1、Copyright by Li Xinliang1知识回顾知识回顾1.差分方法的基本概念：差分方法的基本概念：差分格式、修正方程、相容性、收敛性、稳定性、差分格式、修正方程、相容性、收敛性、稳定性、LAX等价定理等价定理0 xuatu011xuuatuunjnjnjnj2.精度分析、稳定性分析与分辨率分析（修正波数）精度分析、稳定性分析与分辨率分析（修正波数）Taylor分析分析Fourier分析分析jjikxnneAu jjikxnneAu11nnAAG/1jjikxjikxjexkFeu,xikk修正波数修正波数3.激波捕捉格式激波捕捉格式 GVC,NND,Roe,Godnov,MUSCL
2、,TVD,WENO4.Euler(N-S)方程的通量分裂方程的通量分裂 逐点分裂、特征投影分裂逐点分裂、特征投影分裂（建议使用（建议使用Roe平均）平均）5.隐格式求解的隐格式求解的LU-SGS方法方法要点：要点：a.引入差量，方程线性化引入差量，方程线性化 b.单边差分，隐式代数方程显式（推进）化单边差分，隐式代数方程显式（推进）化0)(xuftu以一维为例，多维可直接推广以一维为例，多维可直接推广012/112/11xfftuunjnjnjnj方法方法1：直接隐式离散：直接隐式离散直接求解非线性方程组，计算量大非线性方程组，计算量大)()()(11nnnnnufxufufxtuu方法方法2
3、nnnnnnnnnuuuufAuAufuf11,)()(差量化线性化线性化nnnnnRHSufxtqAxtq)(已知项线化微分方程线化微分方程nnuqCopyright by Li Xinliang2Copyright by Li Xinliang3求解思路：如果直接离散，得到线性代数方程组，仍需求解，计算量大（多维情况）求解思路：如果直接离散，得到线性代数方程组，仍需求解，计算量大（多维情况）如果能单侧差分如果能单侧差分就好解了！就好解了！njnjnnjnnjRHSxqAqAtqjj21111多对角方程组，不好解多对角方程组，不好解（多维情况）（多维情况）njnjnnjnnjRHSxqAqA
4、tqjj11xtAqARHSqnjnnjnjnjj/),1/()(11nnnnRHSqAxtq中心（双侧）离散如果单如果单侧离散侧离散单侧离散，可推进求解，免受单侧离散，可推进求解，免受解方程组之苦。真简单解方程组之苦。真简单Copyright by Li Xinliang4可是，可是，A有正有负，有正有负，无法单侧差分化无法单侧差分化nnnnRHSqAxtqnnnRHSqAAxtq)(nnjjnjjnjjnjjnjRHSqAqAqAqAq)(1111还是个三对还是个三对角的角的奇思妙想：如果分成奇思妙想：如果分成两个子步，各自用单两个子步，各自用单侧值，就简单多了侧值，就简单多了强行单侧差分
5、会不稳定的强行单侧差分会不稳定的njnjjnjjnjRHSqAqAq1111*)1(*)(21分裂：AAAALF近似近似LU分解分解xt/Step 1:RHS)UL(DQRHS)QU(D)DL(D1近似LU分解RHSUQLD1njnjjnjRHSqAq11*)1(Step 2:QUQDRHSQL1njnjjnjqqAq)1()1(*11*均为递推求解均为递推求解（两次扫描），免受解方程组之苦（两次扫描），免受解方程组之苦j-1-jj+1 j以上描述适用于求解定常问题，求解非定常以上描述适用于求解定常问题，求解非定常问题该过程可用于内迭代。问题该过程可用于内迭代。迭代收敛后迭代收敛后q趋于趋于0
6、，精度由右端项决定精度由右端项决定Copyright by Li Xinliang5 9.1 有限体积法入门有限体积法入门有限体积法主要优势：有限体积法主要优势：处理复杂网格处理复杂网格差分法处理复杂外形差分法处理复杂外形 坐标变换坐标变换),(),(),(zzyyxx321321VVVffftU)(32111fffJfzyx),(),(1zyxJ坐标变换函数坐标变换函数必须足够光滑必须足够光滑 否则损失精度否则损失精度实际问题：实际问题：外形复杂，外形复杂，光滑的结构网格生成困难光滑的结构网格生成困难差分法差分法有限体积法有限体积法优点优点简单、计算量小、易简单、计算量小、易于提高精度于提高
