1、1.3 不共线三点确定二次函数的表达式第1章 二次函数2023-5-11导入新课导入新课复习引入1.一次函数y=kx+b(k0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？2个2个2023-5-122.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？待定系数法(1)设：（表达式）(2)代：（坐标代入）(3)解：方程（组）(4)还原：（写表达式）2023-5-13讲授新课讲授新课一般式法求二次函数的表达式一探究归纳问题1（1）二次函数y=ax2+bx+c(a0)中有几个待定系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？3个3个（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象所列表格的一部分，
2、要求这个二次函数的表达式.x-3-2-1012y010-3-8-152023-5-14解：设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,把（-3，0），（-1，0），（0，-3）代入y=ax2+bx+c得选取（-3，0），（-1，0），（0，-3），试求出这个二次函数的表达式.9a-3b+c=0，a-b+c=0，c=-3，解得a=-1，b=-4，c=-3.所求的二次函数的表达式是y=-x2-4x-3.待定系数法步骤：1.设：（表达式）2.代：（坐标代入）3.解：方程（组）4.还原：（写解析式）2023-5-15这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.其步骤是：设函数表达式为y=ax2+
3、bx+c；代入后得到一个三元一次方程组；解方程组得到a,b,c的值；把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.归纳总结一般式法求二次函数表达式的方法2023-5-16典例精析例1 一个二次函数的图象经过(0,1)、(2,4)、(3,10)三点，求这个二次函数的表达式.解：设这个二次函数的表达式是y=ax2+bx+c,由于这个函数经过点(0,1)，可得c=1.又由于其图象经过(2,4)、(3,10)两点，可得4a+2b+1=4，9a+3b+1=10，解这个方程组，得3,2a3.2b所求的二次函数的表达式是2331.22yxx2023-5-17例2已知三个点的坐标，是否有一个二次函数，它的图象经过这三
4、个点？（1）P（1，-5），Q（-1，3），R（2，-3）；（2）P（1，-5），Q（-1，3），M（2，-9）.解（1）设有二次函数y=ax2+bx+c，它的图象经过P，Q，R三点，则得到关于a，b，c的三元 一次方程组：a+b+c=-5，a-b+c=3，4a+2b+c=-3，解得 a=2，b=-4，c=-3.因此，二次函数y=2x2-4x-3的图象经过P，Q，R 三点.2023-5-18(2)设有二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点P，Q，M 三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组：a+b+c=-5，a-b+c=3，4a+2b+c=-9，解得 a=0，b=-4，c=-1.因此，一次
5、函数y=-4x-1的图象经过P，Q，M 三点.这说明没有一个这样的二次函数，它的图象能经过P，Q，M三点.2023-5-19问题：例2说明了什么？若给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标两两不等，则可以确定唯一的一个二次函数，它的图象经过这三点.二次函数y=ax2+bx+c的图象上任意三个不同的点都不在一条直线上.2023-5-110利用顶点式求二次函数的表达式二 选取顶点（-2，1）和点（1，-8），），试求出这个二次函数的表达式.解：设这个二次函数的表达式是y=a(x-h)2+k,把顶点（-2，1）代入y=a(x-h)2+k得 y=a(x+2)2+1，再把点（1，-8）代入上式得 a(1+2
6、)2+1=-8，解得a=-1.所求的二次函数的表达式是y=-(x+2)2+1或y=-x2-4x-3.2023-5-111典例精析例2 一个二次函数的图象经点(0,1)，它的顶点坐标为(8,9)，求这个二次函数的表达式.解：因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，因此，可以设函数表达式为 y=a(x-8)2+9.又由于它的图象经过点(0,1)，可得 1=a(0-8)2+9.解得 1.8a 所求的二次函数的表达式是21(8)9.8yx2023-5-112归纳总结顶点法求二次函数表达式的方法这种已知抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：设函数表达式是y=a(x-h)2+k；先代
7、入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；将另一点的坐标代入原方程求出a值；a用数值换掉，写出函数表达式.2023-5-113 解：因为（-3，0）（）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标)因此得 y=a(x+3)(x+1).选取（-3，0），（），（-1，0），（），（0，-3），），试求出这个二次函数的表达式.利用交点式求二次函数的表达式三2023-5-114解得a=-1，再把点（0，-3）代入上式得所以a(0+3)(0+1)=-3，所以所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1
8、),即即y=-x2-4x-3.2023-5-115归纳总结交点法求二次函数解析式的方法这种已知抛物线x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.其步骤是：设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；先把两交点的横坐标x1,x2代入，得到关于a的一元一次方程；将另一坐标的点代入原方程求出a值；a用数值换掉，写出函数表达式.2023-5-116当堂练习当堂练习1.如图，平面直角坐标系中，函数图象的表达式应是 .234yx=注 y=ax2与y=ax2+k、y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式.注意xyO1 2-1-2-3-4321-13452023-5
9、-1172.过点（2，4），），且当x=1时，y有最值为6，则其表达式是 .顶点坐标是（1，6）y=-2(x-1)2+62023-5-1183.已知二次函数的图象经过点(1，5)，(0，4)和(1，1)求这个二次函数的表达式解：设这个二次函数的表达式为yax2bxc依题意得 这个二次函数的表达式为y2x23x4.abc1，c4，a-bc-5，解得b3，c4，a2，2023-5-1194.已知抛物线与x轴相交于点A(1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的表达式解：因为点A(1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点，所以设二次函数的表达式为ya(x1)(x1)又因为抛物线过点M(0
10、，1)，所以1a(01)(01)，解得a1，所以所求抛物线的表达式为y(x1)(x1)，即yx21.2023-5-1205.已知一条抛物线经过E（0，10），F（2，2），G（4，2），H（3，1）四点，选择其中两点用待定系数法能求出抛物线解析式的为（）AE，FBE，GCE，HDF，GC2023-5-1216.如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3，那么c的值等于（）A8B14C8或14D-8或-14C2023-5-1227.如图，抛物线yx2bxc过点A(4，3)，与y轴交于点B，对称轴是x3，请解答下列问题：(1)求抛物线的表达式；解：把点A(4，3)代入yx2bxc得16
11、4bc3，c4b19.对称轴是x3，3，b6，c5，抛物线的表达式是yx26x5；2b2023-5-123(2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD8，求BCD的面积CDx轴，点C与点D关于x3对称点C在对称轴左侧，且CD8，点C的横坐标为7，点C的纵坐标为(7)26(7)512.点B的坐标为(0，5)，BCD中CD边上的高为1257，BCD的面积 8728.122023-5-124课堂小结课堂小结已知三点坐标已知顶点坐标或对称轴或最值已知抛物线与x轴的两个交点已知条件所选方法用一般式法：y=ax2+bx+c用顶点法：y=a(x-h)2+k用交点法：y=a(x-x1)(x-x2)(x1,x2为交点的横坐标)待定系数法求二次函数表达式2023-5-125
