1、 1.3.2 1.3.2函数的极值与导数（函数的极值与导数（1 1）观察下图中观察下图中P点附近图像从左到右的变化趋点附近图像从左到右的变化趋势、势、P点的函数值以及点点的函数值以及点P位置的特点位置的特点o oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1)y=f(x)Q(x2,f(x2)33(,()R xf x44(,()S xf x1 函数函数y=f(x)在在 等点的函数值与这些点附近等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？的函数值有什么关系？2 y=f(x)在这些点的导数值是多少？在这些点的导数值是多少？3 这这些点附近，这这些点附近，y=f(x)的导数的符号有什么规律？的导数的符号有
2、什么规律？1234,x x x x 函数极大值的定义：函数极大值的定义：一般地，设函数一般地，设函数f(x)在在点点x0附近有定义附近有定义，如果对如果对x0附近的所有的点附近的所有的点,都有都有极大值与极小值同称为极值极大值与极小值同称为极值.我们就说我们就说f(x0)是函数是函数f(x)的一个的一个极大值极大值,记作记作y极大值极大值=f(x0)；f(x)f(x0)函数极小值的定义：函数极小值的定义：一般地，设函数一般地，设函数f(x)在在点点x0附近有定义附近有定义，如果对如果对x0附近的所有的点附近的所有的点,都有都有 f(x)f(x0)我们就说我们就说f(x0)是函数是函数f(x)的
3、一个的一个极小值极小值,记作记作y极小值极小值=f(x0)；o oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1)y=f(x)Q(x2,f(x2)33(,()R xf x44(,()S xf x（1 1）极值是某一点附近的小区间而言的极值是某一点附近的小区间而言的,是函数的局部性质是函数的局部性质;（3 3）极大值与极小值没有必然关系，极极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小大值可能比极小值还小.（2 2）函数的极值不一定唯一函数的极值不一定唯一,在整个定义在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；区间内可能有多个极大值和极小值；观察图像并类比于函数的单调性与导数关系观察图像并类比于函
4、数的单调性与导数关系的研究方法的研究方法,看极值与导数之间有什么关系看极值与导数之间有什么关系?o a x0 b x yo a x0 b x y xx0 0左侧左侧 x0 x0 0右侧右侧 f(x)f(x)xx0 0左侧左侧 x0 x0 0右侧右侧 f(x)f(x)()0fx()0fx()0fx()0fx()0fx()0fx 增增增增减减减减极大值极大值极小值极小值v若寻找若寻找可导函数可导函数极值点极值点,可否只由可否只由f(x)=0 0求得即可求得即可?思考思考探索探索:x=0是否为函数是否为函数f(x)=x3的极值点的极值点?x yOf(x)x3 3 f(x)=3x2 当f(x)=0时，
5、x=0，而x=0不是该函数的极值点.注意：注意：f(x0)=0 是函数是函数(可导可导)取得极值的取得极值的f(x0)=0 x0 是可导函数是可导函数f(x)的极值点的极值点 x0左右侧导数异号左右侧导数异号 x0 是函数是函数f(x)(可导可导)的极值点的极值点 f(x0)=0必要不充分条件必要不充分条件函数函数y=f(x)的导数的导数y/与函数值和极值之间的关系为与函数值和极值之间的关系为()A、导数、导数y/由负变正由负变正,则函数则函数y由减变为增由减变为增,且有极大值且有极大值B、导数、导数y/由负变正由负变正,则函数则函数y由增变为减由增变为减,且有极大值且有极大值C、导数、导数y
6、/由正变负由正变负,则函数则函数y由增变为减由增变为减,且有极小值且有极小值D、导数、导数y/由正变负由正变负,则函数则函数y由增变为减由增变为减,且有极大值且有极大值D注意：注意：极值点指的是自变量极值点指的是自变量x,x,极值指的是函数值极值指的是函数值y y31443f(x)xx求求函函的的极极值值数31443f(x)xx求求函函的的极极值值数 解解:f(x)=x2-4,由由f(x)=0解得解得 x1=2,=2,x2=-2.=-2.当当x变化时变化时,f(x)、f(x)的变化情况如下表：的变化情况如下表：f(x)f(x)x 当当x=2=2时时,y极小值极小值=28/3=28/3；当当x=