7、精度本身包含几何信息，本身包含几何信息，易处理复杂网格易处理复杂网格不足不足差分离散与几何解耦，差分离散与几何解耦，难以处理复杂网格难以处理复杂网格复杂、不易提高精度复杂、不易提高精度Copyright by Li Xinliang69.1.1 有限体积法有限体积法 的基本概念的基本概念实质：实质：把几何信息包含于离散过程中把几何信息包含于离散过程中虽然简单，但有助于建立基本概念0)(xuftu j-1 j j+1j-1/2 j+1/21.全离散型过程全离散型过程0)(12/12/1 nnjjttxxdxdtxuftu0)()(12/12/12/12/11nnjjttjjxxnndtffdxu
8、u含义：含义：f在在j+1/2点的值点的值（注意与差分法的区别）（注意与差分法的区别）在在控制体上积分控制体上积分原方程原方程2/12/1)(1jjxxnnjdxxuxu定义：定义：空间平均空间平均1)(12/12/1nnttjnjdttftf时间平均时间平均02/12/11xfftuunjnjnjnj精确推导，不含误差精确推导，不含误差提示：提示：为区间内的空间及时为区间内的空间及时间平均值，如果把它间平均值，如果把它们理解为某点的值，们理解为某点的值，会产生误差会产生误差 njunjf2/1Copyright by Li Xinliang70)(xuftu02/12/11xfftuunjn
9、jnjnj积分（精确）积分（精确）2/12/1)(1jjxxnnjdxxuxu 重构（重构（Reconstruction)有限差分法的离散：数值微分过程有限差分法的离散：数值微分过程有限体积法的离散：数值积分过程有限体积法的离散：数值积分过程积分方程积分方程离散化离散化2/12/1)(12/12/1jjttjnjdtxftf 反演（反演（evolution)(xuunnj2/12/1)(1)(2/12/1jjttjnjndtxftfxu(1)重构过程重构过程A.零阶重构，假设分片常数零阶重构，假设分片常数 j-1 2/12/1)(jjjnxxxuxu B.线性重构，假设分片线性函数线性重构，假
10、设分片线性函数零阶重构与一阶重构示意图零阶重构与一阶重构示意图 j j+1)()(jjnjnxxDuxuxuuDnjnjj1xuuDnjnjj1orxuuDnjnjj211or或其他方法或其他方法C.更高阶的重构例如更高阶的重构例如:分片二次函数分片二次函数（PPM）,WENO等等重构是有限体积的重构是有限体积的空间离散化空间离散化过程，有多种方法过程，有多种方法Copyright by Li Xinliang8（2）演化过程演化过程 （以线性方程为例）（以线性方程为例）1)(12/12/1nnttjnjdttftf0,)(,0)(aauufxuftu需要得知时间演化信息，通常利用特征方程需要
11、得知时间演化信息，通常利用特征方程0,0axuatu)(),(0atxutxu)()()(2/12/12/1njnjjttaxautautf若采用零阶重构若采用零阶重构：2/12/1)(jjjnxxxuxu则：则：jnjnuttaxu)(2/1jjuaf2/1假设时间步长足够小假设时间步长足够小,)(2/12/12/1jjnjxxttax则方程为：则方程为：011xuuatuunjnjnjnj等价于一阶迎风差分等价于一阶迎风差分Riemann解解Copyright by Li Xinliang9若采用线性重构若采用线性重构)()(jjnjnxxDuxu)(),(0atxutxu)(2()()(
12、)(2/12/12/1njnjjnjjnjnjnjttaxDuxttaxDuttaxututDaxDuadttautfjjnjttjnjnn2)2()(122/12/1102/12/11xfftuunjnjnjnjxDDtaxDDxuuatuujjjjnjnjnjnj2)(2/)(12111若若xuuDnjnjj1xuuutaxuuatuunjnjnjnjnjnjnj2)2(112111xuuDnjnjj1xuuutaxuuuatuunjnjnjnjnjnjnjnj2)2(234122121Warming-BeamLax-Wendroff0阶重构阶重构 1阶精度阶精度线性重构线性重构 2阶精度
13、阶精度 一维均匀网格的有限体积法等价于有限差分法一维均匀网格的有限体积法等价于有限差分法Euler方程：方程：演化过程可通过演化过程可通过Riemann解或近似解或近似Riemann解进行解进行Copyright by Li Xinliang102.半离散方法半离散方法全离散：全离散：积分方程积分方程 代数方程代数方程 （守恒性好，但复杂）（守恒性好，但复杂）半离散：半离散：积分方程积分方程 常微分方程常微分方程 （简便，便于使用（简便，便于使用R-K等成熟方法）等成熟方法）0)(xuftu0)(2/12/1jjxxdxxuftu仅空间积分02/12/1xfftunjnjnj2/12/1),(
