1、2023 年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（二）数学本试卷共 6 页，22 小题，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必将自己所在的市（县、区）、学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填写在答题卡上，将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”。2作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不
2、按以上要求作答无效。4考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合20 3AxZ x，1,2B，则AB（）A0,1,2B1,0,1,2C2,1,1,2D2,1,0,1,22已知复数3cosisinz（R，i 为虚数单位），则z的最大值为（）A2B2C3D33已知双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为2 33，则双曲线的两条渐近线的夹角为（）A6B4C3D5124已
3、知某摩天轮的半径为 60m，其中心到地面的距离为 70m，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，每 30分钟转动一圈已知当游客距离地面超过 100m 时进入最佳观景时间段，则游客在摩天轮转动一圈的过程中最佳观景时长约有（）A5 分钟B10 分钟C15 分钟D20 分钟5现有一个轴截面是边长为 4 的等边三角形的倒置圆锥（顶点在下方，底面在上方），将半径为32的小球放入圆锥，使得小球与圆锥的侧面相切，过所有切点所在平面将圆锥分割成两个部分，则分割得到的圆台的侧面积为（）A278B338C458D5586已知ABC 是单位圆 O 的内接三角形，若4A，则AB OC 的最大值为（）A12B22C1D27
4、已知2023220230122023(1)xaa xa xax，则122023111aaa（）A1B0C1D202310128已知ln22a，ln3eb，22ec，则（参考数据：ln20.7）（）AabcBbacCbcaDcab二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分9已知直线 m 与平面有公共点，则下列结论一定正确的是（）A平面内存在直线 l 与直线
5、 m 平行B平面内存在直线 l 与直线 m 垂直C存在平面与直线 m 和平面都平行D存在过直线 m 的平面与平面垂直10已知()costanf xxx，则下列说法正确的是（）A()f x是周期函数B()f x有对称轴C()f x有对称中心D()f x在0,2上单调递增11现有甲、乙、丙三位篮球运动员连续 5 场篮球比赛得分情况的记录数据，已知三位球员得分情况的数据满足以下条件：甲球员：5 个数据的中位数是 26，众数是 24；乙球员；5 个数据的中位数是 29，平均数是 26；丙球员：5 个数据有 1 个是 32，平均数是 26，方差是 9.6；根据以上统计数据，下列统计结论一定正确的是（）A
6、甲球员连续 5 场比赛得分都不低于 24 分B乙球员连续 5 场比赛得分都不低于 24 分C丙球员连续 5 场比赛得分都不低于 24 分D丙球员连续 5 场比赛得分的第 60 百分位数大于 2412在平面直角坐标系中，已知正方形 ABCD 四边所在直线与 x 轴的交点分别为（0，0），（1，0），（2，0），（4，0），则正方形 ABCD 四边所在直线中过点（0，0）的直线的斜率可以是（）A2B32C34D14三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13已知公比大于 1 的等比数列 na满足2312aa，416a，则 na的公比 q=_1
7、4已知直四棱柱1111ABCDABC D的棱长均为 2，60BAD，除面 ABCD 外，该四棱柱其余各个面的中心分别为点 E，F，G，H，I，则由点 E，F，G，H，I 构成的四棱锥的体积为_15已知1F，2F分别是椭圆 C：22221(0)xyabab的左、右焦点，M 是 C 上一点且2MF与 x 轴垂直，直线1MF与 C 的另一个交点为 N若直线 MN 在 y 轴上的截距为 3，且14MNFN ，则椭圆 C 的标准方程为_16 已知3()f xxx，若过点 P（m，n）恰能作两条直线与曲线()yf x相切，且这两条切线关于直线xm对称，则 m 的一个可能值为_四、解答题：本题共四、解答题：
8、本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（10 分）已知等差数列 na的公差0d，且满足11a，1a，2a，4a成等比数列（1）求数列 na的通项公式；（2）若数列 nb满足22,1,nannnnbna a为奇数为偶数求数列 nb的前 2n 项的和2nT18.(12 分)已知ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且3 cossin2ABbcB(1)求 C；(2)若3abc，求 sinA19.(12 分)如图，在四棱锥PABCD中，底面 ABCD 是平行四边形，120ABC，1AB，2BC，PDCD（
9、1）证明：ABPB（2）若平面PAB 平面 PCD，且102PA，求直线 AC 与平面 PBC 所成角的正弦值20（12 分）甲、乙两名围棋学员进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得 1 分，负者得 0 分，平局双方均得 0 分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，两人平局的概率为(1,0,0,0)，且每局比赛结果相互独立（1）若25，25，15，求进行 4 局比赛后甲学员赢得比赛的概率；（2）当0时，（i）若比赛最多进行 5 局，求比赛结束时比赛局数 X 的分布列及期望 E（X）的最大值；（ii）若比赛不限制局数，写出“甲学员