7、-2-2时时,y极大值极大值=-4/3=-4/3.(-,-2)(-,-2)-2-2(-2,2)(-2,2)2 2(2,+)(2,+)+0 00 0-+极大值极大值28/3极小值极小值-4/31.yxx求函数的极值1yxxxx1+0-0+极大值极大值极小值极小值()fx()f x所以，当所以，当x=-1是，函数的极大值是是，函数的极大值是-2，当，当x=1时，函数的时，函数的极小值是极小值是2 2221,011()1()01xxxxfxfxxxxxfxf x 解：f(x)=所以，时，当 变化时，,()变化如下表导函数的正负是交替出现的吗？不是不是求可到函数极值的步骤：求可到函数极值的步骤：23(
8、1)()62(2)()3f xxxf xxx求下列函数的极值图像与函数的极值图像与函数的极值12 导函数导函数y=f(x)的图像如图，试找出函数的图像如图，试找出函数y=f(x)的极值点，并指出那些是极大值点，的极值点，并指出那些是极大值点，那些是极小值点？那些是极小值点？XyOax1x2x3x4x5x6bY=f(x)X2,x4为极值点为极值点X2为极大值点为极大值点X4为极小值点为极小值点3 导函数导函数y=f(x)的图像如图，在标记的的图像如图，在标记的点中哪一点处点中哪一点处（1）导函数）导函数y=f(x)有极大值？有极大值？（2）导函数）导函数y=f(x)有极小值？有极小值？（3）函数
9、）函数y=f(x)有极大值？有极大值？（4）函数）函数y=f(x)有极小值？有极小值？x1x2x3x4Y=f(x)XyOX2X4X3x5X54 4 已知汽车在笔直的公路上行驶：已知汽车在笔直的公路上行驶：（1 1）如果函数）如果函数y=f(x)y=f(x)表示时刻表示时刻t t时汽车与起点的距时汽车与起点的距离，请标出汽车速度等于离，请标出汽车速度等于0 0的点的点（2 2）如果函数）如果函数y=f(x)y=f(x)表示时刻表示时刻t t时汽车的速度，那时汽车的速度，那么（么（1 1）中标出点的意义是什么？）中标出点的意义是什么？y=f(t)1、极值的判定方法、极值的判定方法2、极值的求法、极
10、值的求法注意：注意：1、f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件是函数取得极值的必要不充分条件2、要想知道、要想知道 x0是极大值点还是极小值点就必是极大值点还是极小值点就必须判断须判断 f(x0)=0=0左右侧导数的符号左右侧导数的符号.3 3 通过图像来观察函数的极值点通过图像来观察函数的极值点 函数的极值与导数（函数的极值与导数（2 2）函数极大值的定义：函数极大值的定义：一般地，设函数一般地，设函数f(x)在在点点x0附近有定义附近有定义，如果对如果对x0附近的所有的点附近的所有的点,都有都有极大值与极小值同称为极值极大值与极小值同称为极值.我们就说我们就说f(x0)是函数是函数
11、f(x)的一个的一个极大值极大值,记作记作y极大值极大值=f(x0)；f(x)f(x0)函数极小值的定义：函数极小值的定义：一般地，设函数一般地，设函数f(x)在在点点x0附近有定义附近有定义，如果对如果对x0附近的所有的点附近的所有的点,都有都有 f(x)f(x0)我们就说我们就说f(x0)是函数是函数f(x)的一个的一个极小值极小值,记作记作y极小值极小值=f(x0)；x yOf(x)x3 3注意：注意：f(x0)=0 是函数是函数(可导可导)取得极值的取得极值的必要不充分条件必要不充分条件求可到函数极值的步骤：求可到函数极值的步骤：1 导函数导函数y=f(x)的图像如图，试找出函数的图像
12、如图，试找出函数y=f(x)的极值点，并指出那些是极大值点，的极值点，并指出那些是极大值点，那些是极小值点？那些是极小值点？XyOax1x2x3x4x5x6bY=f(x)X2,x4为极值点为极值点X2为极大值点为极大值点X4为极小值点为极小值点2 2已知汽车在笔直的公路上行驶：已知汽车在笔直的公路上行驶：（1 1）如果函数）如果函数y=f(x)y=f(x)表示时刻表示时刻t t时汽车与起点的距时汽车与起点的距离，请标出汽车速度等于离，请标出汽车速度等于0 0的点的点（2 2）如果函数）如果函数y=f(x)y=f(x)表示时刻表示时刻t t时汽车的速度，那时汽车的速度，那么（么（1 1）中标出点
13、的意义是什么？）中标出点的意义是什么？y=f(t)3221.1,f xxaxbxaxa b例 函数在时取极值，求实数的值.分析：如果函数有极大值又有极小值，说明函数的导数的符分析：如果函数有极大值又有极小值，说明函数的导数的符号有从正变到负和从负变到正的时候，也就是说到导函数有号有从正变到负和从负变到正的时候，也就是说到导函数有两个相异的实根两个相异的实根一个零点呢？34.1,3.Pmyxm例 若过点与曲线相切的直线有 条，求实数 的取值范围2.利用极值与导数的关系来求函数中参数的范围利用极值与导数的关系来求函数中参数的范围1.根据函数的极值与函数的导数关系根据函数的极值与函数的导数关系来求解函数的解析式来求解函数的解析式