14、1)(jjxxjdxtxuxtuf 在在j+1/2点的值，仍需要点的值，仍需要使用周围点使用周围点 进行插值进行插值njf2/1 通常无法精确计算，通常无法精确计算，可采用近似值可采用近似值 代替代替njf2/102/12/1xfftunjnjnj212/1njnjnjuuaf0211xuuatunjnjnj等价于二阶中心差分等价于二阶中心差分半离散 j-1 j j+1j-1/2 j+1/2)(kuf)()(2/12/1jnjnnjxuffxuu重构重构Copyright by Li Xinliang119.1.2 一维一维Euler方程的方程的迎风型迎风型有限体积法有限体积法 j-1 j j
15、+1j-1/2 j+1/20 xtf(U)U02/12/1xtnjnjnjffU半离散1.重构重构控制体积 j-1 j j+1左重构值左重构值右重构值右重构值选择不同的模板会得到不同的重构方案选择不同的模板会得到不同的重构方案向左偏的模板产生向左偏的模板产生向右偏的模板产生向右偏的模板产生差分法差分法 同一点的导数可使用同一点的导数可使用向前差分向前差分和和向后差分向后差分，根据特征方向选择之，根据特征方向选择之Lj2/1URj2/1U例如：例如：0阶重构阶重构 1阶单边重构阶单边重构12/12/1,jRjjLjUUUU)3(21),3(21212/112/1jjRjjjLjUUUUUU根据特
16、征方向，选择左通量或右通量根据特征方向，选择左通量或右通量Lj2/1URj2/1Unj2/1f途径途径1：FVS途径途径2：FDSCopyright by Li Xinliang122.分裂方法分裂方法 （1）:FVS方法方法 （流通矢量分裂（流通矢量分裂 逐点分裂）逐点分裂）fff 具体方法：具体方法：Steger-Warming 分裂分裂 Lax-Friedrichs分裂分裂 Van Leer分裂：分裂：Liou-Steffen分裂：分裂：（压力项与其他项分开，（压力项与其他项分开，AUSM类格式的基础）类格式的基础）2kkkwcucuucucuu232221321321)(2)(2)1(
17、)()()1(2)1(22)(f2/)(*Uff根据当地根据当地Mach数分裂数分裂保证保证 的的Jocabian阵特征值为正，阵特征值为正，的为负的为负ffUAf)2/12/12/1RjLjnj(Uf(Uff正通量：正通量：向左偏斜重构；向左偏斜重构；负通量：负通量：向右偏斜重构向右偏斜重构 偏重向上游偏重向上游 与迎风差分法类似：与迎风差分法类似：网格基（或权重）偏重上游网格基（或权重）偏重上游差分、有限体积都可使用差分、有限体积都可使用一个参数，反映全部特征一个参数，反映全部特征Copyright by Li Xinliang13小知识：小知识：Liou-Steffen分裂分裂)()(2
18、200)()(pcFFpupEuuupEpuuf(U)对流项压力项思路：思路：决定特征的关键参数决定特征的关键参数 当地当地Mach数数1 1,00,11cuMa超音速，超音速，x-方向方向超音速，超音速，x+方向方向0,0,0321cucuu321,0,0,0321因此，对因此，对Mach数进行分裂更为简洁！数进行分裂更为简洁！1当01当4/)1(1当2MMMMMMaHauaMFc)(114/)1(102MMMMMM1012/)1(1MMMpMpp112/)1(10MpMMpMp显然：显然：pppMMMfff010paHauaMf参考文献：参考文献：Toro:Riemann Solvers
19、and Numerical Methods for Fluid Dynamics,section 8.4.4Liou:Ten Years in the making AUSM family,NASA TM-2001-210977类似类似 Van Leer分裂，但压力单独处理分裂，但压力单独处理MM保证光滑过渡保证光滑过渡M=1Copyright by Li Xinliang14(3)FDS 方法方法（通量差分分裂（通量差分分裂特征投影分裂）特征投影分裂）1.利用精确利用精确Riemann解解Godnov格式格式目的：Lj2/1URj2/1Unj2/1f j-1 j j+1j-1/2 j+1/2
