1、广东科技学院 浅谈数学猜想与数学名题浅谈数学猜想与数学名题主主 讲讲 人人:张张 庚庚所在系部所在系部:基础部基础部数学猜想与数学名题 希尔伯特和他的希尔伯特和他的23个问题个问题 费马大定理费马大定理 哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想 四色猜想四色猜想 新世纪的数学难题新世纪的数学难题一、一、希尔伯特的希尔伯特的23个问题个问题 希尔伯特（德国，希尔伯特（德国，18621943年）是年）是19世纪世纪末和末和20世纪上半叶最伟大的数学家之一。他提出世纪上半叶最伟大的数学家之一。他提出的的23个问题更是功勋卓著、影响深远。个问题更是功勋卓著、影响深远。那是那是1900年年8月在月在巴黎巴黎召开的召开的
2、国际数学家大会上，国际数学家大会上，年仅年仅38岁的希尔伯特做了题为岁的希尔伯特做了题为数学问题数学问题的著的著名讲演，名讲演，根据根据19世纪数学研究的成果和发展趋势世纪数学研究的成果和发展趋势提出提出23个问题，个问题，成为数学史上的一个重要里程碑。成为数学史上的一个重要里程碑。在世纪之交提出的这在世纪之交提出的这23个问题，涉个问题，涉及现代数学的许多领域。一个世纪以来，及现代数学的许多领域。一个世纪以来，这些问题激发着数学家们浓厚的研究兴这些问题激发着数学家们浓厚的研究兴趣，对趣，对20世纪数学的发展起着巨大的推世纪数学的发展起着巨大的推动作用。动作用。希尔伯特的希尔伯特的23个问题个
3、问题1.证明证明“连续统假设连续统假设”，即证明，即证明“可数基数可数基数”与与“连续统基数连续统基数”之间不存在任何基数。之间不存在任何基数。2.研究算术公理的相容性。研究算术公理的相容性。(S)3.两个等底等高的四面体的体积相等。两个等底等高的四面体的体积相等。(S)4.直线作为两点间最短距离的问题。（直线作为两点间最短距离的问题。（P）5.李（李（S.Lie）的连续变换群概念，但不要）的连续变换群概念，但不要 定义群的函数的可微性假设。定义群的函数的可微性假设。(S)6.物理学的公理化。物理学的公理化。(P)7.某些数的无理性和超越性某些数的无理性和超越性。(P)8.素数问题素数问题。(
4、P)9.在任意数域中证明最一般的互反定律。在任意数域中证明最一般的互反定律。(S)10.丢番图方程的可解性。丢番图方程的可解性。(F)11.系数为任意代数数的二次型。系数为任意代数数的二次型。(P)12.阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代 数有理域上的推广。数有理域上的推广。(P)13.不可能用仅有两个变数的函数解一般不可能用仅有两个变数的函数解一般 的七次方程。的七次方程。(W)14.证明某类完全函数系的有限性。证明某类完全函数系的有限性。(F)15.舒伯特舒伯特(Schubert)计数演算的严格基计数演算的严格基 础。础。(W)16.代数曲线与代数曲面的拓扑问
5、题。代数曲线与代数曲面的拓扑问题。(P,W)17.正定形式的平方和表示。正定形式的平方和表示。(S)18.用全等多面体构造空间。用全等多面体构造空间。(P)19.正则变分问题的解一定是解析的吗？正则变分问题的解一定是解析的吗？(P)20.一般边值问题。一般边值问题。(P)21.具有指定单值群的线性微分方程解的具有指定单值群的线性微分方程解的 存在性证明。存在性证明。(S)22.通过自守函数使解析关系单值化。通过自守函数使解析关系单值化。(P)23.变分法的进一步发展。变分法的进一步发展。(P)适当的问题对科学发展的价值适当的问题对科学发展的价值 1 有问题的学科才有生命力有问题的学科才有生命力
6、 问题，在学科进展中的意义是不可否认的。一门学科充问题，在学科进展中的意义是不可否认的。一门学科充满问题，它就充满生命力；而如果缺乏问题，则预示着该学满问题，它就充满生命力；而如果缺乏问题，则预示着该学科的衰落。科的衰落。正是通过解决问题，人们才能够发现学科的新方正是通过解决问题，人们才能够发现学科的新方法、新观点和新方向，达到更为广阔和高级的新境界。法、新观点和新方向，达到更为广阔和高级的新境界。数学问题的动力，不仅来自数学以外的客观世界，也来数学问题的动力，不仅来自数学以外的客观世界，也来自数学内部的逻辑发展。例如：素数的理论；非欧几何；伽自数学内部的逻辑发展。例如：素数的理论；非欧几何；
