1、3.3力矩的时间累积效应力矩的时间累积效应刚体的角动量定理刚体的角动量定理 L=rpsin =m rsin)(mrprL =m d则质点对则质点对o o点的点的角动量角动量(也称也称动量矩动量矩)为为1.1.质点的质点的角动量角动量 3.3.1 质点质点角动量角动量守恒定律守恒定律 设质点的位矢为设质点的位矢为 ，动量为动量为 ，r mp 角动量角动量 的大小的大小L式中式中 是是 与与 两矢量间的夹角。两矢量间的夹角。r 角动量的方向垂直于矢径角动量的方向垂直于矢径 和和 所组成的平面所组成的平面,指向是指向是 经小于经小于180180o o的角转到的角转到 时右螺旋的前进方向。时右螺旋的前
2、进方向。rr d doLr m力力F 对对o点的点的力矩力矩定义为定义为：M r F 力矩的大小力矩的大小M=Frsin =Fd质点的动量矩（角动量）与质点的动量及位矢质点的动量矩（角动量）与质点的动量及位矢(取决于固定点取决于固定点的选择的选择)有关；因此角动量的大小和方向不仅决定于质点的运有关；因此角动量的大小和方向不仅决定于质点的运动，也依赖于所选定的参考点，即参考点不同，质点的角动动，也依赖于所选定的参考点，即参考点不同，质点的角动量也不同。量也不同。)(mrprL doMFr类比类比 质点对圆心的角动量。质点对圆心的角动量。例例:质点作任何运动都可以用角动量来描述其运动状态。质点作任
3、何运动都可以用角动量来描述其运动状态。rmoL 行星在椭圆轨道上的角动量。行星在椭圆轨道上的角动量。o1r2r1m2m直线运动的物体对直线运动的物体对O点的角动量。点的角动量。抛出物体对抛出物体对O点的角动量。点的角动量。xyormx1r2r1m2mo2.质点角动量定质点角动量定理理ddddLrmttvd()dddmrrmtt vvr F M 0mvvdtLdM 质点所受的合外力矩等于它的角动量对时质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率间的变化率。质点的质点的角动量定理角动量定理。F质点所受合力矩的冲量质点所受合力矩的冲量矩矩等于质点的角动量的增量等于质点的角动量的增量21ttM tL
4、d(1)冲量矩是质点角动量变化的原因；冲量矩是质点角动量变化的原因；冲量矩冲量矩(2)质点角动量的变化是力矩对时间的积累结果。质点角动量的变化是力矩对时间的积累结果。u说明说明3.质点角动量守恒定律质点角动量守恒定律0dLdtr 0 M 若若常常矢矢量量LrPCrrrr如果质点所受的如果质点所受的合外力矩为零合外力矩为零时时,则此质点的则此质点的角角动量矢量保持不变动量矢量保持不变.质点角动量守恒定律质点角动量守恒定律对比：对比：角动量守恒定律是：角动量守恒定律是：，则则 =常矢量。常矢量。动量守恒定律是：动量守恒定律是：，则则 =常矢量。常矢量。0 外外M0 外外FLpdtLdM 解解:例例
5、3.3.1 一质点的质量为一质点的质量为m，位矢为：位矢为：r=acos t i+bsin t j(式中式中a、b、均为常量均为常量);求求质点的角动量及它所受的力矩。质点的角动量及它所受的力矩。j tbi tadtrd cossin )(mrL rm)cossin()sincos(j tbi taj tbi tam 0 iikji kij 0 jjk tabm 2sin kabm xyzoijk2cosm abtkF=ma=-m 2rM=r F=-m 2r r=0r2 dtda 质点所受的力矩质点所受的力矩:r=acos t i+bsin t jj tbi tadtrd cossin )si
6、ncos(2j tbi ta M=r F 解解:小球对小球对o o点的角动量守恒：点的角动量守恒：mr2 o=m(r/2)2 =4 o 由动能定理，由动能定理，拉力的功为拉力的功为 Forom例例3.3.2 光滑水平桌面，绳通过孔光滑水平桌面，绳通过孔o o拉着小球拉着小球m以以 o o作半径作半径r的匀速圆周运动，现向下的匀速圆周运动，现向下缓慢缓慢拉绳，拉绳，求半径从求半径从r变为变为r/2过程中拉力的功。过程中拉力的功。222121ommA 2222222321)2(21oomrmrrm 222212121)ll(kmmoo 解得解得:=4m/s,=30 解解:以以滑块和滑块和弹簧弹簧为
7、研究对象，因系统无外力为研究对象，因系统无外力和内非保守力作功，故和内非保守力作功，故机械能守恒：机械能守恒：m o lo=m lsin d olol omm例例3.3.3 光滑水平面上，轻弹簧为原长光滑水平面上，轻弹簧为原长(lo=0.2m,k=100N/m),),滑块滑块(m=1kg)o=5m/s,方向与弹方向与弹簧垂直。当弹簧绕簧垂直。当弹簧绕o o转过转过9090 时，其长度时，其长度l=0.5m，求此时滑块速度求此时滑块速度 的大小和方向。的大小和方向。v以以滑块滑块为研究对象，对为研究对象，对o点因点因外力矩为零，故质点的角动量外力矩为零，故质点的角动量守恒：守恒：3.3.2 质点
