则当则当 时时,Rz 0()().nnnf g zc g z 31例例6 6 求求 的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数.11)12(nnnz112111(21).121(12)(1)2nnnzzzzzz 解解 因为因为 所以所以1121limlim2,21nnnnnncc 1.2R 111112222.12nnnnnnzzz 当当 时时,12z 又因为又因为 从而从而,111 1,1nnzzz 32例例7 7 把函数把函数 表示成形如表示成形如bz 1 0)(nnnazc的幂级数的幂级数,其中
16、其中a与与b是不相等的复常数是不相等的复常数.bz1)()(1abaz 11.1zababa 代数变形代数变形,使其分母中出现使其分母中出现)(az 凑出凑出)(11zg 把函数把函数 写成如下的形式写成如下的形式:bz 133211.1nzazazazababababa 2231111()()()()zazazbbababa 11().()nnzaba 当当 即即 时时,1,zaba zaRba所以所以34三、小结三、小结1.1.复数项无穷级数复数项无穷级数 ),2,1(收敛于复数列nn.lim,limbbaannnn )(11收敛复数项级数nnnnniba .11都收敛和nnnnba35非
17、绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数条件收敛级数.复级数的绝对收敛与条件收敛如果 收敛,那末称级数 为绝对收敛绝对收敛.1nn 1nn.111绝对收敛绝对收敛与与绝对收敛绝对收敛 nnnnnnba 绝对收敛绝对收敛 条件收敛条件收敛36方法方法1 1:比值法比值法方法方法2:根值法根值法收敛半径的求法收敛半径的求法,0lim 1 nnncc如果如果那末收敛半径那末收敛半径.1 R .,0;0,;0,1 R即即,0lim nnnc如如果果那末收敛半径那末收敛半径.1 R2.2.幂级数幂级数37幂级数的运算与性质幂级数的运算与性质38第三节第三节 泰勒级数泰勒级数二、泰勒展开定理三、将函数展开成泰勒
18、级数一、问题的引入四、典型例题五、小结与思考39一、问题的引入一、问题的引入问题问题:任一个解析函数能否用幂级数来表达？任一个解析函数能否用幂级数来表达？DKz.内任意点内任意点,)(内内解解析析在在区区域域设设函函数数Dzf,0为中心的任一圆周为中心的任一圆周内以内以为为zD如图如图:r0z.Krz 0 圆圆周周.0rz ,KD 记记为为它它与与它它的的内内部部全全包包含含于于40由柯西积分公式由柯西积分公式,有有 Kzfizf,d)(21)(其中其中 K 取正方向取正方向.,的的内内部部在在点点上上取取在在圆圆周周因因为为积积分分变变量量KzK.1 00 zzz 所以所以0001111zz
19、zzz 则则41 200000)()(11zzzzzzz nzzz)(00 0010.)()(1nnnzzz 10010)()(d)(21)(NnnKnzzzfizf 于是于是 KNnnnzzzfi.d)()()(21010 42由高阶导数公式由高阶导数公式,上式又可写成上式又可写成 1000)()()(!)()(NnNnnzRzznzfzf其中其中 KNnnnNzzzfizR d)()()(21)(010,0)(lim zRNN若若可知在可知在K内内 000)()(!)()(nnnzznzfzf43,)(内内可可以以用用幂幂级级数数来来表表示示在在即即Kzf令令qrzzzzz 000 ,)(
20、)(内内解解析析在在DKDzf 则在则在K上连续上连续,10,qq且且无无关关的的量量是是与与积积分分变变量量,)(上也连续上也连续在在因此因此Kf,)(上有界上有界在在 Kf 44即存在一个正常数即存在一个正常数M,.)(MfK 上上在在szzzfzRKNnnnNd)()()(21)(010 KNnnszzzzfd)(21000 NnnrqrM221.1qMqn 450lim nNqK0)(lim zRNN在在内成立内成立,从而在从而在K内内 圆周圆周K的半径可以任意增大的半径可以任意增大,只要只要K内成立内成立.D在在 000)()(!)()(nnnzznzfzf的的泰勒展开式泰勒展开式,
