1、 年级年级：九年：九年级级 学学科名称：数学科名称：数学直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 切线的判定切线的判定 授课学校：授课学校：授课教师：授课教师：经过经过半径的外端半径的外端且且垂直垂直于这条于这条半径的直线是圆的切线。半径的直线是圆的切线。条件：条件：(1)经过半径的外端；经过半径的外端；圆的切线判定定理：圆的切线判定定理：(2)垂直于过该点半径；垂直于过该点半径；OAllOA，OA为半径为半径直线直线l是是O的切线的切线数学语言表达数学语言表达1.过半径的外端的直线是圆的切线（过半径的外端的直线是圆的切线（）2.与半径垂直的直线是圆的切线（与半径垂直的直线是圆的切线（)3.过半径
2、的端点与半径垂直的直线是圆的切线（过半径的端点与半径垂直的直线是圆的切线（）4.圆心与直线上一点的距离等于半径长圆心与直线上一点的距离等于半径长,则此直线为则此直线为圆圆 的切线的切线 ()5.过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线切线()OAl如何判定一条直线是已知圆的切线？如何判定一条直线是已知圆的切线？切线的判定方法有三种：(1)(1)与圆与圆只有一个公共点只有一个公共点的直线是圆的直线是圆的切线；的切线；(定义法)(2)(2)到圆心的到圆心的距离等于半径距离等于半径的直线的直线 是圆的切线；是圆的切线；(3)(3)过半径外端点且和半径垂
3、直过半径外端点且和半径垂直 的的直线是圆的切线；直线是圆的切线；(判定定理)(d=r(d=r 数量关系法)1、矩形的两边长分别为、矩形的两边长分别为2.5和和5，若以较，若以较长一边为直径作半圆，则矩形的各边与半长一边为直径作半圆，则矩形的各边与半圆相切的线段最多有（圆相切的线段最多有（）A、0条条 B、1条条 C、2条条 D、3条条D基础练习基础练习2 2、已知如图、已知如图ABCABC内接于内接于 O，过点，过点A A作直线作直线EFEF，ABAB为直径为直径,还需添加的还需添加的条件是条件是.使得使得EFEF是是 O的的切线。切线。FECOBA分析：由于分析：由于ABAB过过O O上的点
4、上的点C C，所以连接，所以连接OCOC，只要证明，只要证明 即可。即可。证明证明：连结连结OC(OC(如图如图)。OAOAOB,CAOB,CACB,CB,ABOC ABOC。又又 OCOC为半径为半径 AB AB是是O O的切线。的切线。例例1.1.已知：直线已知：直线ABAB经过经过O O上的点上的点C C，且，且OA=OB,CA=CBOA=OB,CA=CB求证：直线求证：直线ABAB是是O O的切线。的切线。例题讲解（例题讲解（1）ABOC证明：过证明：过O O作作OEACOEAC，垂足为，垂足为E E。AOAO平分平分BACBAC，ODABODAB OE OEODOD OD OD是是O
5、 O的半径的半径 OEOE是是O O的半径的半径 ACAC是是O O的切线。的切线。例题讲解（例题讲解（2）例题例题1 1与例题与例题2 2的证法有何不同的证法有何不同?(1)(1)如果已知直线经过如果已知直线经过圆上一点圆上一点,则连结这点则连结这点和圆心和圆心,得到辅助得到辅助半径半径,再证所作半径与这直线再证所作半径与这直线垂直垂直。简记为：简记为：连半径连半径,证垂直。证垂直。(2)(2)如果已知条件中如果已知条件中不知不知直线与圆是否有公共直线与圆是否有公共点点,则过圆心则过圆心作作直线的直线的垂线段垂线段为辅助线为辅助线,再证垂线段再证垂线段长等于半径长。简记为：长等于半径长。简记
6、为：作垂直作垂直,证半径。证半径。例例3.如图，如图，AB是是 O的直径，点的直径，点D在在AB的延的延长线上，长线上，BD=OB，点，点C在在 O上，上，CAB=30，求证：，求证：DC是是 O的切线的切线二二.例题讲解例题讲解AOBDC分析：分析：欲证DC是 O的切线，由于直线CD与 O有公共点C，所以连接OC，易知OCB为等边三角形，由CB=OB=BD可得OCD是直角三角形。证明OCCD即可，因为AB是直径，所以连接BC，例题讲解（例题讲解（3）证明：连结OC、BC例例3.如图，如图，AB是是 O的直径，点的直径，点D在在AB的延的延长线上，长线上，BD=OB，点，点C在在 O上，上，C
