1、一元二次方程初中数学课件 之 目录A方程的解B方程解法C拓展训练D解应用题EA概念解析基本定义判定条件四种形式概念解析之 成立条件 只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程经过整理都可化成一般形式 ax+bx+c=0（a0）。【定义】ax+bx+c=0叫作二次项a是二次项系数叫作一次项b是一次项系数叫作常数项1、公元前2000年左右，古巴比伦的数学家就能解一元二次方程了。古埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程。2、大约公元前480年，中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根。九章算术勾股章中的第二十题，是通过求相当于 x2+34x
2、-71000=0 的正根而解决的。3、公元628年，印度的婆罗摩笈多（Brahmagupta）（约598约660）出版了婆罗摩修正体系，得到了一元二次方程 x2+px+q=0 的一个求根公式。4、公元820年，阿拉伯的阿尔花剌子模（al-Khwrizmi）（780810）出版了代数学。书中讨论到方程的解法，除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出了一元二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在。5、法国的韦达（15401603）除推出一元方程在复数范围内恒有解外，还给出了根与系数的关系。【历史】概念解析之 基本定义概念解析之 判定条件一元二次方程成立必须同时满足三个条件：是整式
3、方程，即等号两边都是整式。方程中如果有分母，且未知数在分母上，那么这个方程就是分式方程，不是一元二次方程；方程中如果有根号，且未知数在根号内，那么这个方程也不是一元二次方程（是无理方程）。只含有一个未知数；未知数项的最高次数是2。【判定条件】概念解析之 四种形式ax+bx+c=0（a0）【一般形式】【变形式】ax+bx=0（a0）ax+c=0（a0）ax=0（a0）【配方式】【两根式】b b2a2ax+x+()2=b b2 2-4ac-4ac4a4a2 2a(x-xa(x-x1 1)(x-x)(x-x2 2)=0)=0B方程的解含义特点判别式韦达定理方程的解之 含义特点【含义】一元二次方程的解
4、（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解。一般情况下，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根（只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根）。【特点】由代数基本定理，一元二次方程有且仅有两个根（重根即为两个相等的根），根的情况由判别式 决定。=b b2 2-4ac-4ac方程的解之 判别式上述结论反过来也成立。=b b2 2-4ac-4ac【判别式与根的关系】利用一元二次方程根的判别式（）可以判断方程的根的情况。一元二次方程 ax+bx+c=0（a0）的根与判别式 有如下关系：当0时，方程有两个不相等的实数根；当0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程无实数
5、根。方程的解之 韦达定理一元二次方程ax+bx+c=0（a0）中，两根x x1 1，x x2 2有如下关系：【韦达定理】x1+x2=b ba a-x1x2=c ca a【推导过程？】待学完利用求根公式解一元二次方程后，可提示学生自己进行推导（后附求根公式推导过程）！C方程解法基本方法特殊方法方程解法之 基本方法 开平方法【之一之一 开平方法开平方法】（1）形如x2=p(p0)或(mx+n)2=p(p0)的一元二次方程可采用直接开平方法解一元二次方程。（2）如果方程化成x2=p(p0)的形式，那么可得x=p 。（3）如果方程能化成(mx+n)2=p(p0)的形式，那么mx+n=p，进而得出方程的
6、根。等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个常数。降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。方法是根据平方根的意义开平方。注意注意方程解法之 基本方法 开平方法【例题】1、解方程 x-24=1解：解：移项得：x=25 x=25 x=5 x1=5 x2=-52、解方程 (3x+1)=16解：解：（3x+1)=16 3x+1=16 x=（-14）3 原方程的解为 x1=-5/3,x2=1 方程解法之 基本方法 因式分解法【之二之二 因式分解法因式分解法】因式分解法是通过将方程右边化为0后，将左边因式分解，变成两个一元一次方程相乘的形式，从而求得方程的解的方法。（1）将方程右边化为0
7、；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.基本步骤基本步骤方程解法之 基本方法 因式分解法1.解方程 x+2x+1=0解：解：利用完全平方公式因式分解得：（x+1)=0 x=-1【例题】2.解方程 x(x+1)-2(x+1)=0解解：利用提公因式法解得：（x+1)(x-2)=0 即 x-2=0 或 x+1=0 x1=2，x2=-13.解方程 x-4=0解：解：利用平方差公式因式分解得：（x-2)(x+2)=0 即 x+2=0或x-2=0 x1=-2，x2=2方程解法之 基本方法 因式分解法十字
8、相乘法是因式分解法解一元二次方程中一个重要的部分。一元二次方程左边为二次三项式，形如x+(p+q)x+pq=0，可化为(x+p)(x+q)=0，从而得出：x1=-p;x2=-q。十字相乘法十字相乘法1、解方程 x-8x+15=0 解：解：利用十字相乘法，-8=-3-5，15=35 原式可化为(x-3)(x-5)=0 x1=3；x2=5【例题】方程解法之 基本方法 配方法【之三之三 配方法配方法】将一元二次方程配成(x+m)2=n 的形式，再利用直接开平方法求解的方法。配方法的理论依据是完全平方公式。配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
