1、3-6 关系的性质 本节讨论集合X上的二元关系R的一些特殊性质。一、自反性和反自反性一、自反性和反自反性1、自反性：设R是集合X上的二元关系，如果对于每一个xX，有R，则称R是自反的。R在X上自反(x)(xXR)2、反自反性：设R是集合X上的二元关系，如果对于每一个xX，有R，则称R是反自反的。R在X上反自反(x)(xXR)例如，在实数集合中，”是自反的，因为对于任意实数xx成立。平面上三角形的全等关系是自反的。例：X=a，b，c，R1=，是自反的，R2=，是反自反的，R3=，不是自反的也不是反自反的。注意：R不是自反的，未必一定是反自反的。一个关系可能既不是自反的，也不是反自反的。3、关系矩
2、阵的特点自反关系的关系矩阵的对角元素均为1，反自反关系的关系矩阵的对角元素均为0。4、关系图的特点自反关系的关系图，每个结点均有自回路，而反自反关系的关系图，每个结点均没有自回路。5、结论：R是X上的二元关系，则：(1)R是自反关系的充要条件是IXR。(2)R是反自反关系的充要条件是RIX=。如果|X|=n，其中n个序偶为，则X上的自反关系共有2n*n-n个。例|X|=3，X上关系共有29个，而自反关系共有26个。二、对称性和反对称性二、对称性和反对称性1、对称性：设R是集合X上的二元关系，如果对于每一个x，yX，每当R，就有R，则称R是对称的。R在X上对称(x)(y)(xXyXRR)2、反对
3、称性：设R是集合X上的二元关系，如果对于每一个x，yX，每当R和R必有x=y，则称R是反对称的。R在X上反对称(x)(y)(xXyXRRx=y)例如，平面上三角形的相似关系是对称的。例：R1=，是对称的，R2=，是对称的也是反对称的，R3=，不是对称的也不是反对称的，R4=，是反对称的。注意：存在关系既不是对称的，也不是反对称的。也存在关系既是对称的，也是反对称的。3、关系矩阵和关系图的特点 对称关系的关系矩阵是对称矩阵，即对所有i，j，rijrji，对称关系的关系图，任何两个不同的结点之间，或者有双向两条弧，或者没有弧。反对称关系的关系矩阵，如果在非对角元上rij1，则在其对称位置上rji0
4、，反对称关系的关系图，任何两个不同的结点之间至多有一条弧。三、传递性三、传递性1、定义：设R是集合X上的二元关系，如果对于任意x，y，zX，每当R，R时就有R，则称R是传递的。R在X上传递(x)(y)(z)(xXyXzXRRR)例：R1=,是传递的，R2=,也是传递的，它没有违背定义。R3=,不是传递的。2、定理：设R、S是A上的传递关系，则RS也是A上的传递关系。注意：R、S均是传递的，但RS未必是传递的。例：R=，S=，则R、S均是传递的，但RS=，不是传递的。证明：设 RS，RS，则 R，R且 S，S。因为R、S是A上的传递关系，所以R，S，从而 RS，即RS是A上的传递关系。有人说：集
5、合A上的关系R，如果是对称且传递的，则它也是自反的。其理由是，从aRb，由对称性得bRa，再由传递性得aRa，你说对吗？为什么？不对！再看自反性、对称性、传递性的定义。自反性：设R是集合X上的二元关系，如果对于每一个xX，有R，则称R是自反的。对称性：设R是集合X上的二元关系，如果对于每一个x，yX，每当R，就有R，则称R是对称的。传递性：设R是集合X上的二元关系，如果对于任意x,y,zX，每当R，R时就有R，则称R是传递的。自反性是说对于每一个xX，有R。对称性是说每当R，就有R，没有要求对于每一个xX，传递性是说每当R，R时就有R，也没有要求对于每一个xX。因此不能从一个关系是对称且传递的推出它是是自反的。例如A=a，b，c，R=，是A上的一个二元关系，R是对称且传递的，但R不是自反的，因为对于cA，没有 R。非空集合上的空关系是反自反的，对称的，反对称的和传递的，但不是自反的。空集合上的空关系则是自反的，反自反的，对称的，反对称的和传递的。非空集合上的全域关系是自反的，对称的和传递的，但不是反自反的和反对称的。112页例题4 设某人有三个儿子，组成集合A=T,G,H，在A上的兄弟关系具有哪些性质。例题5 集合I=1,2,3,4，I上的关系R=,讨论R的性质。练习113页(1),(2),(3),(5)作业113页(4)114页(6)
