1、为什么要近似求解？为什么要近似求解？v非等截面构件v压力沿轴线变化的构件v具有变系数的平衡微分方程v压杆的弹塑性屈曲问题近似求解方法：近似求解方法：能量法、瑞利里兹法、迦辽金法、有限差分法、有限积分法、有限元法等。1）几个基本概念v保守系统：体系由平衡位置1变化到平衡位置2时，力系（包括内力和外力）做的功仅与始末位置有关，而与中间过程无关的系统。v能量守恒：如果贮存在结构体系中的应变能等于外力所做的功，则该保守系统处于平衡状态，此谓之能量守恒。v能量准则：当一保守系统处于平衡状态时，其总势能的一阶变分为0。总能量：VU 外力势能内力势能、应变能一阶变分：势能驻值原理0VU外力势能增量内力势能增
2、量二阶变分：VU222000222为稳定的平衡状态，此时总势能最小为不稳定的平衡状态为随遇平衡状态2）弹性直杆的总势能表达式v以直杆状态为参考状态（总势能为0状态），求微弯后总势能表达式v应变能1021MdUlldxyEIdxEIMUdxEIMddxdEIyEIM02022121 v外力势能llldxyPdxyPVdxPPV0202021)(21)cos1(v总势能lldxyPdxyEIVU02022121 E、P和I可能不是常数，P(x)、I(x)不可拿到积分号之外。3）势能驻值原理v当作用着外力的结构体系，其位移有微小变化而总的能量不变，即总势能有驻值时，则该结构体系处于平衡状态，此即为势
3、能驻值原理。v表达为：其中：0)(VUWUVU外力势能内力势能外力作功v例：现考查如下结构上端B点具有弹簧铰rB、抗侧移弹簧kB；下端A点具有弹簧铰rA。当由(a)直杆状态过渡到(b)微弯状态时，体系的应变能为：外力势能为：22202)(21)(21)0(212lyklyryrdxyEIUBBAl ldxyPWV022则总势能为：222022)(21)(21)0(2122lyklyryrdxyPyEIVUBBAl 利用势能驻值原理（即总势能一阶变分为0）)()()()()0()0(0lylyklylyryyrdxyyPyyEIBBAl 利用分部积分和边界条件 可知上式第一项和第二项分别为：0)
4、0(0)0(yy和将上二式代入 得0由于y(l)、y(0)、y(l)、y均为边界上不为0的任意值，所以上式等于0的条件为其系数衡等于0：前三项为边界上的弯矩和横向剪力，即自然边界条件；而第四项为平衡方程；可见势能驻值与平衡方程等价；结论：很多复杂结构很难建立平衡方程，这时可先写出总势能表达式，令其一阶变分为0，即可得到平衡方程；可以假设构件的挠曲线函数，（必须满足几何边界条件），将其代入总势能表达式，通过一阶变分为0，求解屈曲荷载，这就是著名的瑞利里兹法（Rayleigh,L.,Ritz,W.）；如果假设的挠曲线函数既符合构件的几何边界条件，又符合自然边界条件，也可直接利用(4)式求解屈曲荷载
5、，这就是著名的迦辽金法（Galerkin,B.G.）。v假定满足几何边界条件的挠曲线为：)()()(332211xfaxfaxfayai待定系数；fi(x)满足边界条件的函数(至少满足几何边界条件)；可见挠曲线y为一个泛函（函数的函数）。v将y的表达式代入总势能表达式中总势能表达为系数ai的函数。v使用势能驻值原理 ，可写成：00332211aaaaaava1、a2、a3不能同时为0，则可得到：临界承载力行列式方程组的系数的齐次关于 0 00021iiaaaav给出几种满足几何边界条件的常用挠曲函数一般取前一、二项就有良好精度v例题1，如图所示变截面悬臂柱，求其轴心受压临界承载力（在工业厂房中
6、常用此结构形式）lllldxyEIdxyEIdxyEIU3/223/02102212121 根据前面表格，设挠曲线方程为：满足y(0)0，y(0)=0)2cos1(lxaylxlaylxlay2cos)2(2sin)2(2 应变能：代入y，并分步积分得：23236.15alEIUllldxyPdxyPdxyPWV023/02022152121应变势能或外力功：代入y，并分步积分得：则总势能为：lPaWV953.32lPaalEIVU953.36.1522323利用势能驻值原理：22232332395.30953.36.15002)953.36.15(000lEIPlPlEIaalPlEIdad
7、acr讨论如下：i.如果利用平衡微分方程求解，精确解为 误差仅为1.25。2224lEIPcrii.若变形函数只取一项y=a f(x)时，即只有一个参变量a时，可以证明：iii.能量法结果偏高。因为挠曲函数与真是变形不完全相符，相当于对真实杆件人为添加了若干横向水平约束，提高了压杆的抗失稳能力。llcrdxydxyEIP0202 v例题2，连续变截面杆件，假设忽略腹板的存在。求解其临界力。下部截面I1、h1已知，其它截面特征为：211/)1(1/)1(1 lxmIIlxmhhxx解：（1）用静力平衡方程求解：0)(lxlxPyPlyEIyyPyEI 变系数的微分方程，很难求解。（2）用能量法求