7、伽罗瓦理论；代数不变量理论。罗瓦理论；代数不变量理论。2 提出问题是解决问题的一半提出问题是解决问题的一半问题不是随便提的，它必须是人们关心的、有价值的。问题不是随便提的，它必须是人们关心的、有价值的。要想预先判断一个问题的价值是困难的。要想预先判断一个问题的价值是困难的。问题的价值最终取决于科学从该问题得到的收益。问题的价值最终取决于科学从该问题得到的收益。只有对该学科的知识有只有对该学科的知识有广泛广泛而而深入深入了解的学者，对该学了解的学者，对该学科的发展有科的发展有清醒清醒的认识和的认识和深刻深刻洞察力的学者，才能提出洞察力的学者，才能提出有较大价值的有较大价值的“好的问题好的问题”。
8、3“好的问题好的问题”的标准的标准希尔伯特在他的演讲中就提出了这样的标准。希尔伯特在他的演讲中就提出了这样的标准。1）清晰易懂）清晰易懂:“一个清晰易懂的问题会引起人们的兴趣，一个清晰易懂的问题会引起人们的兴趣，而复杂的问题使人们望而生畏。而复杂的问题使人们望而生畏。”2）难而又可解决）难而又可解决3）对学科发展有重大推动意义）对学科发展有重大推动意义 问题解决的意义，不是局限于问题本身，而是波及整问题解决的意义，不是局限于问题本身，而是波及整个学科，推动整个学科的发展。个学科，推动整个学科的发展。“好的问题好的问题”举例举例 费马大定理费马大定理 五次方程根式解五次方程根式解 最速降线问题最
9、速降线问题 三体问题三体问题“希尔伯特问题希尔伯特问题”解决的现状解决的现状 经过整整一个世纪，希尔伯特的经过整整一个世纪，希尔伯特的23个问题中，个问题中，将近一半已经解决或基本解决。将近一半已经解决或基本解决。有些问题虽未解决，有些问题虽未解决，但也取得了重要进展。但也取得了重要进展。能够解决一个或基本解决一个希尔伯特问题的能够解决一个或基本解决一个希尔伯特问题的数学家，就自然地被公认为世界一流水平的数学家，数学家，就自然地被公认为世界一流水平的数学家，由此也可见希尔伯特问题的特殊地位。由此也可见希尔伯特问题的特殊地位。希尔伯特问题的研究与解决，希尔伯特问题的研究与解决，大大推动了许大大推
10、动了许多现代数学分支的发展多现代数学分支的发展，包括：数理逻辑、几何，包括：数理逻辑、几何基础、李群、数学物理、概率论、数论、函数论、基础、李群、数学物理、概率论、数论、函数论、代数几何、常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面代数几何、常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面论、变分法等。论、变分法等。第二问题和第十问题的研究，还促进了现代第二问题和第十问题的研究，还促进了现代计算机理论的成长。计算机理论的成长。解决著名猜想的人很牛！解决著名猜想的人很牛！提出这些猜想的人更牛！提出这些猜想的人更牛！如此如此集中集中地提出地提出一批猜想一批猜想，并，并持久持久地影响地影响了一门学科的发展，史无前例！了一门学科
11、的发展，史无前例！在在20世纪末，人们也想模仿世纪末，人们也想模仿19世纪末的希尔伯世纪末的希尔伯特，提出一批有价值的数学问题。但由于特，提出一批有价值的数学问题。但由于20世纪数世纪数学的分支越来越细，已没人能像当年的学的分支越来越细，已没人能像当年的Hilbert那样那样涉足数学的广泛领域。于是人们想到了组成一个数涉足数学的广泛领域。于是人们想到了组成一个数学家小组，并且已经付诸行动。学家小组，并且已经付诸行动。新世纪的数学难题：七个由美国克雷数学研究所新世纪的数学难题：七个由美国克雷数学研究所(Clay Mathematics Institute,CMI)于于2000年年5月月24日公布
12、的数学难题，称为千禧难题。日公布的数学难题，称为千禧难题。但是，千禧年难题只是想记载重大的未解决问题，而但是，千禧年难题只是想记载重大的未解决问题，而不是要去指导数学。不是要去指导数学。当 然，希 尔 伯 特 当 年 也 不 是 尽 善 尽 美当 然，希 尔 伯 特 当 年 也 不 是 尽 善 尽 美的。一 些 评 论 者 认 为，其的。一 些 评 论 者 认 为，其 局 限 性局 限 性 是，希 尔是，希 尔伯 特 问 题 未 包 括 拓 扑 学 和 微 分 几 何，而 这伯 特 问 题 未 包 括 拓 扑 学 和 微 分 几 何，而 这两 者 在两 者 在 2 0 世 纪 也 成 了 数
