1、用分离变量法解拉普拉斯方程，只适用于所考用分离变量法解拉普拉斯方程，只适用于所考虑的区域没有自由电荷的情况。若区域内有自虑的区域没有自由电荷的情况。若区域内有自由电荷，则必须解泊松方程。一种重要的特殊由电荷，则必须解泊松方程。一种重要的特殊情形是：区域内只有一个或者几个点电荷，区情形是：区域内只有一个或者几个点电荷，区域的边界是导体或者介质的简单界面。域的边界是导体或者介质的简单界面。上述特殊情形的泊松方程边值问题，可以采用上述特殊情形的泊松方程边值问题，可以采用一种比较简洁的特殊方法来求解。这种方法就一种比较简洁的特殊方法来求解。这种方法就是镜象法。是镜象法。2.4 镜象法镜象法一、镜象法的
2、基本思想一、镜象法的基本思想设点电荷设点电荷Q附近有一导体，在点电荷的电场作附近有一导体，在点电荷的电场作用下，导体表面上出现感应电荷。我们要计算用下，导体表面上出现感应电荷。我们要计算导体外的电场，这电场是导体外的电场，这电场是Q和感应电荷共同激和感应电荷共同激发的。我们设想，导体表面上的感应电荷对导发的。我们设想，导体表面上的感应电荷对导体外空间电场的作用，能否用导体内部某个或体外空间电场的作用，能否用导体内部某个或某几个假想的点电荷来代替？某几个假想的点电荷来代替？如果存在这种可能性的话，作这种代换并没有如果存在这种可能性的话，作这种代换并没有改变求解区域的电荷分布，因而并不影响改变求解
3、区域的电荷分布，因而并不影响泊松泊松方程。方程。如果这种代换所得到的电场同时又满足边界条件，如果这种代换所得到的电场同时又满足边界条件，则用假想的点电荷代替感应电荷所得到的解，就则用假想的点电荷代替感应电荷所得到的解，就是该问题的唯一正确的解。是该问题的唯一正确的解。在我们所研究的区域之外，用一些假想的电荷代在我们所研究的区域之外，用一些假想的电荷代替场问题的边界，假如这些电荷和场区域原有的替场问题的边界，假如这些电荷和场区域原有的电荷一起产生的电场满足原问题的边界条件，那电荷一起产生的电场满足原问题的边界条件，那么，它们的电势叠加起来便得到我们所要求的电么，它们的电势叠加起来便得到我们所要求
4、的电势解。势解。所以，镜象法的基本思想就是：所以，镜象法的基本思想就是：二、镜象法应用举例二、镜象法应用举例接地无限大平面导体板附近有一点电荷接地无限大平面导体板附近有一点电荷Q，距，距离为离为a。求空间中的电场。求空间中的电场。电荷分布：一个点电荷。电荷分布：一个点电荷。边界面：接地无穷大导体。边界面：接地无穷大导体。求解区域：上半空间（下半空间电势为零）求解区域：上半空间（下半空间电势为零）分析：分析：例例1已知电荷分布和界面电势已知电荷分布和界面电势(等于零等于零)，满足唯一，满足唯一性定理的要求，可以确定电势。性定理的要求，可以确定电势。Qa电荷分布和电场分布：电荷分布和电场分布：点电
5、荷点电荷Q使导体表面产生使导体表面产生异号的感应电荷。整个电异号的感应电荷。整个电场是由场是由Q和和感应电荷感应电荷共同共同产生的。产生的。由于导体表面是等势面，所以电场线垂直于导体由于导体表面是等势面，所以电场线垂直于导体表面，而且电场具有轴对称性。设用来代替感应表面，而且电场具有轴对称性。设用来代替感应电荷的假想电荷为电荷的假想电荷为Q。问题是：问题是：Q应该放在什应该放在什么位置？电量是多少？么位置？电量是多少？+Q 根据电场的轴对称性，根据电场的轴对称性，Q必在必在对称轴上，即在对称轴上，即在Q到板面的垂线到板面的垂线上。设上。设Q到板面的距离为到板面的距离为b，以，以对称轴为对称轴为
6、Z轴建立直角坐标系，轴建立直角坐标系，X轴和轴和Y轴在导体表面上。导体板上方的电势为：轴在导体表面上。导体板上方的电势为：rQrQP0412222220)()(41bzyxQazyxQ该式在导体表面应满足边界条件：该式在导体表面应满足边界条件：00z解：解：所以，所以，0222222byxQayxQ222222byxayxQQ注意到上式对任意注意到上式对任意x、y都成立，所以都成立，所以，ab QQ导体板上方的电势为：导体板上方的电势为：2222220)(1)(14azyxazyxQQ假想电荷假想电荷Q=-Q与给定电荷与给定电荷Q激激发的总电场如图所示。由对称发的总电场如图所示。由对称性看出，