21、)(zf在在0z泰勒级数泰勒级数46如果如果0z到到D的边界上各点的最短距离为的边界上各点的最短距离为,d0z那末那末)(zf在在的泰勒展开式在内成立的泰勒展开式在内成立dzz 0因为凡满足因为凡满足dzz 0的的z必能使必能使.dR 即即由上讨论得重要定理由上讨论得重要定理泰勒展开定理泰勒展开定理)(zf在在0z的泰勒级数的泰勒级数的收敛半径的收敛半径R至少等于，至少等于，d但但成成立立，000)()(!)()(nnnzznzfzf47二、泰勒展开定理二、泰勒展开定理,2,1,0),(!10)(nzfncnn其中其中泰勒级数泰勒级数泰勒展开式泰勒展开式定理定理设设)(zf在区域在区域D内解析
22、内解析,0z为为D 内的一内的一d为为0z到到D的边界上各点的最短距离的边界上各点的最短距离,那末那末点点,dzz 0时时,00)()(nnnzzczf成立成立,当当48说明说明:1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多时弱得多;(想一想想一想,为什么为什么?);,)(.200zdzdDzf 即即之之间间的的距距离离一一个个奇奇点点到到最最近近等等于于则则内内有有奇奇点点在在如如果果;,0.30级级数数称称为为麦麦克克劳劳林林级级数数时时当当 z49)(zf因为解析，可以保证无限次可导因为解析，可以保证无限次可导即各阶导数连续即各阶导数连续.所以
23、复变函数展为泰勒级数的实用范围就所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比实变函数广的多要比实变函数广的多.注意注意问题：问题：利用泰勒级数可以将函数展开为幂级利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数数，展开式是否唯一？展开式是否唯一？50 :)(0已被展开成幂级数已被展开成幂级数在在设设zzf 202010)()()(zzazzaazf,)(0 nnzza那末那末,)(00azf,)(10azf 即即,)(!10)(zfnann 因此因此,任何解析函数展开成幂级数的结果就是任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数泰勒级数,因而是唯一的因而是唯一的.51三、将函数展开成泰勒级数三、将函数展开成泰勒级
24、数常用方法常用方法:直接法和间接法直接法和间接法.1.直接法直接法:,2,1,0,)(!10)(nzfncnn.)(0展开成幂级数展开成幂级数在在将函数将函数zzf由泰勒展开定理计算系数由泰勒展开定理计算系数52例如，例如，.0 的泰勒展开式的泰勒展开式在在求求 zez),2,1,0(,1)(0)(neznz故有故有 02!21nnnznznzzze,在复平面内处处解析在复平面内处处解析因为因为ze.R所以级数的收敛半径所以级数的收敛半径,)()(znzee 因因为为53仿照上例仿照上例,)!12()1(!5!3sin1253 nzzzzznn)(R,)!2()1(!4!21cos242 nz
25、zzznn)(R.0 cos sin 的的泰泰勒勒展展开开式式在在与与可可得得 zzz542.间接展开法间接展开法:借助于一些已知函数的展开式借助于一些已知函数的展开式,结合解析结合解析函数的性质函数的性质,幂级数运算性质幂级数运算性质(逐项求导逐项求导,积分积分等等)和其它数学技巧和其它数学技巧(代换等代换等),求函数的泰勒展求函数的泰勒展开式开式.间接法的优点间接法的优点:不需要求各阶导数与收敛半径不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直因而比直接展开更为简洁接展开更为简洁,使用范围也更为广泛使用范围也更为广泛.55例如，例如，.0 sin 的泰勒展开式的泰勒展开式在在利用间接展开法求利用间接