13、学 的 前 沿 和 热 点，世 纪 也 成 了 数 学 的 前 沿 和 热 点，这 是 希 尔 伯 特 没 有 预 见 到 的。此 外，希 尔这 是 希 尔 伯 特 没 有 预 见 到 的。此 外，希 尔伯 特 问 题 除 数 学 物 理 外，很 少 涉 及 应 用 数伯 特 问 题 除 数 学 物 理 外，很 少 涉 及 应 用 数学。学。希尔伯特其人希尔伯特其人 希尔伯特不仅是一位伟大的数学希尔伯特不仅是一位伟大的数学家，而且有很高尚的品德，令人尊家，而且有很高尚的品德，令人尊敬的不只是他的数学成就，也包括敬的不只是他的数学成就，也包括他优秀的人品。他优秀的人品。1第一次世界大战时拒绝在第
14、一次世界大战时拒绝在“宣言宣言”上签字上签字在第一次世界大战爆发时，德国政府让它的一在第一次世界大战爆发时，德国政府让它的一批最著名的科学家和艺术家出来发表一个批最著名的科学家和艺术家出来发表一个“宣宣言言”，声明他们拥护德国皇帝威廉二世。，声明他们拥护德国皇帝威廉二世。“宣言宣言”的第一句是：的第一句是：“说德国人发动了战争，说德国人发动了战争，这不是事实这不是事实”。“宣言宣言”的题目是的题目是告文明世界告文明世界，邀，邀请了一批知名人士签字。数学家中请了一批知名人士签字。数学家中只邀请了只邀请了世世界 声 望 最 高 的界 声 望 最 高 的 希 尔 伯 特 和 克 莱 因 两 人 签希
15、 尔 伯 特 和 克 莱 因 两 人 签名。名。前边提到过的发表埃尔朗根纲领、用前边提到过的发表埃尔朗根纲领、用不变量观点统一几何学的那位数学家克莱不变量观点统一几何学的那位数学家克莱因，未有什么怀疑就签了名。但因，未有什么怀疑就签了名。但希尔伯特希尔伯特仔细阅读后，仔细阅读后，却却表示他不能判断表示他不能判断“宣言宣言”内内容的真实性，从而容的真实性，从而拒绝签字。拒绝签字。在 宣 言 上 签 字 的，除 了 克 莱 因，还 有在 宣 言 上 签 字 的，除 了 克 莱 因，还 有德 国 的 另 一 些 著 名 的 科 学 家，如 普 朗 克，德 国 的 另 一 些 著 名 的 科 学 家，
16、如 普 朗 克，伦琴等。这份伦琴等。这份1914年年10月月15日发表的日发表的“宣宣言言”，使 文 明 世 界 震 惊：，使 文 明 世 界 震 惊：那 些 素 来 受 人 尊那 些 素 来 受 人 尊敬 的 科 学 家 们 怎 么 会 同 意 在 这 样 一 份 欺 骗敬 的 科 学 家 们 怎 么 会 同 意 在 这 样 一 份 欺 骗文明世界的文明世界的“宣言宣言”上签字？上签字？希 尔 伯 特 拒 绝 签 字，也 特 别 引 人 注希 尔 伯 特 拒 绝 签 字，也 特 别 引 人 注目。在 国 内，似 乎 他 是 一 个 卖 国 贼。当目。在 国 内，似 乎 他 是 一 个 卖 国
17、 贼。当1 9 1 4 年年 1 1 月 开 学 时，许 多 学 生 不 再 来 听月 开 学 时，许 多 学 生 不 再 来 听希 尔 伯 特 的 课。但 是 希 尔 伯 特 的 大 多 数 同希 尔 伯 特 的 课。但 是 希 尔 伯 特 的 大 多 数 同行 理 解 和 同 情 他。克 莱 因 也 很 快 就 后 悔 自行 理 解 和 同 情 他。克 莱 因 也 很 快 就 后 悔 自己 的 所 谓己 的 所 谓“爱 国爱 国”行 动。行 动。当 时 世 界 上 最 著 名当 时 世 界 上 最 著 名的 巴 黎 科 学 院 开 除 了 克 莱 因，希 尔 伯 特 则的 巴 黎 科 学
18、院 开 除 了 克 莱 因，希 尔 伯 特 则更加受到尊重。更加受到尊重。2为法国数学家达布写悼念文章为法国数学家达布写悼念文章 “达布上和达布上和”、“达布下和达布下和”，在定积分，在定积分理论中为大家所熟知。达布是法国人，而当时理论中为大家所熟知。达布是法国人，而当时法国是与德国交战的敌国。所以法国是与德国交战的敌国。所以1917年达布年达布逝世时，德国人不敢悼念他。而希尔伯特对达逝世时，德国人不敢悼念他。而希尔伯特对达布非常敬佩，他写了一篇悼念文章。布非常敬佩，他写了一篇悼念文章。文章发表后，一群学生到希尔伯特的家门口示文章发表后，一群学生到希尔伯特的家门口示威，要他收回和销毁这篇悼念威
19、，要他收回和销毁这篇悼念“敌人数学家敌人数学家”的文章。的文章。希尔伯特断然拒绝这一无理要求，并且到校长那里提希尔伯特断然拒绝这一无理要求，并且到校长那里提出辞职。结果希尔伯特很快收到了校方的道歉信。悼出辞职。结果希尔伯特很快收到了校方的道歉信。悼念达布的文章也继续刊登。念达布的文章也继续刊登。希尔伯特一生只写过四篇希尔伯特一生只写过四篇悼念文章悼念文章，除这篇外，其余三篇分别是悼念魏尔斯特，除这篇外，其余三篇分别是悼念魏尔斯特拉斯（创造拉斯（创造 语言者）、闵可夫斯基（苹果树下语言者）、闵可夫斯基（苹果树下散步者）和赫尔维茨（苹果树下散步者）。散步者）和赫尔维茨（苹果树下散步者）。苹果树下散