10、赢得比赛”的概率（用，表示），无需写出过程21（12 分）已知2()exf xxa，存在123xxx，使得123()()()0f xf xf x（1）求实数 a 的取值范围；（2）试探究123xxx与 3 的大小关系，并证明你的结论22（12 分）已知 A，B 是抛物线 E：2yx上不同的两点，点 P 在 x 轴下方，PA 与抛物线 E 交于点 C，PB 与抛物线 E 交于点 D，且满足PAPBPCPD，其中是常数，且1（1）设 AB，CD 的中点分别为点 M，N，证明：MN 垂直于 x 轴；（2）若点 P 为半圆221(0)xyy上的动点，且2，求四边形 ABDC 面积的最大值2023 年普
11、通高等学校招生全国统一考试模拟测试（二）数学参考答案年普通高等学校招生全国统一考试模拟测试（二）数学参考答案一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号12345678答案BDCBDCAB二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选
12、错的得分，有选错的得 0 分分题号9101112答案BDACDADABD三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分1321433152218154xy162 69（或2 69，或2 3015，或2 3015）四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17解：（1）因为1a，2a，4a成等比数列，所以2214aa a，即2(1)1(1 3)dd，解得0d 或1d 因为0d，所以1d，所以1 1(1)nann 2n，n 为奇数，（2）由（1）
13、得2,1,(2)nnnbnn n为奇数为偶数所以2,1 11,22nnnbnnn 为奇数为偶数所以21232121321242()()nnnnnTbbbbbbbbbbb13211111111(222)22446222nnn121222221 111 22 222nn2121534412nn，所以数列 nb的前 2n 项的和21221534412nnTn18解：（1）由正弦定理sinsinbcBC，得3sincossinsin2ABBCB，因为sin0B，所以3cossin2ABC因为ABC，所以coscossin2222ABCC所以3sin2sincos222CCC因为sin02C，所以3co
14、s22C，因为(0,)C，所以26C，所以3C（2）方法一：因为3ab，由正弦定理sinsinsinabcABC，得3sinsin3sin2ABC，因为233AB，所以2sinsinsinsin3ABAA31333sincossinsincos22222AAAAA所以313sincos222AA，即3sin62A因为(0,)A，所以63A或23，所以6A或2所以1sin2A 或 1方法二：因为3C，由余弦定理得222(*)cabab，将3()3cab代入（*）式得2221()3ababab，整理得222520aabb，因式分解得(2)(2)0ab ab，解得2ab或2ba，当2ab时，3cb，
15、所以222222234cos0,22 3bcabbbAbcb因为(0,)A，所以2A，当2ba时，3ca，所以2222222433cos224 3bcaaaaAbca，因为(0,)A，所以6A，所以 sinA 的值为12或 119（1）证明：如图 1，连接 BD，因为四边形 ABCD 是平行四边形，且120ABC，1AB，2BC，所以1CD，60BCD，ABCD，所以22212cos142 1 232BDBCCDBC CDBCD ，所以3BD，所以222BCBDCD，所以CDBD，又因为CDPD，BDPDD，BD，PD平面 PBD，所以CD 平面 PBD，因为 PB平面 PBD，所以CDPB，
16、因为ABCD，所以ABPB（2）解：如图 2，设平面 PAB 和平面 PCD 的交线为直线 l，因为CDAB，CD平面 PAB，AB平面 PAB，所以CD平面 PAB，因为 CD平面 PCD，平面 PADPAD 平面PBCl，所以CDl，因为CD 平面 PBD，所以l 平面 PBD，因为 PB，PD平面 PBD，所以BPD 是平面 PAB 与平面 PCD 的二面角，因为平面PAB 平面 PCD，所以90BPD，即BPDP在 RtABP 中，因为102PA，1AB，所以6,2PB 在 RtBPD 中，因为3BD，所以62PD，所以BPD 为等腰直角三角形，方法一：由（1）得 CD平面 PBD，如
17、图 3，以点 D 为坐标原点，DB 所在直线为 x 轴，DC 所在直线为 y 轴，过点 D 垂直于平面 ABCD 的直线为 z 轴建立空间直角坐标系，则3,1,0A，3,0,0B，0,1,0C，33,0,22P，所以3,2,0AC ，3,1,0BC ，33,0,22BP ，设平面 PBC 的法向量为,nx y z，则30,330,22n BCxyn BPxz 解得3,yxzx取1x，得1,3,1n，记直线 AC 与平面 PBC 所成角为，则32 30105sincos,351 3 134n ACn ACnAC ，所以直线 AC 与平面 PBC 所成角的正弦值为10535方法二：在ABC 中，因