26、展开法求 zz)(21sinizizeeiz 012)!12()1(nnnnz 00!)(!)(21nnnnniznizi56附附:常见函数的泰勒展开式常见函数的泰勒展开式,!21)102 nnnznznzzze,111)202 nnnzzzzz,)1()1(111)302 nnnnnzzzzz)1(z)1(z)(z57,)!2()1(!4!21cos)5242 nzzzznn)(z,)!12()1(!5!3sin)41253 nzzzzznn)(z58例例1 1.)1(1 2的的幂幂级级数数展展开开成成把把函函数数zz 解解 nnzzzz)1(11121 z四、典型例题四、典型例题,11)1
27、(12 zzz上上有有一一奇奇点点在在由由于于,1内内处处处处解解析析且且在在 z,的幂级数的幂级数可展开成可展开成 z59 zz11)1(12.1,)1(321112 znzzznn上式两边逐项求导上式两边逐项求导,60例例2 2.0 )1ln(泰泰勒勒展展开开式式处处的的在在求求对对数数函函数数的的主主值值 zz分析分析,1,1 )1ln(是它的一个奇点是它的一个奇点平面内是解析的平面内是解析的向左沿负实轴剪开的向左沿负实轴剪开的在从在从 z.1 的幂级数的幂级数内可以展开成内可以展开成所以它在所以它在zz 如图如图,1 Ro1 1xy61zzzzzznnnd)1(d11000 即即 1)
28、1(32)1ln(132nzzzzznn1 z 将展开式两端沿将展开式两端沿 C 逐项积分逐项积分,得得解解zz 11)1ln(02)1()1(1nnnnnzzzz)1(z,0 1 的的曲曲线线到到内内从从为为收收敛敛圆圆设设zzC 62例例3 3.231)(的的幂幂级级数数展展开开成成把把函函数数zzzf 解解231121231zz )23()23(231 212 nzzz 1322223232321nnnzzz,2301 nnnnz.32,123 zz即即63例例4 4.cos2的的幂幂级级数数求求z解解),2cos1(21cos2zz 因因为为 !6)2(!4)2(!2)2(12cos6
29、42zzzz zzzz!62!42!221664422)2cos1(21cos2zz 所以所以 zzzz!62!42!2216543264五、小结与思考五、小结与思考 通过本课的学习通过本课的学习,应理解泰勒展开定理应理解泰勒展开定理,熟记熟记五个基本函数的泰勒展开式五个基本函数的泰勒展开式,掌握将函数展开成掌握将函数展开成泰勒级数的方法泰勒级数的方法,能比较熟练的把一些解析函数能比较熟练的把一些解析函数展开成泰勒级数展开成泰勒级数.65奇、偶函数的泰勒级数有什么特点奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?思考题思考题66 奇函数的泰勒级数只含奇函数的泰勒级数只含 z 的奇次幂项的奇次幂项,偶函数偶函
30、数的泰勒级数只含的泰勒级数只含 z 的偶次幂项的偶次幂项.思考题答案思考题答案放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.67泰勒资料Born:18 Aug 1685 in Edmonton,Middlesex,EnglandDied:29 Dec 1731 in Somerset House,London,EnglandBrook Taylor68第四节第四节 洛朗级数洛朗级数二、洛朗级数的概念三、函数的洛朗展开式一、问题的引入五、小结与思考四、典型例题69一、问题的引入一、问题的引入问题问题:.,)(00的幂级数的幂级数是否能表示为是否能表示为不解析不解析在在如果如果zzzzf nnnz
31、zc)(.10 双双边边幂幂级级数数负幂项部分负幂项部分正幂项部分正幂项部分主要部分主要部分解析部分解析部分同时收敛同时收敛收敛收敛 nnnnzzc)(0nnnnnnzzczzc)()(0001 70nnnzzc)(00 nnnzzc )(0110)(zz 令令nnnc 1收敛半径收敛半径收敛收敛时时,R 101RRzz 收敛域收敛域收敛半径收敛半径2R20Rzz 收敛域收敛域:)1(21RR 若若两收敛域无公共部分两收敛域无公共部分,:)2(21RR 两收敛域有公共部分两收敛域有公共部分.201RzzR R71结论结论:的的收收敛敛区区域域为为双双边边幂幂级级数数nnnzzc)(0 .201