20、步者苹果树下散步者 希尔伯特在海德尔堡上了一学期以后，接下来的一个学期，本来可以允许他再转到柏林去听课，但他念家，于是他又回到了哥尼斯堡大学 1882年春天，赫尔曼闵可夫斯基从柏林学习了三个学期后也回到了哥尼斯堡大学闵可夫斯基从小就数学才能出众，据说有一次上数学课，老师因把问题理解错了而“挂了黑板”，同学们异口同声叫道：“闽可夫斯基去帮帮忙！”在柏林上学时，他因为出色的数学工作曾得到过一笔奖金这件事轰动了整个哥尼斯堡希尔伯特的父亲因此曾告诫自己的儿子不要冒冒失失地去和“这样知名的人”交朋友但由于对数学的热爱和共同的信念，希尔伯特和比他小两岁的闽可夫斯基很快成了好朋友 1884年春天，25岁的阿
21、道夫赫尔维茨从哥廷根来到哥尼斯堡担任副教授，他在函数论方面已有出色的研究成果希尔伯特和闽可夫斯基很快就和他们的新老师建立了密切的关系三个年轻人每天下午准5点必定相会去苹果树下散步 希尔伯特回忆道：“日复一日的散步中，我们全都埋头讨论当前数学的实际问题；相互交换对问题新近题新近获得的理解，交流彼此的想法和研究计划”在他们三人中，赫维尔茨有着“坚实的基础知识，又经过很好的整理，”所以理所当然的是带头人。但后来者居上。当时希尔伯特发现，这种学习方法比钻在教室或图书馆里啃书本不知要好多少倍！这种例行的散步一直持续了整整八年半之久以有趣的学习方式，他们探索了数学的“每一个角落”，考察着数学世界的每一个王
22、国。希尔伯特回忆道：“那时从没有想到我们竟会把自己带到那么远！”三个人就这样“结成了终身的友谊”3对康托集合论的支持对康托集合论的支持 康托的集合论打出康托的集合论打出实无限实无限的旗帜，遭到另一些持的旗帜，遭到另一些持潜潜无限无限观点的数学家的反对，包括他的老师克罗涅克尔的观点的数学家的反对，包括他的老师克罗涅克尔的反对。克罗涅克尔个性专横、语言刻薄，利用他的威望反对。克罗涅克尔个性专横、语言刻薄，利用他的威望和权势压制康托，所以康托当年的地位和待遇都不好。和权势压制康托，所以康托当年的地位和待遇都不好。而希尔伯特则客观、公正地评价康托的学术成就，并给而希尔伯特则客观、公正地评价康托的学术成
23、就，并给予支持，这予支持，这表现了希尔伯特的学术公正和为人正直。表现了希尔伯特的学术公正和为人正直。二、费马（Fermat）大定理费马大定理亦称“费马猜想”，最先由费马在阅读巴歇（CBachet）校订的丢番图算术时作为一条页边批注而提出。1670年费马之子连同其父的批注一起出版了巴歇的书的第二版，此后三个多世纪，费马大定理成为世界上最著名的数学问题，历代数学家为它的证明付出了巨大努力.1994年,这一旷世难题终于被英国数学家威尔斯（A.Wi1es）解决。旷日持久的努力，不仅解决了猜想本身，更是有力地推动了数论乃至整个数学的进步。业业余余数学家之王数学家之王 费尔玛费尔玛(Fermat,1601
24、(Fermat,16011665),1665),法国人，职业是议员。法国人，职业是议员。他非他非常喜欢数学，常常利用常喜欢数学，常常利用业余业余时间研究高深的数学问题，时间研究高深的数学问题，结果取得了很大的成就，被结果取得了很大的成就，被人称為人称為“业余业余数学家之王数学家之王”费马费马凭借凭借丰富的想像力和深丰富的想像力和深刻的洞察力，提出一系列重刻的洞察力，提出一系列重要的数学猜想要的数学猜想。费尔马小猜想费尔马小猜想 16401640年，年，费尔马在费尔马在研究质数性质研究质数性质时，时，发现了一发现了一个有趣的现象：个有趣的现象：当当n=1时时，22n+1=221+1=5；当当n=
25、2时时，22n+1=222+1=17；当当n=3时时，22n+1=223+1=257；当当n=4时时，22n+1=224+1=65537；猜测：只要猜测：只要n n是自然数，是自然数，22n+1一定是质数一定是质数 17321732年，欧拉进行了否定年，欧拉进行了否定 费马小定理费马小定理 如果如果P P是一个质数，那么对于任何自然数是一个质数，那么对于任何自然数n n，n nP P-n-n一定能够被一定能够被P P整除整除 这个猜想已证明是正确的，这个猜想被这个猜想已证明是正确的，这个猜想被称为称为“费马小定理费马小定理”利用费马小定理，是目前最有效的鉴定利用费马小定理，是目前最有效的鉴定质