18、为1AB，2BC，120ABC，则2212cos1 42 1 272ACABBCAB BCABC ，设点 A 到平面 PBC 的距离为 d，由（1）知 CD平面 PBD，因为四边形 ABCD 是平行四边形，所以ADBC，又因为AD 平面 PBC，BC 平面 PBC，所以AD平面 PBC，所以A PBCD PBCVV，因为D PBCC BPDVV，所以A PBCC BPDVV，设点 A 到平面 PBC 的距离为 d，由（1）知 CD平面 PBD，所以1133PBCBPDSdSCD，在PBC 中，62PB，2BC，102PCPA，因为222PBPCBC，所以PBPC，所以1610152224PBC
19、S，所以11511661343222d，解得155d，记直线 AC 与平面 PBC 所成角为，则151055sin357dAC，所以直线 AC 与平面 PBC 所成角的正弦值为1053520（1）解：用事件 A，B，C 分别表示每局比赛“甲获胜”“乙获胜”或“平局”，则 25P A，25P B，15P C，记“进行 4 局比赛后甲学员赢得比赛”为事件 N，则事件 N 包括事件 ABAA，BAAA，ACCA，CACA，CCAA共 5 种，所以()()()()()()P NP ABAAP BAAAP ACCAP CACAP CCAA2()()()()3()()()()P B P A P A P A
20、P C P C P A P A4222124423555625（2）（i）因为0，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”和“乙获胜”，即1，由题意得 X 的所有可能取值为 2，4，5，则22(2)P X，2222(4)()()2()P X ，22(5)()()14P X 所以 X 的分布列为X245P22222()224 所以 X 的期望222222()2()8()20E X 22222(1 2)8(1 2)20442 ，因为12，所以14，当且仅当12时，等号成立，所以10,4，所以2222113()442(21)1(21)144E X （ii）记“甲学员赢得比赛”为事件 M，则2222()1 2P
21、 M注：（第（ii）小问推导过程参考）由（1）得前两局比赛结果可能有 AA，BB，AB，BA，其中事件 AA 表示“甲学员赢得比赛”，事件 BB 表示“乙学员赢得比赛”，事件 AB，BA 表示“甲、乙两名学员各得 1 分”，当甲、乙两名学员得分总数相同时，甲学员赢得比赛的概率与比赛一开始甲学员赢得比赛的概率相同所以()()1()0()()()()P MP AAP BBP ABP MP BAP M ()()()()()()()()P A P AP A P B P MP B P A P M2()()P MP M22()P M所以2(1 2)()P M，即2()12P M，因为1，所以2222222
22、2()()222P M21解：（1）由题意得2()exf xxa有三个零点，转化为函数ya与函数2exxy 的图象有三个公共点，设2()exxg x，则22()exxxg x，令()0g x，解得02x；令()0g x，解得0 x 或2x，所以()g x在（0，2）上单调递增，在,0和2,上单调递减，因为当x 时，()g x ，当x 时，()0g x，且(0)0g，24(2)eg，所以(0)(2)gag，即实数 a 的取值范围为240ea（2）因为123xxx，由（1）得12302xxx，由322232eexxxxa，得22332ln2lnxxxx，设()2lnh xxx，则23()()h x
23、h x，求导得2()1h xx，令()0h x，解得02x，令()0h x，解得2x，所以 h（x）在（0，2）上单调递增，在(2,)上单调递减，设()(4)()m xhxh x，02x，则()2ln(4)42ln2ln(4)2ln24m xxxxxxxx，02x，求导得2222(2)()204(4)xm xxxx x恒成立，所以()m x在（0，2）上单调递减，所以()(2)0m xm，即(4)()hxh x，因为202x，所以223(4)()()hxh xh x，又因为32x，242x，h（x）在(2,)上单调递减，所以234xx，即234xx，设024()eg x且00 x，则1024(
24、)()eg xag x，因为()g x在,0上单调递减，所以10 xx，因为3e4，所以1214ee，所以01214(1)()eegg x，因为()g x在,0上单调递减，所以01x ，所以101xx，所以1234 13xxx 22（1）证明：因为PAPBPCPD，且 P，A，C 共线，P，B，D 共线，所以ABCD，所以直线 AB 和直线 CD 的斜率相等，即ABCDkk，设211,A x x，222,B xx，233,C x x，244,D xx，则点 M 的横坐标122Mxxx，点 N 的横坐标342Nxxx，由ABCDkk，得222243212143xxxxxxxx，因式分解得4343
25、21212143()()()()xxxxxxxxxxxx，约分得2143xxxx，所以341222xxxx，即MNxx，所以 MN 垂直于 x 轴（2）解：设 P（00,P xy，则22001xy，且010y，当2时，C 为 PA 中点，则0132xxx，20132yxy，因为 C 在抛物线上，所以22010122yxxx，整理得2210100220 xx xyx，当2时，D 为 PB 中点，同理得2220200220 xx xyx，所以1x，2x是方程22000220 xx xyx的两个根，由韦达定理得1202xxx，212002x xyx，所以1202Mxxxx，所以 PM 也垂直于 x 轴，所以222220001200004423()22xyxxxPMyyxy，因为222212121200000()44842 2xxxxx xxyxxy，所以34PABABDCSS四边形123142PMxx322200000039 232 284 xyxyxy32009 214yy，010y，当012y 时，2001yy取得最大值54，所以39 2545 104432ABDCS四边形，所以四边形 ABDC 面积的最大值为45 1032