32、RzzR 圆圆环环域域1R2R.0z常见的特殊圆环域常见的特殊圆环域:2R.0z200Rzz 1R.0z 01zzR 00zz.0z72:10 内内在在圆圆环环域域 z例如，例如，10)1(1)(zzzzzf及及在在都不解析都不解析,但在圆环域但在圆环域10 z及及110 z内都是解析的内都是解析的.)1(1)(zzzf 而而1,1112 zzzzzn2.问题问题:在圆环域内解析的函数是否一定能展开在圆环域内解析的函数是否一定能展开成级数成级数?,111zz 73所以所以)1(1)(zzzf ,121 nzzzz即即在在)(zf10 z内可以展开成级数内可以展开成级数.内内，在在圆圆环环域域1
33、10 z也可以展开成级数：也可以展开成级数：)1(1)(zzzf .)1()1()1(1)1(121 nzzzz nzzzz)1()1()1(1112 )1(1111zz74二、洛朗级数的概念二、洛朗级数的概念定理定理内内处处处处解解析析，在在圆圆环环域域设设 )(201RzzRzf ,)()(0nnnzzczf Cnnzfic d)()(21 10其其中中),1,0(nC为圆环域内绕为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线的任一正向简单闭曲线.0z为洛朗系数为洛朗系数.内内可可展展开开成成洛洛朗朗级级数数在在那那末末Dzf)(75 d21d21)(12 KKzfizfizf证证)()(1100zz
34、zz 因因为为对于第一个积分对于第一个积分:00001nnzzzz 111100000zzzzzzzz 0zRr2R.z1K2K1R.,)()(0100 nnnzzz 76nnnzzc)(00 d)(212 Kzfi所所以以对于第二个积分对于第二个积分:d)(211 Kzfi)()(11 00zzzz 因因为为 100zzz nnKnzzzfi)(d)()(2100102 000111zzzzz 77 1010)()(nnnzzz,)()(10110nnnzzz d)(211 Kzfi则则其中其中)(zRN d)()()(211010 KNnnnzzfzi)()(d)()(21011101zR
35、zzzfiNnNnKn 78下面证明下面证明.0)(lim1外部成立外部成立在在 KzRNN 000 zzrzzzq 令令.10,q无无关关与与积积分分变变量量)()(的的连连续续性性决决定定由由因因为为又又zfMf szzzzfzRKNnnNd)(21)(1000 rqrMnNn 221.1qMqN 79.0)(lim zRNN所所以以,)(01nnnzzc d)(21 1 Kzfi于于是是nnKnzzzfi )(d)()(2101101 d)(21d)(21)(12 KKzfizfizf则则80nnnnnnzzczzc )()(0100.)(0nnnzzc ),2,1,0(d)()(211
36、0 nzficCnn 如果如果C为在圆环域内绕为在圆环域内绕 的任何一条正向简单的任何一条正向简单0znncc 与与闭曲线闭曲线.则则可用一个式子表示为可用一个式子表示为:证毕证毕81说明说明:函数函数)(zf在圆环域内的在圆环域内的洛朗展开式洛朗展开式)(zf在圆环域内的在圆环域内的洛朗洛朗(Laurent)级数级数.nnnzzczf)()(0 1)2)某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，幂项的级数是唯一的，这就是这就是 f(z)的洛朗级数的洛朗级数.定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级
37、数的一般方法的一般方法.82三、函数的洛朗展开式三、函数的洛朗展开式常用方法常用方法:1.直接法直接法 2.间接法间接法 1.直接展开法直接展开法利用定理公式计算系数利用定理公式计算系数nc),2,1,0(d)()(2110 nzficCnn 然后写出然后写出.)()(0nnnzzczf 缺点缺点:计算往往很麻烦计算往往很麻烦.83根据正、负幂项组成的的级数的唯一性根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.优点优点:简捷简捷,快速快速.2.间接展开法间接展开法84四、典型例题四、典型例题例例1 1,0 内内在在 z