8、解：首先根据边界条件选用合适的变形曲线若选用的变形曲线只有一个参变量，则：llcrdxydxyEIP0202 为了方便求解，令m0.5，则h2/h1=0.5，即I2=0.25I1。设挠曲线为：)2cos1(lxay2202022341022210282sin)2(5.432cos)2()5.01(aldxlxladxyalEIdxllxalxEIdxyEIllll 212212222341)33.2(44.585.43lEIlEIalalEIPcr可见虽然变形曲线中的参数a是未知的，最后也没有求出a的具体数值，但确通过此方法求出了临界力。v迦辽金法直接利用势能驻值原理中的平衡微分方程求解，不再
9、需要写出总势能表达式。v但这样做的前提是挠曲线必须既满足几何边界条件，又同时满足自然边界条件。v由前面可知平衡微分方程为：0)(0lydxPyEIy令：则：(1)(x1,x2更适于普遍情况)(PyEIyyL0)(21xxydxyLv设位移函数v其一阶变分为：(2)niiinnxaxaxaxay12211)()()()(niiinnniiinnaaaaaayaayaayaayy1221112211v将(2)代入(1)式v由于a1、a2、an都为不等于0的微小的任意值，而(1)式是恒等式，故：0)(.)()(212211xxnndxayLayLayL(3)0)()(0)()(0)()(212121
10、21xxnxxxxdxxyLdxxyLdxxyLv上式称为迦辽金方程组，是关于ai的联立方程组。如果是无常数项的齐次方程组，可以通过系数行列式为0，得到屈曲荷载。如果是有常数项的齐次方程组，则可解得ai，从而得到近似的挠曲线、最大挠度、弯矩等等。v例1。用迦辽金法确定如图所示受均匀变化的轴向压力作用的悬臂构件的屈曲荷载。解：为积分方便建立如图所示的坐标系。(1)假设挠曲线为一次项时：lxvy2sin上式符合几何边界条件y(0)=0,y(l)=v,y(l)=0；上式也满足自然边界条件y(0)=0。根据隔离体(c)建立平衡方程：xxxdxyyqEIyyLdxyyqEIyyydxqEIyM01101
11、1011)()(0)()(迦辽金方程为：02sin)(0ldxlxyL把y代入到L(y)，并代入到上述方程，并积分得：v不为0，故可求得：0)141(8222qllEIv2224/298.8)4(2)(lEIlEIqlcr如果用平衡法利用Bessel函数可得精确解为(ql)cr=7.837EI/l2。故近似解稍大5.9。(2)改用挠曲线为二次项时：lxvlxvy23sin2sin21这样迦辽金方程组为：023sin)(02sin)(00lldxlxyLdxlxyL把y代入到L(y)，并代入到上述方程，并积分得：0)9141(89303)141(822222212222221qllEIvqlvq
12、lvqllEIv这是一组齐次方程式，有解的条件是其系数行列式为00)9141(8933)141(82222222222qllEIqlqlqllEI解得(ql)cr=7.838EI/l2，与精确解几乎一致。可见挠曲线由一项改为两项时效果就十分显著。vFinite Element Method(FEM)v通用程序有很多：Algor,Sap,Ansys,Adina,Abaqus,Nastran,CFD等等v是目前较为常用的数值解法，适用于用计算机对复杂结构系统进行求解v可以分为平面模型、空间模型等v可以使用不同单元求解不同问题，如梁柱单元、壳体单元、实体单元、索单元等等v分析时可以考虑线性、几何非线
13、性、材料非线性等v有限元法的基本思路和过程如下：选择适合的单元形式把结构或构件划分成若干单元（网格）建立单元节点位移和内力的关系,通常以矩阵形式表示(使用能量法或平衡方程)将单元组合成原系统(单刚总刚)求解线性或非线性方程组得到结构荷载位移曲线、屈曲荷载等以单元节点位移为未知量利用边界条件使用直接求解法或迭代法v例：受轴向力作用的平面梁柱单元 (单元在局部坐标系中变形前后如图)v杆端内力以矩阵形式(列向量)表示为：1、3剪力，2、4弯矩v与杆端内力对应的位移为：v杆端内力与位移之间存在如下关系：v如何建立单元刚度矩阵K是问题的关键v下面根据能量法建立单元刚度矩阵Tqqqqq4321T4321K
14、q v单元内部应变能：v内外力对单元做功：v根据UW得：（1）v用一个三次抛物线代替单元挠曲线（形状函数）内力q引起轴力P引起v单元两端几何边界条件为：v利用上述条件求出变形曲线中的a，b，c，d后，代回到变形曲线中去，得到变形曲线为：v变形曲线的一阶和二阶导数分别为：v由此可得：v将上式代入（1）中可得单元刚度矩阵为：v其中：无轴向力时梁单元刚度矩阵v则单元刚度矩阵可以表达为：v利用边界条件，形成结构整体刚度方程后：v可以对上式求解，得到节点变形，及单元内部各点变形（内力等）。考虑轴力作用的几何刚度矩阵qK总v有关讨论：几何刚度矩阵kg与P、l有关；而ke与EI、l有关，与P无关。方程q=k这时还不能求解，应为单元刚度矩阵是奇异的，只有引入边界条件后才能求解。当结构由若干单元构成时，还应根据单元间变形和内力协调条件，集合成总刚k总。求结构屈曲荷载时，利用能量法，令|k总|=0，可得到一个关于P的方程，从而求解，这种方法又称为特征值法；如果外荷载已知，可以求出此时的结构变形。本节所讲内容只是针对平面梁柱单元，其它单元的求解方法和原理类似，只是刚度矩阵有所不同。v将在下一章结合压弯构件弹塑性屈曲进行介绍。