7、在原导体板平面上，性看出，在原导体板平面上，电场线处处与它正交，因而满电场线处处与它正交，因而满足边界条件。足边界条件。假想电荷假想电荷Q=-Q与给定电荷与给定电荷Q关关于导体表面对称，好象镜面成像一样，这就是镜象于导体表面对称，好象镜面成像一样，这就是镜象法的由来，并称假想电荷法的由来，并称假想电荷Q为为Q的的镜象电荷。镜象电荷。注意：注意：镜象电荷的位置和电量跟介质及边界面的形镜象电荷的位置和电量跟介质及边界面的形状有关。对于其它形状的边界面，镜象电荷并不等状有关。对于其它形状的边界面，镜象电荷并不等于于-Q或与或与Q关于界面对称关于界面对称。真空中有一半径为真空中有一半径为R0的接地导体
8、球，距球心为的接地导体球，距球心为a（aR0）处有一点电荷）处有一点电荷Q，求空间各点的电势，求空间各点的电势（如图）。（如图）。例例2Q解：解：电荷分布：一个点电荷。电荷分布：一个点电荷。边界面：导体球面。边界面：导体球面。求解区域：球面外区域。求解区域：球面外区域。已知电荷分布和界面电势已知电荷分布和界面电势(等于零等于零)，满足唯一，满足唯一性定理的要求，可以确定电势。性定理的要求，可以确定电势。电荷分布和电场分布：电荷分布和电场分布：点电荷点电荷Q使导体表面产生使导体表面产生异号的感应电荷。整个电异号的感应电荷。整个电场是由场是由Q和和感应电荷感应电荷共同共同产生的。产生的。由于导体表
9、面是等势面，所以电场线垂直于导体由于导体表面是等势面，所以电场线垂直于导体表面，而且电场具有轴对称性。设用来代替感应表面，而且电场具有轴对称性。设用来代替感应电荷的假想电荷为电荷的假想电荷为Q。问题是：问题是：Q应该放在什应该放在什么位置？电量是多少？么位置？电量是多少？+Q根据电场的轴对称性，根据电场的轴对称性，Q必在对称轴上，即在必在对称轴上，即在Q到球心的连线上。设到球心的连线上。设Q到球心的距离为到球心的距离为b，以，以球心为坐标原点，对称轴为球心为坐标原点，对称轴为Z轴建立球坐标系，轴建立球坐标系，球外空间的球外空间的电势为：电势为：rQrQP041该式在导体表面应满足该式在导体表面
10、应满足边界条件：边界条件：00 RR解：解：考虑球面上任一点考虑球面上任一点P（如图）（如图）0rQrQ即对球面上任一点，应有即对球面上任一点，应有只要选只要选Q的位置，使的位置，使OPQOQP即可，此时即可，此时常数QQrr常数00RbaRrraRb20aRRb00aRQQrr0QaRQ0球外任一点球外任一点P的电势为：的电势为：cos2cos241 4122022000RbbRaQRRaaRQraQRrQ物理结果讨论：物理结果讨论：根据高斯定理，收敛于球面的根据高斯定理，收敛于球面的电通量为电通量为Q。Q为球面的总为球面的总感应电荷，它是受电荷感应电荷，它是受电荷Q的电的电场的吸引而从接地
11、处传至导体场的吸引而从接地处传至导体球上的。球上的。然而然而|Q|Q，由电荷，由电荷Q发出的电场线只有一部发出的电场线只有一部分收敛于球面上，剩下的一部分发散至无穷远分收敛于球面上，剩下的一部分发散至无穷远处。处。注意：注意：1.镜象法不仅可以计算导体边界的情况，也可以计镜象法不仅可以计算导体边界的情况，也可以计算绝缘介质分界面的情况。算绝缘介质分界面的情况。2.镜象电荷的位置由边界面的形状决定，所以各种镜象电荷的位置由边界面的形状决定，所以各种边界情况下的镜象电荷位置应该记住，以后不必边界情况下的镜象电荷位置应该记住，以后不必重新推导。重新推导。3.镜象电荷的电量由边界面的形状、介质的性质及
12、镜象电荷的电量由边界面的形状、介质的性质及给定电荷的电量有关，要根据边界条件及边值关给定电荷的电量有关，要根据边界条件及边值关系确定。系确定。4.给定电荷与镜象电荷互为镜象。给定电荷与镜象电荷互为镜象。5.一个电荷的镜象电荷可能不止一个。一个电荷的镜象电荷可能不止一个。Q QQ Q-Q-Q-Q-QQ Q设电容率分别为设电容率分别为1和和2 2的两的两种均匀介质，以无限大平面种均匀介质，以无限大平面为界。在介质为界。在介质1 1中有一点电荷中有一点电荷Q Q，求空间电势分布。，求空间电势分布。Q Q介质介质1介质介质212h-hQ Qz z4111rQrQ2222221)()(41hzyxQhzyxQ(1)rQ224(2)边界条件为：边界条件为：0201zz022011zzzz(3)(4)由由(3)可得：可得：21QQQ(5)由由(4)可得：可得：QQQ(6)联立联立(5)、(6)解得：解得：QQ2121QQ2122 222212122211)(1)(14hzyxhzyxQ所以所以222212)()(2hzyxQ