38、.)(2展展开开成成洛洛朗朗级级数数将将zezfz 解解,)(nnnzczf 由定理知由定理知:d)()(2110 Cnnzfic d213 Cnei其中其中)2,1,0(,)0(:nzC 85,3 时时当当 n0 nc,2在在圆圆环环域域内内解解析析zez故由柯西故由柯西古萨基本定理知古萨基本定理知:,2 时时当当 n由高阶导数公式知由高阶导数公式知:022)(dd)!2(1 zznnezn)!2(1 n 2)!2()(nnnzzf故故 !4!3!211122zzzz z0 d213 Cnneic86另解另解 !4!3!21143222zzzzzzez !4!3!211122zzzz本例中圆
39、环域的中心本例中圆环域的中心 z=0 既是各负幂项的奇点既是各负幂项的奇点,.2的的奇奇点点也也是是函函数数zez87例例2 2 :)2)(1(1)(在在圆圆环环域域函函数数 zzzf;10)1 z;21)2 z.2)3 z内是处处解析的内是处处解析的,试把试把 f(z)在这些区域内展开成洛朗级数在这些区域内展开成洛朗级数.解解,)2(1)1(1)(zzzf ,10 )1内内在在 z88oxy1,1 z由于由于 nzzzz2111则则2112121zz )(zf所所以以)1(2 zz 421212zz 2874321zz12 z从而从而 nnzzz2221212289 ,21 )2内内在在 z
40、12oxyzzz111111 21111zzz1 z由由11 z2 z12 z且仍有且仍有 2112121zz nnzzz2221212290)(zf于于是是 21111zzz 2222121zz 842111121zzzzznn,2 )3内内在在 z2oxy2 z由由12 z此时此时zzz211121 91 24211zzz,121 zz此时此时仍有仍有zzz111111 21111zzz)(zf故故 24211zzz 21111zzz.731432 zzz92注意注意:0 z奇点但却不是函数奇点但却不是函数)2)(1(1)(zzzf的奇点的奇点.本例中圆环域的中心本例中圆环域的中心是各负幂
41、项的是各负幂项的说明说明:1.函数函数)(zf在以在以0z为中心的圆环域内的洛朗级为中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含有数中尽管含有0zz 的负幂项的负幂项,而且而且0z又是这些又是这些项的奇点项的奇点,但是但是0z可能是函数可能是函数)(zf的奇点的奇点,也可能也可能)(zf的奇点的奇点.不是不是932.给定了函数给定了函数)(zf与复平面内的一点与复平面内的一点0z以后以后,函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式式(包括泰勒展开式作为它的特例包括泰勒展开式作为它的特例).回答：不矛盾回答：不矛盾.朗展开式是唯一的朗展开式是唯一的)问题：这与洛朗展开
42、式的唯一性是否相矛盾问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾?(唯一性唯一性:指函数在某一个给定的圆环域内的洛指函数在某一个给定的圆环域内的洛94例例2 2 :)2)(1(1)(在在圆圆环环域域函函数数 zzzf;110)1 z;11)2 z试把试把 f(z)在这些区域内展开成洛朗级数在这些区域内展开成洛朗级数.;10)1 z;21)2 z.2)3 z95解解 z0zzzfsin)(.)!12()1(02 nnnnz练习练习.0 sin 0洛洛朗朗级级数数的的去去心心邻邻域域内内展展开开成成在在将将函函数数 zzz )!12()1(!51!3111253nzzzzznn96练习练习.2 )2(01展展开开成成洛洛朗朗级级数数的的去去心心邻邻域域内内在在将将函函数数 zzz解解,220 内内在在 z )2(1)(zzzf 22112121zz 011)2(2)1(nnnnz.2221)2(2132 zz)2(2121 zz97五、小结与思考五、小结与思考 在这节课中在这节课中,我们学习了洛朗展开定理和函我们学习了洛朗展开定理和函数展开成洛朗级数的方法数展开成洛朗级数的方法.将函数展开成洛朗级将函数展开成洛朗级数是本节的重点和难点数是本节的重点和难点.
