1、三国时期的数学家刘徽的割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积三国时期的数学家刘徽的割圆术“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”刘徽当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：刘徽在九章算术注中讲到刘徽当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积观察图观察图1 1和图和图2 2，如何求直边图形的面积？，如何求直边图形的面积？图图3 3中，如何求曲边图形的面积？中，如何求曲边图形的面积？xy0
2、 xy0直线直线几条线段连成的折线几条线段连成的折线曲线？曲线？xyo 1.曲边梯形曲边梯形：在直角坐标系中，由在直角坐标系中，由连续曲线连续曲线y=y=f(xf(x)，直线，直线x=ax=a、x=bx=b及及x x轴所围成的图形叫做轴所围成的图形叫做曲边梯形。曲边梯形。Ox y a b y=f(x)一一.求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积x=ax=b 因此，我们可以用这条直线因此，我们可以用这条直线L来代替点来代替点P附附近的曲线，也就是说：在点近的曲线，也就是说：在点P附近，曲线可以看附近，曲线可以看作直线（作直线（即在很小范围内以直代曲即在很小范围内以直代曲）P放大放大再放大再放大PPl
3、y=f(x)bax yO A1A A1.用一个矩形的面积用一个矩形的面积A A1 1近似代替曲边梯形的面积近似代替曲边梯形的面积A A，得得A A1+A2用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A，得 y=f(x)bax yOA1A2A A1+A2+A3+A4用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形的面积A，得 y=f(x)bax yOA1A2A3A4 y=f(x)bax yOA A1+A2+An 将曲边梯形分成将曲边梯形分成 n n个小曲边梯形，并用小矩个小曲边梯形，并用小矩阵形的面积代替小曲边梯形的面积，阵形的面积代替小曲边梯形的面积，于是曲边于是曲边梯形的面积梯形的面积A A近似为近似为A1A
4、iAn 以直代曲以直代曲,无限逼近无限逼近（1 1）分割）分割把区间把区间0，1等分成等分成n个小区间：个小区间：,nn,n1n,ni,n1i,n2,n1,n1,0 n1n1inix 每个区间的长度为过各区间端点作过各区间端点作x轴的垂线，从而得到轴的垂线，从而得到n个小个小曲边梯形，他们的面积分别记作曲边梯形，他们的面积分别记作.S,S,S,Sni21 n1n2nknnxOy2xy例例1.1.求抛物线求抛物线y=xy=x2 2、直线直线x=1x=1和和x x轴所围成的曲边梯轴所围成的曲边梯形的面积形的面积。35.1图图ox1y2xy n1ini45.1图图n1i nix12xy yo 轴的直
5、线段近似用平行于就是从图形上看值处的函数等于左端点不妨认为它近似地个常数近似等于一的值变化很小可以认为函数上在区间很小时即很大当如图记近似代替x,.n1ifn1i,xxf,ni,n1i,x,n,35.1.xxf222 35.1图图ox1y2xy n1ini45.1图图n1i nix12xy yo.n,2,1in1n1ixn1ifSS,SS,ni,n1i,.45.12iiii 则有以直代曲即在局部小范围内近似地代替的面积用小矩形上间在区这样图边地代替小曲边梯形的曲 n1n1ixn1ifSSS45.1,232n1in1in1iinn 为中阴影部分的面积图由求和n1n1n102n1n1n2 2223
6、1n21n1 612113nnnn.n211n1131.n211n1131SSSn的近似值从而可得.6121121222 nnnn可以证明.31n211n1131limn1ifn1limSlimS,Sn211n1131S,0 x,n,55.1,20,8,41,04nn1innnn 从而有趋向于时于趋向即趋向于无穷大当可以看到图等份等分成分别将区间取极限 55.1图图oy2xy 1xy2xy 1xoy2xy 1xoy2xy 1xo.势数值上看出这一变化趋我们通过下表还可以从n1,0的等分数的等分数区间区间nSS的近似值的近似值 512256128643216842 33235741.033138
7、275.032943726.032556152.031787109.030273438.027343750.021875000.012500000.0?,fni,n1i?31,?S,nifnin,2,1ini,n1ixxf,ii2情情况况又又怎怎样样作作为为近近似似值值的的函函数数值值处处取取任任意意吗吗这这个个值值也也是是若若能能求求出出的的值值吗吗用用这这种种方方法法能能求求出出处处的的函函数数值值点点上上的的值值近近似似地地等等于于右右端端区区间间在在如如果果认认为为函函数数中中近近似似代代替替在在探探究究 n1n2nknnxy2xy nnn2ii 1i 1i 12222311SSf()
8、()n nnn1 12(n1)niin(过剩近似值)n1n2nknnxy2xy 2222331S12(n1)n1(1)(21)1111 (1)(2)n663nn nnnn(过剩近似值).31fn1limxflimS,fni,n1ixxf,inn1iinii2 都有作近似值处的值点上任意一在区间取可以证明abxy xfy o af bf15.1 图图.,15.1,值的方法求出其面积值的方法求出其面积似代替、求和、取极似代替、求和、取极也可以采用分割、近也可以采用分割、近我们我们所示的曲边梯形所示的曲边梯形对如图对如图一般地一般地限限1.当当n很大时，函数很大时，函数 在区间在区间 上的值，可以用
9、上的值，可以用()近似代替。近似代替。A.B.C.D.2)(xxfnini,1C)1(nf)2(nf)(nif 0f练 习B2 2、在、在“近似代替近似代替”中，函数中，函数f(xf(x)在区间在区间 上的近似值等于（上的近似值等于（）A.A.只能是左端点的函数值只能是左端点的函数值B.B.可以是该区间内任一点的函数值可以是该区间内任一点的函数值C.C.只能是右端点的函数值只能是右端点的函数值 D.D.以上答案均不正确以上答案均不正确)(ixf)(1ixf),)(1iiiixxf1,iixx小结小结:求由连续曲线求由连续曲线y=f(xy=f(x)对应的曲边梯形面积的方法对应的曲边梯形面积的方法2.2.有理由相信，分点越来有理由相信，分点越来越密时，即分割越来越细越密时，即分割越来越细时，矩形面积和的极限即时，矩形面积和的极限即为曲边形的面积。为曲边形的面积。(1)(1)分割分割(2)(2)求面积的和求面积的和 1.1.把这些矩形面积相加把这些矩形面积相加作为作为整个曲边形面积整个曲边形面积S S的近似值。的近似值。(3)(3)取极限取极限 n oxy
