1、精品课件第四章 指数函数与对数函数新人教版 函数的应用（二）函数的应用（二）特级教师优秀课件精选教学目标教学目标了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系；掌握函数零点存在性定理；能够根据具体函数图象，借助计算器用二分法求相应方程的近似解；能利用已知函数模型解决实际问题教学重点教学重点教学难点教学难点求函数的零点；用函数零点的存在性定理判断零点的个数；会用二分法求方程的近似解会判断函数零点所在的区间 我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题.如约公元50100年编成的九章算术，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法 11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上
2、的方程的解法.13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法你会求什么方程的根呢？今天我们来学习方程的根与函数的零点！探究：求出下列一元二次方程的根并作出相应的二次函数的图象，观察二者有何联系？（1）方程x-2x-3=0与函数y=x-2x-3（2）方程x-2x+1=0与函数y=x-2x+1（3）方程x-2x+3=0与函数y=x-2x+3你知道方程对应的函数是怎么找的吗？课堂探究课堂探究方程函数函数的图象方程的实数根函数的图象与x轴的交点x-2x-3=0 x-2x+1=0 x-2x+3=0y=x-2x-3 y=x-2x+1 y=x-2x+3(-1,0)、(3,0）(1,0)无交点判
3、别式=b-4ac方程ax+bx+c=0(a0)的根没有实数根0=00函数y=ax+bx+c(a0)的图象函数的图象与x轴的交点没有交点一般地，方程f(x)=0的实数根，也就是其对应函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.一般结论对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.零点指的是一个实数，不是一个点函数零点的定义：结论 现在知道如何求没有公式的方程的根了吗？拓展练习拓展练习拓展练习拓展练习可知使y0成立的x的取值范围是区间(1,4).拓展练习拓展练习点评：在求使y0)的x的取值范围时，常根据零点的性质画出示意图，在数轴.上标出零点，画曲线时，奇数(乘方次数
4、为奇数，即变号零点)偶不过(乘方次数为偶数，即不变号零点)直接据图示写出x的取值范围.这种方法通常称作“标根法”(或“穿根法”).拓展练习拓展练习拓展练习拓展练习拓展练习拓展练习探究：对于不能通过求方程根的方法确定零点的函数该如何确定零点呢？观察二次函数f(x)x22x3的图象：在区间-2，1上有零点_；f(-2)=_，f(1)=_，f(-2)f(1)_0(填“”或“”)在区间(2，4)上有零点_；f(2)f(4)_0（填“”或“”）思考：观察图象填空在区间(a,b)上,f(a)f(b)_0(填“”或“”)在区间(a,b)上,_(填“有”或“无”)零点；在区间(b,c)上,f(b)f(c)_0
5、(填“”或“”)在区间(b,c)上,_(填“有”或“无”)零点；在区间(c,d)上f(c)f(d)_0(填“”或“”)在区间(c,d)上,_(填“有”或“无”)零点；函数零点存在定理如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的一个根.1.求函数f(x)=lnx+2x6的零点的个数.解：方法一：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象；由表可知f(2)0，从而f(2)f(3)0,函数f(x)在区间(2,3)内有零点由于函数f(x)
6、在定义域(0,+)内是增函数，所以它仅有一个零点方法二：即求方程lnx+2x-6=0的根的个数，即求lnx=6-2x的根的个数，即判断函数y=lnx与函数y=6-2x的交点个数.如图可知，只有一个交点，即方程只有一根，函数f(x)只有一个零点.拓展练习拓展练习估算f(x)在各整数处的取值的正负：拓展练习拓展练习可根据图象确定大体区间拓展练习拓展练习4.判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例（1）已知函数y=f(x)在区间a,b上连续，且f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点.（）（2）已知函数y=f(x)在区间a,b上连续，且f(a)f(b)0，则f(x)在区间(
7、a,b)内没有零点.（）（3）已知函数y=f(x)在区间a,b上满足f(a)f(b)0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点.（）拓展练习拓展练习（1）【解析】如图,函数y=f(x)在区间(a,b)上有3个零点,故“在区间(a,b)内有且仅有一个零点”的说法是错误的.【答案】拓展练习拓展练习（2）【解析】如图,可知，函数y=f(x)在区间a,b上连续，f(a)f(b)0，但f(x)在区间(a,b)内有零点.故论断不正确.【答案】拓展练习拓展练习（2）【解析】如图,虽然函数y=f(x)在区间a,b上满足f(a)f(b)0,但是图象不是连续的曲线，则f(x)在区间(a,b)内不存在零点故论断不正确
8、.【答案】1.图(1)(2)(3)分别为函数y=f(x)在三个不同范围的图象.能否仅根据其中一个图象，得出函数y=f(x)在某个区间只有一个零点的判断?为什么?解不能，如仅依据图(1)易得出f(x)在(-200,200)内仅有一个零点的错误结论，要证明函数在某区间上只有一个零点，除证明该函数在区间端点的函数值异号外，还需证明该函数在该区间上是单调的.2.利用计算工具画出函数的图象，并指出下列函数零点所在的大致区间看生活中的问题模拟实验室16枚金币中有一枚略轻,是假币模拟实验室模拟实验室我在这里模拟实验室模拟实验室我在这里模拟实验室我在这里模拟实验室通过这个小实验，你能想到什么样的方法缩小零点所
9、在的范围呢？哦，找到了啊！1.求方程lnx-2x6的近似解(精确度为0.01)。解：分别画出函数y=lnx和y=-2x+6的图象，这两个图象交点的横坐标就是方程lnx-2x6 的解，由图象可以发现，方程有惟一解，记为x1,并且这个解在区间（2,3）内。设函数f(x)lnx+2x-6,用计算器计算得：所以x=2.53125为函数f(x)=lnx+2x-6在区间(2,3)内的零点近似值，也即方程lnx=2x6的近似解x12.53。二分法概念 对于在区间 上 且 的函数 ,通过不断地把函数 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法(bisection