20、控制体积 j-1 j j+1左重构值左重构值右重构值右重构值 1）精确求解精确求解Riemann问题问题Lj2/1URj2/1U2/12/12/12/1),(jRjjLjnxxUxxUtxU2）)f(Uf),()(1/2j2/1txtnj精度：精度：取决于重构的精度取决于重构的精度（原则上可任意阶）（原则上可任意阶）差分法：差分法：Godnov格式使用分格式使用分片常数，精度片常数，精度1阶阶 有限体积法：先重构，再解有限体积法：先重构，再解Riemann问题，可高阶问题，可高阶精确精确Riemann解（见本讲座第解（见本讲座第2讲）需迭代求解，计算量大讲）需迭代求解，计算量大-近似近似Rie
21、mann解解整体思路：整体思路：先重构先重构自变量自变量（两种方案得到（两种方案得到 ），），再求解再求解Riemann问题（或用问题（或用FVS）得到通量的方法通）得到通量的方法通常称为常称为MUSCL方法。方法。Lj2/1URj2/1UCopyright by Li Xinliang15差分法与有限体积法区别与差分法与有限体积法区别与联系（二阶迎风联系（二阶迎风+FVS为例）为例）差分、有限体积差分、有限体积0 xtf(U)U0 xtf(U)U0 xxtffU02/12/12/12/1xxtiiiiiffffU差分（通常做法）：差分（通常做法）：直接插值通量直接插值通量fi+1/2)/2f
22、(3ff)/2f(3ff2i1i1/2i1ii1/2i有限体积：有限体积：先插值自变量先插值自变量U，然后计然后计算通量算通量f：)/2U(3U)()/2U(3U)(2i1i2/11ii2/1ffffff1/2i1/2iRiLiUU先插值自变量，再计算通量的先插值自变量，再计算通量的方法，称为方法，称为MUSCL类方法。类方法。是有限体积法的常用方法（差是有限体积法的常用方法（差分法也可以用）分法也可以用）单侧重构，以避免跨过激波单侧重构，以避免跨过激波还可使用还可使用FDS方法，重构后求解方法，重构后求解Riemann问题问题当f=f(U)连续时，对f插值与对U插值精度相同。UGUfUUf)
23、()(（称为数值流通量）（称为数值流通量）的含义的含义Copyright by Li Xinliang16重要概念澄清：重构与插值0)(xuftuA.有限差分法：有限差分法：xffxfjjj2/12/1j+1/2切线切线j-1/2jj-12/1jf)(2/1jxf2/1jf2/1jf 注意：注意：与与 f 在在xj+1/2点的值含义不同！点的值含义不同！2/1jf用周围几个点的值用周围几个点的值 计算计算 的过程称为的过程称为“重构重构”，不能理，不能理解为用解为用 来来插值插值2/1jf jf jf)(2/1jxf记号记号 确实容易混淆，让人容易联想起确实容易混淆，让人容易联想起 。记为。记
24、为 更好些更好些2/1jf)(2/1jxf2/1jf否则，最高只能否则，最高只能达到达到2阶精度了！阶精度了！是控制体内的平均值是控制体内的平均值 （称为数值流通量）（称为数值流通量）的含义的含义Copyright by Li Xinliang17重要概念澄清：重构与插值0)(xuftuB.有限体积法：有限体积法：02/12/1xfftujjjj+1/2j-1/2)(2/12/1jjxff2/1jf2/1)(2/12/1jxxjjfxuff确实为确实为f在在xj+1/2点的值点的值！通常做法：通常做法：1）用用 计算出计算出 2）ju2/1ju)(2/12/1jjuff)(2/12/1jjxu
25、uu在xj+1/2点的值！关键：关键：是用是用 计算计算 （称为（称为重构重构），而不是用，而不是用 计算计算 （是标准的（是标准的插值插值）；否则最高也只能达到）；否则最高也只能达到2阶精度。阶精度。ju2/1ju ju2/12/1)(1jjxxjdxxuxujuju1ju1ju2/1ju18概念：MUSCL与非MUSC类方法0)(xuftuxffxujjj2/12/1j+1/2切线切线j-1/2j-12/1jf2/1jf2/1jfxffxujjj2/12/1差分差分有限体积有限体积juju方法方法1 （非（非MUSCL类）：类）：直接利用周围几个点的函数值直接利用周围几个点的函数值 或或