26、数的方法质数的方法 Pierre de Fermat1601-1665Cubem autem in duos cubos,aut quadratoquadratum in duos quadratoquadratos,et generaliter nullam in infinitum ultra quadratum potestatem in duos eiusdem nominis fas est dividere;Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detex hanc marginis exiguitas non caparet.对于该命题
27、，我确信已发现一种奇妙的证对于该命题，我确信已发现一种奇妙的证明，可惜这里的空白太小，写不下。明，可惜这里的空白太小，写不下。不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者不可能将一个立方数写成两个立方数之和；或者将一个四次幂与成两个四次幂之和；或者，一般将一个四次幂与成两个四次幂之和；或者，一般地，不可能将一个高于地，不可能将一个高于2 2次的幂写成两个同样次次的幂写成两个同样次幂的和。幂的和。xn+yn=zn,(n 2)无整数解无整数解（1637年）年）这是真的这是真的（1994年）年）古希腊古希腊,丢番图丢番图算术算术第第IIII卷第八命题：卷第八命题：“将一个平方数分为两个平方数将一个平方
28、数分为两个平方数”即即求方程求方程x x2 2+y+y2 2=z=z2 2 的正整数解的正整数解 Pythagoras of SamosB.C.572 B.C.497毕达哥拉斯定理：毕达哥拉斯定理：在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方之和。平方之和。x2+y2=z2 万物皆数万物皆数上帝恩赐他生命的上帝恩赐他生命的1/61/6为童年；再过生命的为童年；再过生命的1/121/12，他双颊长出了胡子；再过他双颊长出了胡子；再过1/71/7后他举行了婚礼；婚后他举行了婚礼；婚后后5 5年他有了一个儿子。不幸的孩子只活到父亲生年他有了一个儿子。不幸的孩子
29、只活到父亲生命的一半年龄；他以研究数论寄托自己的哀思，命的一半年龄；他以研究数论寄托自己的哀思，4 4年之后亦撒手人寰。年之后亦撒手人寰。丢番图的墓志铭丢番图的墓志铭42157112161 LLLLLL=84Diophantus of Alexandria B.C150-A.D.364不定方程不定方程:是指末知数个数多于方程个数的代数是指末知数个数多于方程个数的代数方程或代数方程组。方程或代数方程组。（1 1）为什么）为什么费马费马猜想叫做猜想叫做费马费马定理呢？定理呢？因因为为费马曾经提出过的命题，都已经被证实费马曾经提出过的命题，都已经被证实或否定，或否定，只只剩下这一题，未能获证。剩下这
30、一题，未能获证。因为因为经过三百多年，都没有人能作出反例，经过三百多年，都没有人能作出反例，所以人们相信是它是正确的，是一个定理。所以人们相信是它是正确的，是一个定理。（2）费马提出这命题后三十年才去世，费马提出这命题后三十年才去世，为什么为什么会会把把这这个个命题做命题做“费马费马最后定理最后定理”呢？呢？两个问题两个问题 n=4=4的证明的证明v费马在给朋友的信中，曾经提及他已证费马在给朋友的信中，曾经提及他已证明了明了 n=4 的情况。但没有写出详细的的情况。但没有写出详细的证明步骤证明步骤v1674 年，贝西在少量提示下，给出这个年，贝西在少量提示下，给出这个情形的证明情形的证明v证明
31、步骤主要使用了证明步骤主要使用了“无穷递降法无穷递降法”再进一步再进一步欧拉欧拉17701770年提年提出出n=3n=3的的证证明明xn+yn=zn，当当n=3,4时无整数解时无整数解Leonhard Euler,1707-1783欧拉的策略：欧拉的策略：证明某结论证明某结论对于简单情对于简单情形成立，再形成立，再证明任何使证明任何使情形复杂化情形复杂化的操作都将的操作都将继续保持该继续保持该结论的正确结论的正确性。性。若若xk+yk=zk 无正整数解，无正整数解，则则xmk+ymk=zmk 也无正整数解。也无正整数解。为证明费马大定理对为证明费马大定理对n 的一切值成立，的一切值成立，我们仅