8、系角动量质点系角动量守恒定律守恒定律iiiiiLLrP iiiiiiiiMMrFrf 0iiirf内力对定点的力矩之和为零内力对定点的力矩之和为零LMt 外外ddiiLL 质点系对参考点质点系对参考点O 的角动量就是质点系所的角动量就是质点系所有质点对同一参考点的有质点对同一参考点的角动量的矢量和角动量的矢量和。2.质点系的角动量定理质点系的角动量定理 1.质点系对定点的角动量质点系对定点的角动量iid LMd t i i 其中其中o1P1r2P2rLLLLtMLLtt122121dd外(1)(1)质点系所受合外力矩的冲量矩等于质点系角动量的增量；质点系所受合外力矩的冲量矩等于质点系角动量的增
9、量；冲量矩冲量矩3.质点系角动量守恒定律质点系角动量守恒定律对质点系对质点系0 外外M0L如果作用在质点系合外力矩如果作用在质点系合外力矩沿某轴的投影为零沿某轴的投影为零,则沿此轴角则沿此轴角动量守恒动量守恒,如如0 zMZL 常常量量(2)内力对定点的力矩之和为零，只有外力矩才能改变系内力对定点的力矩之和为零，只有外力矩才能改变系统的总角动量。统的总角动量。const.vectorL 盘状星系盘状星系 角动量守恒的结果角动量守恒的结果比较比较 动量定理动量定理 角角动量定理定理PLFMttdddd形式形式上完全相同，所以记忆上就可上完全相同，所以记忆上就可简化简化。从动量定理变换到。从动量定
10、理变换到角动量定理，只需将相应的量变换一下，名称上改变一下。角动量定理，只需将相应的量变换一下，名称上改变一下。2211ttttF tPM tLdd0,00,0FPML3.3.3 刚体的角动量及守恒定律刚体的角动量及守恒定律1.刚体的角动量刚体的角动量设刚体以角速度设刚体以角速度 绕固定轴绕固定轴z z转动转动,质量为质量为 mi的质点对的质点对o o点的角动量大小为点的角动量大小为 Li=mi iri=mi ri2 刚体的角动量刚体的角动量=刚体上各个质点的角动量之和。刚体上各个质点的角动量之和。刚体刚体对对z轴轴的角动量大小的角动量大小就是就是Z mioir i L 2zi iiLm rI
11、 质点系的角动量定理质点系的角动量定理LMt外外dd刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理dtLdM dtId)(1122212211)(IIIddtMttII 积分形式积分形式2.刚体的角动量定理刚体的角动量定理1122II1122II 当当I1=I2时，时，12 ，刚体做匀角速度转动，刚体做匀角速度转动 当当I变化时，变化时，表明转动惯量与刚体转动状态之间，表明转动惯量与刚体转动状态之间的关系的关系(现象解释现象解释)2112 II3.刚体的角动量守恒定律刚体的角动量守恒定律 角动量守恒实例角动量守恒实例角动量守恒定律：角动量守恒定律：112221 IIdtMtt 当刚体所受的当
12、刚体所受的合外力矩为零合外力矩为零(即即0)，刚体的角动量保持不变，刚体的角动量保持不变例例3.3.4：匀质圆盘：匀质圆盘(m、R)与一人与一人(m/10,视为质点视为质点)一起以角速度一起以角速度 o绕绕通过其盘心的竖直光滑固定轴转动，如果此人相对于盘以速通过其盘心的竖直光滑固定轴转动，如果此人相对于盘以速率率v、沿半径为、沿半径为R/2的圆周运动的圆周运动(方向与盘转动方向相反方向与盘转动方向相反),求求:(1)圆盘对地的角速度圆盘对地的角速度 (2)欲使圆盘对地静止，人相对圆盘的速度大小和方向？欲使圆盘对地静止，人相对圆盘的速度大小和方向？(1).外力外力(重力和轴的支撑力重力和轴的支撑
13、力)对转轴的力矩对转轴的力矩为零，所以系统角动量守恒，于是有：为零，所以系统角动量守恒，于是有：解解：系统：圆盘：系统：圆盘+人。人。0()/2ppIIImR人人人人对吗？对吗？否！否！o2/R 2211()210 2ommRR 2212()()210 2m RmRR 解出解出221oR 角动量守恒定律只适用于惯性系！角动量守恒定律只适用于惯性系！盘盘I oII)(人人盘盘人人对对地地人人 I o2/R 人对地人对地=人对盘人对盘+盘对地盘对地 人对地人对地=R 2+221oR (2)欲使盘静止，可令欲使盘静止，可令2021oR 得得212oR 负号表示人的运动方向与图中负号表示人的运动方向与
14、图中v 方向相方向相反，即与反，即与 o方向相同方向相同 o2/R 解：解：系统系统(圆盘圆盘+人人)角动量守恒：角动量守恒：omRMR)21(22 221MR oMm )21(o 例例3.3.5 匀质圆盘匀质圆盘(M、R)与人与人(m,视为质点视为质点)一起以一起以 o o绕通过其盘心的竖直光滑固定轴转动。当此人从绕通过其盘心的竖直光滑固定轴转动。当此人从盘盘的的边缘走到边缘走到盘心时，盘心时，圆盘的角速度是多少？圆盘的角速度是多少？例例3.3.6 两个同样的子弹对称地同时射入转盘中，则盘的两个同样的子弹对称地同时射入转盘中，则盘的角速度将（角速度将（）。）。(填：增大、减小或不变填：增大、减小或不变).oom m rrI o=(I+2mr2)减小减小回转仪刚体进动回转仪刚体进动进动：高速旋转的物体，其自转轴绕另一个轴进动：高速旋转的物体，其自转轴绕另一个轴 转动的现象。转动的现象。回转仪的应用之一回转仪的应用之一多颗卫星组成的全球定位系统（多颗卫星组成的全球定位系统（GPS)GPS)