26、）直接计算）直接计算 （或（或 ）如何计算如何计算 或或？2/1jf2/1jf方法方法2（MUSCL类）：类）：利用周围几个点的自变量值利用周围几个点的自变量值 （或（或 ）计算出）计算出 （或（或 ）；）；然后再计算然后再计算 （或（或 ）jf)(juf2/1jf2/1jfjuju2/1ju2/1ju)(2/12/1jjuff)(2/12/1jjuff当当f=f(u)是连函数时，二者精度相同是连函数时，二者精度相同uCufuuff)()(00f的误差与的误差与u的误差同阶的误差同阶Copyright by Li Xinliang192.近似近似Riemann解解 例：例：Roe格式格式)U(
27、U21)f(U)f(U21fLjRjRjLjjSS2/12/112/12/12/1)UA(A)/()()/()(2/)(2RLRRLLRLRRLLRLHHHuuu与差分法的与差分法的Roe格式形式相同格式形式相同理解：理解：近似近似Riemann解（解（Euler方程方程 常系数线性化解）常系数线性化解）uf(u)uLuRuRoe0 xtf(U)U2/12/12/12/1),(jRjjLjnxxUxxUtxU0 xtnU)A(UU利用利用Roe平均，平均，刚好是左刚好是左右两点间的平均增长率，实现右两点间的平均增长率，实现了了常系数常系数线性化。线性化。常系数双曲方程组，易解！常系数双曲方程组
28、，易解！思路：思路：用平均增长率矩阵用平均增长率矩阵 取代瞬时增长率矩阵取代瞬时增长率矩阵A,不但实现了线性化，而且实现了常系数不但实现了线性化，而且实现了常系数化。化。利用二次齐函数的性质，可找到了利用二次齐函数的性质，可找到了Roe点（即点（即Roe平均点），该点处的增长率刚好等于平均点），该点处的增长率刚好等于平均增长率。平均增长率。ARoe平均)UA(0 xtU)UA(U常系数化常系数化线性化线性化)()()(LRLRUfUfUU)UA(常系数线性单波方程的常系数线性单波方程的Riemann问题问题太简单了太简单了200 xtU)UA(U常系数方程组的常系数方程组的Riemann问题问
29、题0 xtUSSU1SUV 0 xtVV0 xvtvkkk解耦了的单波方程，有精确解解耦了的单波方程，有精确解2/12/12/12/1),(jRjjLjnxxUxxUtxU初值初值2/12/12/12/1)()(),(jRjkjLjknkxxvxxvtxvLjkv2/1)(Rjkv2/1)(Copyright by Li Xinliang21Ljkv2/1)(Rjkv2/1)(解为解为)()(sgn(21)()(210)(0)(),(2/12/12/12/12/12/12/1LjkRjkkRjkLjkkRjkkLjkjkvvvvfvifvtxv)(sgn(21)(212/12/12/12/12
30、/1LjRjRjLjjVVVVV)()sgn(21)(212/12/112/12/12/1LjRjRjLjjUUSSUUUSUV VSU1)U(U21)f(U)f(U21fLjRjRjLjjSS2/12/112/12/12/12/12/12/1jjjUAf线性化条件线性化条件（并利用齐函数性质）（并利用齐函数性质）与差分法的与差分法的Roe格式相同格式相同)sgn(还有各种其他类型的近似还有各种其他类型的近似Riemann解（今后介绍）解（今后介绍）Copyright by Li Xinliang229.1.3 多维问题的有限体积法多维问题的有限体积法0y(U)fx(U)ftU21二维问题二维
31、问题1111,pvu2222,pvu一维一维Riemann问题，坐标选取不当，问题，坐标选取不当，变为变为“二维二维”Riemann问题问题xy差分法：差分法：独立计算独立计算只考虑各自的特征方向只考虑各自的特征方向 由于非线性，由于非线性，实际（二维）特征方向并非实际（二维）特征方向并非x,y方向特征量的线性方向特征量的线性组合。组合。特征方向计算不严格，带来误差特征方向计算不严格，带来误差差分方法：差分方法：多维情况，特征理论复杂，通常多维情况，特征理论复杂，通常x,y方向独立计算方向独立计算转化为转化为 x方向与方向与y方方向的两个一维问题向的两个一维问题xUAx(U)f11逐点分裂逐点