32、仅需要证明它在我们仅仅需要证明它在n 取素数值时成立。取素数值时成立。数学家们认为素数是最重要的数，因数学家们认为素数是最重要的数，因为它们是数学中的为它们是数学中的“原子原子”。素数是数的。素数是数的建筑材料，因为所有别的数都可以由若干建筑材料，因为所有别的数都可以由若干个素数相乘而得。个素数相乘而得。n n=5 =5 的证明的证明勒让德勒让德 Legendre(1752 1833)狄利克雷狄利克雷 Dirichlet(1805 1859)8法国人法国人81823 年，年，证明了证明了 n=58德国人德国人81828 年，年，独立证明了独立证明了 n=581832 年，年，解决了解决了 n=
33、14 的情况的情况索非索非 热尔曼热尔曼,法国数学法国数学家家热尔曼素数：热尔曼素数：使使2p+1 为素数的那些素数为素数的那些素数p 热尔曼定理：热尔曼定理：当当p和和2p+1皆为素数时皆为素数时xp+yp=zp无无整数解整数解热尔曼初步完成了热尔曼初步完成了 n=5的证明的证明新的方向新的方向Sophie Germain1770-1831n n=7 =7 的证明的证明拉梅拉梅 Gabriel Lam Gabriel Lam(1795(1795-1870)1870)8法国人法国人818391839年，年，证证明了明了n n=7=73月月1日，拉梅宣布他已证明了日，拉梅宣布他已证明了“费马最后
34、定理费马最后定理”：拉梅将拉梅将x n+y n分解成分解成(x+y)(x+y)(x+2y)(x+n 1y)其中其中=cos(2/n)+isin(2/n)，即方程，即方程 r n=1的复根的复根如果如果x n+y n=z n，那么拉梅认为每一个，那么拉梅认为每一个(x+k y)都都会是会是n次幂乘以一个单位，从而可导出矛盾次幂乘以一个单位，从而可导出矛盾但是，拉梅的好友刘维尔但是，拉梅的好友刘维尔Liouville指出，拉梅的证明中有很大的漏洞指出，拉梅的证明中有很大的漏洞拉梅忽略了拉梅忽略了“唯一分解定理唯一分解定理”的考的考虑虑同时，柯西（同时，柯西（CauchyCauchy）亦宣布他早亦宣
35、布他早已取得已取得“费马最后定理费马最后定理”的初步证的初步证明明3 3月月2222日日，两人同时向巴黎科学院提出自己的证两人同时向巴黎科学院提出自己的证明。不过，对明。不过，对于于“唯一分解定理唯一分解定理”的问题，二的问题，二人都未能成功地解决。人都未能成功地解决。5 5月月2424日，德国数学家库麦尔发表了一封信，指日，德国数学家库麦尔发表了一封信，指出出“唯一分解定理唯一分解定理”的必要性，亦清楚地显示，的必要性，亦清楚地显示，拉梅和柯西的方法是行不通的，从而平息了二拉梅和柯西的方法是行不通的，从而平息了二人的争论。人的争论。“唯一分解定理唯一分解定理”在一般的整数中，每一个合成数都在
36、一般的整数中，每一个合成数都只只可能被分可能被分解成一种解成一种“质因数连乘式质因数连乘式”但在某些但在某些“复整数复整数”中，情况未必相同中，情况未必相同例如：例如：)51)(51(326为互不相同的质数的复数中而在)51(),51(,3,2,5ba唯一分解定理”的复整数，并不符合“换句话说，形如5baErnst Kummer1810-1893 德国数学家德国数学家E E库莫尔库莫尔18471847年他证明了对于小于年他证明了对于小于100100的除了的除了3737，5959和和6767这这三个所谓非正则素数以外，三个所谓非正则素数以外，费马大定理成立。费马大定理成立。为了重为了重建唯一分解
37、定理，库默尔建唯一分解定理，库默尔在在1844-1847年间创立了年间创立了理理想数理论。想数理论。1857 年，库麦年，库麦尔获巴黎科学院颁发奖金尔获巴黎科学院颁发奖金三千法郎三千法郎突破性的进展突破性的进展悬悬赏赏十万马克十万马克德国的沃尔夫斯克勒德国的沃尔夫斯克勒 Wolfskehl(1856 1908)订立遗嘱，订立遗嘱，悬赏悬赏十万马克，奖赏在他死后一百十万马克，奖赏在他死后一百年内能证明年内能证明“费马最后定理费马最后定理”的人的人在最后时刻挽救自杀在最后时刻挽救自杀 F德国商人，学习医学，德国商人，学习医学，F1883 1883 年跟库麦尔学习年跟库麦尔学习David Hilbe