7、AB=30，求证：，求证：DC是是 O的切线的切线AOBDCAB为 O的直径 ACB=90CAB=30 ABC=60OB=OC，BOC为等边三角形BC=OB=BD，即BCD为等腰三角形又CBD=180-ABC=120OCD=OCB+BCD=60+30=90又点C在 O上，CD是 O的切线BCD=D=30例例3.如图，如图，AB是是 O的直径，点的直径，点D在在AB的延长线上，的延长线上，BD=OB，点，点C在在 O上，上，CAB=30，求证：，求证：DC是是 O的切线的切线AOBDC点评：点评：如果直线与圆有公共点，则连接该点和圆心，如果直线与圆有公共点，则连接该点和圆心，证明直线垂直于经过这
8、点的半径。即证明直线垂直于经过这点的半径。即 “连半径，证垂直”例例4.如图，已知：如图，已知：PA是是BAC的平分线，的平分线，AB是是 O的切线，切点为的切线，切点为E，求证：，求证：AC是是 O的切线的切线证明：连结OE，过O作OFAC垂足为F点AB是 O的切线 OEAB(?)（圆的切线垂直于经过切点的半径）又AP是BAC的角平分线，OFACOF=OE（？）AC是 O的切线（？）点评：如果直线与圆未知公共点，则过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于半径。即 “作垂直，证半径”F小小 结结 相切是直线与圆的位置关系中最重要一种关系，切线的相切是直线与圆的位置关系中最重要一种关系，切线的判
9、定与性质是中考命题中一个曲线型证明必涉及的内容，一判定与性质是中考命题中一个曲线型证明必涉及的内容，一般般710分分.在解决有关圆的切线问题时，常常需要添加辅助线:1、已知直线是圆的切线，通常连过切点的半径，得这条半径垂直于切线；2、要证明一条直线是圆的切线：如果直线经过圆上某一点，则需要连接这点和圆心得到辅助线半径，再证明所作半径垂直于这条直线，总结为：“已知公共点，连半径，证垂直”；如果已知条件中直线与圆的公共点没有确定，那么应过圆心作直线的垂线，得垂线段，再证明这条垂线段的长等于半径。总结为：“未知公共点，作垂直，证半径”。即：知切线，连半径，得垂直。当堂训练当堂训练已知：如图，已知：如
10、图，AB是是 O的直径，的直径，P为为 O外一点，外一点，PAAB，BCOP，求证：，求证：PC是是 O的切线的切线 分析：要证明PC是 O的切线，由于点C在 O上，只需连结OC，证明OCPC即可，而PAAB，故需证PAO PCO，得PCO=PAO=90证明：连结OCBCOP 1=2 3=B又OC=OA，OP=OP PAO PCO（SAS）OB=OC 1=B 2=3PCO=PAO而PAAB PCO=90PC是 O的切线123O PAB练习练习证明：连结证明：连结OPOP。OB=OAOB=OA，BP=PCBP=PC，OPACOPAC。又又 PEACPEAC，PEOPPEOP。PEPE为为0 0的
11、切线。的切线。3.3.已知：如图，同心圆已知：如图，同心圆O O，大圆的弦，大圆的弦 AB=CDAB=CD，且，且ABAB是小圆的切线，切点为是小圆的切线，切点为E E 求证：求证：CDCD是小圆的切线是小圆的切线小结小结1.1.判定切线的方法有哪些？判定切线的方法有哪些？直线直线l 与圆有唯一公共点与圆有唯一公共点与圆心的距离等于圆的半径与圆心的距离等于圆的半径经过半径外端且垂直这条半径经过半径外端且垂直这条半径l是圆的切线是圆的切线2.2.证明圆的切线常用辅助线作法：证明圆的切线常用辅助线作法：连半径，证垂直 作垂直，证半径l是圆的切线是圆的切线l是圆的切线是圆的切线判定定理判定定理(半径
12、半径+垂直垂直)1.如图如图,线段线段AB经过圆心经过圆心O,交交 O于点于点A,C,BADB30,边边BD交圆于点交圆于点D。求证：求证：BD是是 O的切线的切线OABCD2.如图，在如图，在ABC中中 ABC=90，以以AB为直径的为直径的 O交交AC于于D，E是是BC的中点，连接的中点，连接ED 求证：求证：DE是是 O的切线的切线OACBED3.如图，已知，如图，已知，AB是是 O直径，直径，BCAB于于B，O的弦的弦ADOC，求证：求证：DC是是 O的切线的切线DOBCA4.如图如图,ABC中中,AC=BC,以以BC为直径的为直径的 O交交AB于于D，过点，过点D作作DEAC 于点于点E，交交BC的延长线于点的延长线于点FCBODFEA求证：（求证：（1）AD=BD；（2）DF是是 O的切线的切线 5.已知已知:如图如图,梯形梯形ABCD中，中，ADBC，C=90，AD+BC=AB，以，以AB为为 直径作直径作 O.求证：求证：CD为为 O的切线的切线.O C B A DAODCB6.如图，如图，ABC为等腰三角形，为等腰三角形，O为为 底边底边BC的中点，的中点，ODAB，以，以O为为 圆心圆心OD为半径作为半径作 O，求证：求证：AC与与 O相切相切.OACDB