32、分裂特征投影分裂特征投影分裂yyUA(U)f22完全按照一维情况独立处理完全按照一维情况独立处理局部坐标旋转？局部坐标旋转？差分算法设计造成差分算法设计造成局部旋转局部旋转困难困难差分法差分法的多维的多维处理方法处理方法1.小知识：小知识：差分方法如何处理高维问题的差分方法如何处理高维问题的？优缺点？优缺点？优点：优点：简单简单缺点：特征方缺点：特征方向计算不准向计算不准Copyright by Li Xinliang232.二维有限体积方法的离散过程二维有限体积方法的离散过程0y(U)fx(U)ftU210F(U)tU在以某节点为中心的在以某节点为中心的控制体控制体上积分上积分i,jk非结构
33、网格的控制体非结构网格的控制体i+1,ji-1,ji,j+1i,j-1k3k1k2k4k5结构网格的控制体结构网格的控制体0dF(U)tU01dsnFtUdUU1dsdnFF(U)xyn01mmijHtU体积平均)()(1ymxmmmmnUnUss2ffnFH控制体边界垂控制体边界垂直于节点连线直于节点连线（也可选其他（也可选其他方式）方式）垂直平分线垂直平分线n1)建立控制体建立控制体 mx2)在控制体上积分在控制体上积分离散方程离散方程需要重构：需要重构：由节点上平均值由节点上平均值 给出函数分布，给出函数分布，最终给出通量最终给出通量ijU表示第m个界面上的值1m2m3m4m1）重构重构
34、 两种不同的重构方案，向左偏及向右偏。两种不同的重构方案，向左偏及向右偏。给出两种结果：给出两种结果：及及Copyright by Li Xinliang24i,ji+1,ji-1,ji,j+1i,j-1n左重构左重构右重构LmU2）由左右重构得到的自变量：由左右重构得到的自变量：和和 给给出通量出通量 方案方案A:FVS 方案方案B:解解Riemann问题问题（常用）（常用）LjiU,2/1RjiU,2/13.二维迎风型有限体积法二维迎风型有限体积法 LjU2/1RjU2/1例如：例如：0阶重构：阶重构：jiLjiUU,2/1jiRjiUU,1,2/1 线性重构线性重构:)(21,1,2/1
35、jijijiLjiUUUU)(21,1,2,1,2/1jijijiRjiUUUU用用i,i-1点的值点的值 插插i+1/2点的值点的值（网格剧烈变化时，应当用实际坐标插值）（网格剧烈变化时，应当用实际坐标插值）)()(2)(,1,1,1,2/1jijijijijjijiLjiUUxxxxUU用用i,i+1点的值点的值 插插i+1/2点的值点的值1111,pvu2222,pvuxy看似二维看似二维Riemann问题，其实是一维问题，其实是一维的，坐标旋转一下的，坐标旋转一下就行了就行了RmU)(RmLmmU(Uf(UffCopyright by Li Xinliang251111,pvu2222
36、,pvuxyxy（通常）进行坐标旋转（通常）进行坐标旋转旋转旋转q q角后的坐标系角后的坐标系(x,y)性质：性质：Euler方程的旋转不变性方程的旋转不变性0y(U)fx(U)ftU21qqqqcossinsincosyxyyxxqqqqcossinsincosvuvvuu0y)U(fx)U(ftU21形式上完全不变形式上完全不变（仅需把（仅需把u,v,x,y换成换成u,v,x,y即可）即可）TTTpEvpvuvvpEuvupuuEvu)(,(,)(,(,),(222)U(f)U(fU110000cossin00sincos00001)(qqqqqT10000cossin00sincos00
37、001)()(1qqqqqqTTTUU 其中：旋转矩阵其中：旋转矩阵0y(TU)fx(TU)ftTU21旋转旋转 q q 角角矩阵表示Copyright by Li Xinliang26i,ji+1,ji-1,ji,j+1i,j-1左重构左重构右重构LmURmU局部坐标系xy1111,pvu2222,pvuxyxy旋转旋转q q角后的坐标系角后的坐标系(x,y)(TU)fT(U)f(U)fnF(U)1121qqsincos习题：习题：设设 n 为平行为平行x轴的向量，试证明：轴的向量，试证明：证明：证明：EvuvuEvuqqqqcossinsincosTUqqqqqqqqsin)(cos)()
38、(sincos)(cossin)(sincos)()()(222221vpEpvuvvupEuvpuuupEpvupuuuupEvupuvupuuupEvupuu11TTUfT2222vuvu坐标旋转，标量不变坐标旋转，标量不变向量的模不变向量的模不变qqqqcossinsincosvuvvuuqqqqcossinsincosvuvvuuCopyright by Li Xinliang2701dsnFtU0)(1mmmijsnFtUi,ji+1,ji-1,ji,j+1i,j-1左重构左重构右重构LjU2/1xy于是：01mmmmijs)U(fTtU111111,pvu2222,pvuxyxy旋