38、rt,1862-1943“费马猜想是一费马猜想是一只会下金蛋的鸡只会下金蛋的鸡”。“证明这种不可证明这种不可能性的尝试，提供能性的尝试，提供了一个明显的例子，了一个明显的例子，说明这样一个非常说明这样一个非常特殊、似乎不十分特殊、似乎不十分重要的问题会对科重要的问题会对科学产生怎样令人鼓学产生怎样令人鼓舞的影响舞的影响”。无数英雄尽折腰无数英雄尽折腰19411941年，雷麦证明年，雷麦证明 当当n n 253747887253747887时时 ，“费马最后定费马最后定理理”的第一种情况成立。的第一种情况成立。19771977年，瓦格斯塔夫证明年，瓦格斯塔夫证明当当 n 125000 n 125
39、000 时，时，“费马最后定理费马最后定理”成立。成立。无数英雄尽折腰无数英雄尽折腰19831983年德国数学家年德国数学家G.G.法尔廷斯证明：法尔廷斯证明：对于每一个大于对于每一个大于2 2的指数的指数n n，方程，方程x xn n+y+yn n=z=zn n 至至多有有限多个解。多有有限多个解。赢得赢得19861986年的菲尔兹奖年的菲尔兹奖19881988年，日本数学家宫冈洋一宣布以微分年，日本数学家宫冈洋一宣布以微分几何的角度，证明了几何的角度，证明了“费马最后定理费马最后定理”！不过，该证明后来被发现有重大而无法补救不过，该证明后来被发现有重大而无法补救的缺陷，证明不成立！的缺陷，
40、证明不成立！Robert Langlands1936.10.06-“朗兰兹纲朗兰兹纲领领”，是美国，是美国数学家罗伯数学家罗伯特特朗兰兹在朗兰兹在20世纪世纪70年代提年代提出的。出的。“朗兰朗兰兹纲领兹纲领”是对是对数论领域中重数论领域中重大难题的一个大难题的一个系统研究计划系统研究计划和纲领。和纲领。朗兰兹纲领：朗兰兹纲领：寻找所有主要数学课题寻找所有主要数学课题之间存在着的统一的连接的环链。之间存在着的统一的连接的环链。在某个数学领域中无法解答的任何问在某个数学领域中无法解答的任何问题，可以被转换成另一个领域中相应的问题，可以被转换成另一个领域中相应的问题，而在那里有一整套新武器可以用来
41、对题，而在那里有一整套新武器可以用来对付它。如果仍然难以找到解答，那么可以付它。如果仍然难以找到解答，那么可以把问题再转换到另一个数学领域中，继续把问题再转换到另一个数学领域中，继续下去直到它被解决为止。下去直到它被解决为止。费马大定理的解决费马大定理的解决 费马费马大定理被彻底征服的途径涉及到的领域大定理被彻底征服的途径涉及到的领域让所有前人出乎意外，最后的攻坚路线跟让所有前人出乎意外，最后的攻坚路线跟费费马马本人、欧拉和库莫尔等人的完全不同，他本人、欧拉和库莫尔等人的完全不同，他是现代数学诸多分支是现代数学诸多分支(椭圆曲线论、模形式椭圆曲线论、模形式理论、伽罗华表示理论等等理论、伽罗华表
42、示理论等等)综合发挥作用综合发挥作用的结果。其中最重要的武器是椭圆曲线和模的结果。其中最重要的武器是椭圆曲线和模形式理论。形式理论。谷山谷山志村猜想志村猜想谷山谷山 丰丰(1927 1958)志村五郎志村五郎（生（生于于1926）1954 年，志村五郎年，志村五郎于于东京大学结识谷山东京大学结识谷山丰丰。之后，就开始了二人对之后，就开始了二人对“模形式模形式”的研究。的研究。1955 年，谷山开始提出他的惊人猜想。年，谷山开始提出他的惊人猜想。1958 年，谷山突然自杀身亡。年，谷山突然自杀身亡。其后，志村继续谷山的研究，并提出以下猜想：其后，志村继续谷山的研究，并提出以下猜想：谷山谷山志村猜
43、想志村猜想每一条椭圆曲线，都可以对应一个模形式。每一条椭圆曲线，都可以对应一个模形式。谷山谷山志村猜想志村猜想 法国法国数学家数学家，发明，发明“自守函数自守函数”庞加莱庞加莱 Poincar(1854 1912)所谓所谓“自守函数自守函数”，就是，就是周周期函数的推广，而期函数的推广，而“模模形式形式”可以理解可以理解为为在复平面上的某种在复平面上的某种周周期函数期函数“模形式模形式”的起源的起源 起初，大多数数学家都不相信起初，大多数数学家都不相信“谷山志村猜想谷山志村猜想”60 60 年代后期，年代后期，众众多数学家反多数学家反复复地检验该猜想，地检验该猜想，既未能证实，亦未能否定它。既
44、未能证实，亦未能否定它。到了到了 70 70 年代，相信年代，相信“谷山志村猜想谷山志村猜想”的人越的人越来越多，甚至以假定来越多，甚至以假定“谷山志村猜想谷山志村猜想”成立的成立的前提下进行论证。前提下进行论证。“谷山志村猜想谷山志村猜想”与与“费马最费马最后定理后定理”的关系的关系德国数学家弗赖（德国数学家弗赖（Gerhand Frey）弗赖曲线（猜想）1984 年秋，弗赖提出以下的观点：年秋，弗赖提出以下的观点：如果如果“费马最后定理费马最后定理”不成立，不成立，那那么么“谷山志村猜想谷山志村猜想”也是错的！也是错的！费 马 最 后 定 理弗 赖 曲 线谷 山 志 村 猜 想错假如假如错