10、).连续不断用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：口 诀定区间，找中点，中值计算两边看.同号去，异号算，零点落在异号间.周而复始怎么办?精确度上来判断.1.借助信息技术，用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确度0.1）f(1)f(2)0f(1)f(1.5)0f(1.25)f(1.5)0，即x10,则y=(10+x)(100-10 x)-8(100-10 x)=(2+x)(100-10 x)=-10(x-4)+360(0 x10，xN).当x=4时，y取得最大值，此时销售单价应为14元，最大利润为360元答:当售价定为14元时，可使每天所赚的利润最大，最大利润为360元在函数模型中，二
11、次函数模型占有重要的地位，因为根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最小等问题.方法归纳方法归纳2.为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租.该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出;若超过6元,则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这-日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(日净收入=一日出租自行车的
12、总收入-管理费用).(1)求函数y=f(x)的解析式及其定义域;(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使日净收入最多?拓展练习拓展练习类型二 分段函数模型拓展练习拓展练习拓展练习拓展练习(1)分段函数是刻画现实问题的重要模型，由自变量变化所遵循规律的不同决定的，函数的分段表示是建模的关键.(2)若求分段函数值域或最值时，应对分段函数中的每段函数分别求出值域或最值，然后再由各段函数的值域或最值确定本函数的值域或最值.分类讨论思想是本类问题的主要思想方法.方法归纳方法归纳拓展练习拓展练习类型三 指数、对数函数模型3.目前某县有 100万人，经过x年后为y万人.如果年平均增长率是1.2%，
13、请回答下列问题:(1)写出y关于x的函数解析式;(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人);(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年).拓展练习拓展练习拓展练习拓展练习方法归纳方法归纳1.已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为0.3%1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为2.1%.（1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍?什么时候世界人口是1970年的2倍?（2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿;而2004年世界人口还没有达到72亿.你对同样的模型得出的两个结果有何看法?答案：(1)1881年世界人口是1
14、650年的2倍，2003年世界人口是1970年的2倍(2)此模型不太适宜估计跨度时间非常大的人口增长情况。2.在一段时间内，某地的野兔快速繁殖，野兔总只数的倍增期为21个月，那么1万只野兔增长到1亿只野兔大约需要多少年?答案：23年3.1959年，考古学家在河南洛阳偃师市区二里头村发掘出了一批古建筑群，从其中的某样本中检测出碳14的残余量约为初始量的62.76%，能否以此推断二里头遗址大概是什么年代的?答案：公元前1892年1.假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下方案一每天回报40元;方案二第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元;方案三第一天回报0.
15、4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案?建立函数模型解决问题答案：方案三建立函数模型解决问题答案：乙2.由于提高了养殖技术并扩大了养殖规模，某地的肉鸡产量在不断增加.20082018年的11年，上市的肉鸡数量如下同期该地的人口数如下（1）分别求出能近似地反映上述两组数据变化规律的函数;（2）如果2017年该地上市的肉鸡基本能满足本地的需求，那么2018年是否能满足市场的需求?（3）按上述两表的变化趋势，你对该地2018年后肉鸡市场的发展有何建议?1.下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求其零点的是 （填写上所有符合条件的图号）答案：用二分法只能求变号零点，中的函
16、数零点不是变号零点，故不能用二分法求故答案为2.已知函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表函数y=f(x)在哪几个区间内一定有零点?为什么?3.已知函数f(x)=x-2x1，求证方程f(x)=x在(-1,2)内至少有两个实数解.6.一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2KB，然后每3分自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍.那么开机后多少分，该病毒会占据64MB内存（1MB=1024KB）?12.某地不同身高的未成年男性的体重平均值如下表（1）根据表中提供的数据建立恰当的函数模型，使它能近似地反映这个地区未成年男性平均体重y（单位kg）与身高x（单位cm）的函数关系，并写出这个函数的解析式.（2）若体重超过相同身高男性体重平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地一名身高为175 cm，体重为78 kg的在校男生的体重是否正常?为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种模型供选择（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并写出相应的函数解析式;（2）从甲地到乙地，这辆车应以什么速度行驶才能使总耗油量最少?三个等价关系方程有实根函数的图象与x轴有交点函数有零点零点零点的存在性定理零点的求法代数法图象法总结总结二分法的定义；用二分法求函数零点近似值的步骤.总结总结