39、转旋转q q角后的坐标系角后的坐标系(x,y)其中下标其中下标m表示控制体第表示控制体第m个面（线），个面（线），表示该面的面积表示该面的面积（长度）（长度）ms于是，问题转化为求控制面上的于是，问题转化为求控制面上的TUU ULjU2/1这个量有两个重构方案这个量有两个重构方案LjLjTUU2/12/1RjRjTUU2/12/1方法方法1：FVS:方法方法2：需要求解需要求解Riemann问题，旋转后，问题，旋转后，转化为转化为“扩展的扩展的”1维维Riemann问题问题0 xt)U(fU12/12/12/12/1),(jRjjLjnxxUxxUtxUEvuTUU)(RmLmmUU(fU(f
40、fCopyright by Li Xinliang28解释：解释：“扩展的扩展的”一维一维Riemann问题问题1111,pvu2222,pvuxyxy旋转旋转q q角后的坐标系角后的坐标系(x,y)0 xt)U(fU12/12/12/12/1),(jRjjLjnxxUxxUtxUEvuTUU 问题本身是一维的问题本身是一维的：所有变量都只沿着所有变量都只沿着x方向分布，沿方向分布，沿y方向均匀方向均匀 允许有允许有y方向的速度方向的速度v(比纯一维问题多一个变量）比纯一维问题多一个变量）v的存在对流动的一的存在对流动的一维性质无任何影响维性质无任何影响举例：举例：Sod激波管问题（一维）。激
41、波管问题（一维）。如果在沿如果在沿y方向匀速运动的坐标系中观察，则方方向匀速运动的坐标系中观察，则方程为程为“扩展的一维问题扩展的一维问题”，但不影响其一维性质，但不影响其一维性质坐标系沿坐标系沿y方向匀速运动方向匀速运动xy可用精确可用精确Riemann解，也可用解，也可用Roe等近似解等近似解Copyright by Li Xinliang29二维迎风型有限体积法求解步骤二维迎风型有限体积法求解步骤1）对对n时刻的平均量时刻的平均量 进行重构，给出控制面上的进行重构，给出控制面上的左、右重构值左、右重构值 ，2）将以上值旋转到（每个）控制面法向的局部坐标）将以上值旋转到（每个）控制面法向的
42、局部坐标系下：系下：3）求解上述求解上述“扩展的扩展的”一维一维Riemann问题，给出问题，给出后续时刻控制面上的值后续时刻控制面上的值4）利用积分型方程：）利用积分型方程：计算下一时刻的平均量计算下一时刻的平均量i,ji+1,ji-1,ji,j+1i,j-1左重构左重构右重构LjU2/1xyRjU2/1LmURmU0阶重构：阶重构：jiLjiUU,2/1jiRjiUU,1,2/11阶重构阶重构（线性重构）（线性重构）：)(21,1,2/1jijijiLjiUUUU)(21,1,2,1,2/1jijijiRjiUUUU更复杂的重构（更复杂的重构（WENO等）等）10000cossin00si
43、ncos00001)(qqqqqT),(tUUUULmRmmm01mmmmijs)U(fTtU111nijUnijU下标下标m指的是第指的是第m个控制面上的值个控制面上的值LjLjTUU2/12/1RjRjTUU2/12/1Copyright by Li Xinliang30知识回顾：知识回顾：Riemann问题精确解问题精确解0)()(0)()(0)(2xpuEutExputuxut0,0,),(:0222111xpuxpuputRiemann问题问题问题描述：问题描述：初始时刻，物理量分布存在初始时刻，物理量分布存在单个间断单个间断；间断两侧物理量为；间断两侧物理量为常数常数。求解思路：求
44、解思路：采用积分方程采用积分方程 单个间断，且间断两侧物理量为常数情况下：单个间断，且间断两侧物理量为常数情况下：积分方程转化为积分方程转化为代数方程代数方程代数方程：代数方程：质量、动量、能量守恒质量、动量、能量守恒计算出计算出 ，将将 与这三个值进与这三个值进行比较，判断会产生的情况。具体见下图行比较，判断会产生的情况。具体见下图：Copyright by Li Xinliang31Riemann问题的具体计算步骤问题的具体计算步骤（全流场）（全流场）0)()(0)()(0)(2xpuEutExputuxut0,0,),(:0222111xpuxpuput1.判断可能会出现的情况（五种情形