45、费 马 最 后 定 理弗 赖 曲 线谷 山 志 村 猜 想错假如假如对对再换句话说，如果再换句话说，如果“谷山志村猜想谷山志村猜想”正确，正确，那么那么“费马最后定理费马最后定理”就必定成立！就必定成立！可惜的是弗赖在可惜的是弗赖在19841984年的证明年的证明中出现了错中出现了错误误，他的结果未获承认。，他的结果未获承认。因此只能因此只能称称之为之为“猜想猜想”美国数学家里贝特经过美国数学家里贝特经过多番尝试后，终多番尝试后，终于于在在 1986 年的夏天成功地年的夏天成功地证得以下结果：证得以下结果：如果如果“谷山志村猜想谷山志村猜想”对每一个半稳定椭圆曲对每一个半稳定椭圆曲线都成立，则
46、费马最后线都成立，则费马最后定理成立。定理成立。里贝特里贝特（Kenneth Ribet）里贝特的工作使得费马大定理不可摆里贝特的工作使得费马大定理不可摆脱地与谷山志村猜想联结在了一起，脱地与谷山志村猜想联结在了一起，三个半世纪以之后，费马大定理这个孤立的问题，三个半世纪以之后，费马大定理这个孤立的问题，这个在数学的边缘上使人好奇的而无法解答地谜。这个在数学的边缘上使人好奇的而无法解答地谜。现在，重新回到台前。现在，重新回到台前。17世纪的最重要的问题与世纪的最重要的问题与20世纪最有意义的问题世纪最有意义的问题结合在了一起，一个在历史上和感情上极为重要结合在了一起，一个在历史上和感情上极为重
47、要的问题与一个可能引起现代数学革命的猜想联结的问题与一个可能引起现代数学革命的猜想联结在了一起。在了一起。怀尔斯怀尔斯 Andrew WilesAndrew Wiles英国人英国人，出生，出生于于 1953 年年10 岁已立志要证明岁已立志要证明“费马费马最后定理最后定理”1975 年，开始在剑桥大学年，开始在剑桥大学进行研究，专攻椭圆曲线进行研究，专攻椭圆曲线及岩泽理论及岩泽理论在取得博士学位后，就转在取得博士学位后，就转到美国的普林斯顿大学继到美国的普林斯顿大学继续研究工作续研究工作秘密计算v1986 年，当里贝特提出 猜想后，怀尔斯就决心要证明“谷山志村猜想”v由於不想被别人骚扰，怀尔斯
48、决定秘密地进行此证明v经过三年的努力，他开始引入“伽罗瓦表示论”来处理将“椭圆曲线”的分类问题费 马 最 后 定 理费 马 最 后 定 理谷 山 志 村 猜 想谷 山 志 村 猜 想椭圆曲线可椭圆曲线可模形化模形化伽罗瓦伽罗瓦表示论表示论水平水平岩泽理论岩泽理论类数公式类数公式=?v到了到了19911991年，怀尔斯发年，怀尔斯发觉无法以水平岩泽理觉无法以水平岩泽理论完成类数公式论完成类数公式的计算的计算v在一个数学会议中，他得到了一个新的计算在一个数学会议中，他得到了一个新的计算方法。方法。费 马 最 后 定 理费 马 最 后 定 理谷 山 志 村 猜 想谷 山 志 村 猜 想椭圆曲线可椭圆
49、曲线可模形化模形化伽罗瓦伽罗瓦表示论表示论水平水平岩泽理论岩泽理论类数公式类数公式=v怀尔斯将此方法改造后，成功地解决了有关怀尔斯将此方法改造后，成功地解决了有关问题问题科利瓦金科利瓦金弗莱契弗莱契剑桥演讲剑桥演讲1993年6月23日，在剑桥大学的牛顿研究所，怀尔斯以“模形式、椭圆曲线、伽罗瓦表示论”为题，发表了他对“谷山志村猜想”（即“费马最后定理”）的证明演讲非常成功，“费马最后定理”已被证实的消息，很快便传遍世界噩梦开始！噩梦开始！v演讲会过后，怀尔斯将长达二百多页的证明送演讲会过后，怀尔斯将长达二百多页的证明送给数论专家审阅给数论专家审阅v起初，起初，只只发现稿件中的有些发现稿件中的有
50、些细微细微的打印错误的打印错误v但但是是同年同年 9 月，证明被发现出现了问题，尤其月，证明被发现出现了问题，尤其是是“科利瓦金科利瓦金弗莱契方法弗莱契方法”，并未能对所有，并未能对所有情况生效！情况生效！v怀尔斯以怀尔斯以为为此问题很快便可以修正过来，但结此问题很快便可以修正过来，但结果都失败！果都失败！v怀尔斯已失败的传闻，不怀尔斯已失败的传闻，不径径而走。同年而走。同年 12 月，月，怀尔斯发出了以下的一份电子邮件：怀尔斯发出了以下的一份电子邮件：标题：费马状况标题：费马状况日期：日期：19931993年年1212月月4 4日日对对于于我在谷山志村猜想和费马最后定理方我在谷山志村猜想和费