45、之一）判断可能会出现的情况（五种情形之一）iiiiiiiiiippppcppppcppppf*21*21*,1)(12,21)(21),(),(),()(22*11*ppfppfpF a.定义函数定义函数 b.进行判断进行判断12pp 21uu)0(F)(2pF)(1pF情况5情况4情况3情况121uu)0(F)(1pF)(2pF情况5情况4情况2情况112pp 单调增函数，性质很好)(),(),0(21pFpFF21uu Copyright by Li Xinliang322.求解求解中心区中心区的压力和速度的压力和速度21*)(uupF单未知数的代数方程，迭代求解（例如单未知数的代数方程，
46、迭代求解（例如Newton法，法，F(p)性质好，求解不困难）性质好，求解不困难）pF(p)00.511.52-12-8-404Function F(p)(Eq.2.4.11)with p1=rho1=1,p2=0.1,rho2=0.125*p*p*p*p*u*u),(),(2111*22*21*ppfppfuuu3.确定确定中心区中心区接触间断两侧的密度接触间断两侧的密度 以及左、右波传播的速度以及左、右波传播的速度 a.左波为激波的情况（情况左波为激波的情况（情况1,3）*2*1,*2*1,*2*1,)(*11111*1uuAA)2,1(2121*ippcAiiii1111/AuZ b.左
47、波为稀疏波的情况左波为稀疏波的情况（情况（情况2，4，5）2*1*1/cp2/)(1(*11*1uucc*1*11111;cuZcuZtailhead中中心心区区接接触触间间断断左左侧侧的的物物理理量量膨胀波的波头及波尾速度膨胀波的波头及波尾速度激波的传播速度激波的传播速度对于情况（对于情况（5），波尾速度为：），波尾速度为：11)5(112cuZtail中心区为真空，音中心区为真空，音速速 无定义，改由无定义，改由该式计算该式计算*1cCopyright by Li Xinliang33c.右波为激波的情况（情况右波为激波的情况（情况1，2）中中心心区区接接触触间间断断右右侧侧的的物物理理量
48、量2222/AuZ)2,1(2121*ippcAiiii)(*22222*2uuAA b.右波为稀疏波的情况右波为稀疏波的情况（情况（情况2，4，5）2*2*2/cp2/)(1(*22*2uucc*2*22222;cuZcuZtailhead4.计算稀疏波区域的值（如果有稀疏波的话）计算稀疏波区域的值（如果有稀疏波的话）a.左稀疏波左稀疏波 b.右稀疏波右稀疏波情况2，422)5(212cuZtail情况5：1211),(),()(),(/),(112121122ctxutxccptxccptxpctxtxutZxtZtailhead1211),(),()(),(/),(222122222cu
49、txtxccptxccptxpctxtxutZxtZheadtail注意：教科书32页c的公式有误！Copyright by Li Xinliang34有限体积法有限体积法“扩展的扩展的”Riemann问题的计算方法问题的计算方法（中心线（中心线x=0处）处）迎风型有限体积法，需要求解迎风型有限体积法，需要求解“扩展的扩展的”一维一维Riemann问题问题0 xtf(U)U00)0,(xUxUxURLEwvuUupEuwuvpuux)(2f(U)RuRvxy物理问题分析：物理问题分析：所有物理量均沿所有物理量均沿x方向一维分布，沿方向一维分布，沿y方向方向均匀分布。均匀分布。仅需计算仅需计算t
50、时刻时刻x=0处处各物理量的值各物理量的值v和和w跟随流体运动跟随流体运动，相当于，相当于“被被动标量动标量”LuLvLLLLLpwvu,RRRRRpwvu,*,pwvuLLL*,pwvuRRR穿过激波及稀疏波，穿过激波及稀疏波，切向速度不变切向速度不变Copyright by Li Xinliang35求解求解t时刻时刻x=0处物理量的具体步骤处物理量的具体步骤Step 1:求解求解 得到中心区压力得到中心区压力Step 2:计算中心区的速度计算中心区的速度Step 3:根据根据 及及 判断会出现哪种情况（五种情况之一）判断会出现哪种情况（五种情况之一）Step 4:根据具体情况（左、右波是