9、把原方程化为一般形式；方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；方程两边同时加上一次项系数一半的平方；把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根；如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。基本步骤基本步骤方程解法之 基本方法 配方法配方法的口诀配方法的口诀二次系数化为一，分开常数未知数；一次系数一半方，两边加上最相当。1、解方程 x+2x3=0解：解：把常数项移项得：x+2x=3等式两边同时加1（构成完全平方式）得：x+2x+1=4 配方得：（x+1)=4 x1=-3,x2=1【例题】方程解法之
10、基本方法 公式法【之四之四 公式法公式法】公式法是通过将方程化成一般形式后，根据判别式的三种情况，求得方程的解的方法。把方程化成一般形式ax+bx+c=0（a0），确定a、b、c的值（注意符号）；求出判别式（）的值，判断根的情况；当0，方程有两个不相等的根：当=0时，方程有两个相等的根：当0时，方程无实数根。基本步骤基本步骤=b b2 2-4ac-4ac-b+-b+b b2 2-4ac-4ac2a2ax x1 1=-b-b-b b2 2-4ac-4ac2a2ax x2 2=-b-b2a2ax x=方程解法之 基本方法 公式法【例题】1、解方程 2x2-8x=-5解：解：将方程化为一般形式：2x
11、2-8x+5=0 a=2,b=-8,c=5b2-4ac=(-8)2-425 =64-40=240 x=原方程的解为 x1=x2=22-(-8)2424-624+62、解方程 4x2-3x+1=0解：解：由原式可知：a=4，b=-3，c=1 b2-4ac=(-3)2-441 =-70 在实数范围内，负数不能开平方，方程无实数根 方程解法之 特殊方法 赋值法【之五之五 赋值法赋值法】赋值法是利用韦达定理中两根关系来解部分一元二次方程的方法。现将方程 ax+bx+c=0（a0）同时除以a，得到x+x+=0设x1=-+m，x2=-m (m0)根据韦达定理可得：x1x2=将第二步中的设定代入，求得m再求
12、得x1,x2。基本步骤基本步骤b ba ac ca ab b2a2ab b2a2ac ca a方程解法之 特殊方法 赋值法【例题】1、解方程 2x-140 x+1650=0解：解：第一步将方程两边同时除以a=2 方程化为：x-70 x+825=0，此时可知：-=35 设x1=35+m，x2=35-m(m0)根据韦达定理可知：x1x2=825 则有：(35+m)(35-m)=825 解得：m=20 方程的解为：x1=55，x2=15。b b2a2aD拓展训练推导求根公式几何意义韦达定理拓展训练之 求根公式推导第一步：约分第二步：配方第三步：通分第四步：开平方一元二次方程 ax+bx+c=0（a0
13、）求根公式推导过程如下：拓展训练之 几何意义一元二次方程 ax+bx+c=0（a0）的几何意义一元二次方程 ax+bx+c=0（a0）的根的几何意义是二次函数 y=ax+bx+c（a0）的图像（为一条抛物线）与x轴交点的x坐标。说明：本表只例举a0时，抛物线开口向上的情况，当a0时，抛物线开口向下，但根与判别式关系不变。E解应用题一般步骤精选例题解应用题之 一般步骤1、审：审：读懂题目、审清题意，明确已知与未知条件及其数量关系;2、设：设：设未知数，包括直接设未知数和间接设未知数两种，主要根据题目特点来选择合适的设未知数方式;3、列：列：根据题目给出的条件，利用等量关系，列出方程;4、解：解：
14、求出所列方程的正确解;5、验：验：对求出的方程解进行检验，一看是否能使方程成立，二看是否符合题意和生活实际，如不符合则应舍去;6、答：答：一般遵循“问什么答什么，怎么问怎么答”。列一元二次方程解应用题的一般步骤，列一元二次方程解应用题的一般步骤，可归纳为可归纳为“审、设、列、解、验、答审、设、列、解、验、答”：解应用题之 精选例题1、有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人?解解:设每轮传染中平均一个人传染了x个人 可传染人数 共传染人数 第0轮 1(传染源)1 第1轮 x x+1 第2轮 x(x+1)1+x+x(x+1)列方程 1+x+x(x+1)
15、=121 化简为 x2+2x-120=0 解方程，得x1=10，x2=-12 检验可知 x2=-12不符合题意，所以原方程的解是x=10 答答:每轮传染中平均一个人传染了10个人。【传播问题】解应用题之 精选例题2、某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元?解解:设每年经营总收入的年增长率为x.列方程，60040%(1+x)2=2160 解方程得：x1=0.2 x2=-2.2，(不符合题意，舍
16、去)每年经营总收入的年增长率为0.2 则 2001年预计经营总收入为:60040%(1+0.2)=60040%1.2=1800 答答:2001年预计经营总收入为1800万元。【平均率问题】解应用题之 精选例题3、王明同学将100元第一次按一年定期储蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的50元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的一半，这样到期后可得本金利息共63元，求第一次存款时的年利率.解解:设第一次存款时的年利率为x，根据题意，得 100(1+x)-50(1+x)=63.整理，得 50 x2+125x-13=0.解得x1=
17、0.1，x2=-2.6.x2=-2.6 不合题意，x=10%.答答:第一次存款时的年利率为10%。【银行问题】解应用题之 精选例题4、在宽20米，长32米的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路(两条纵向，一条横向，并且横向与纵向互相垂直)，把这块耕地分成大小相等的六块试验田，要使试验田的面积是570平方米，问道路应该多宽?解：设路宽为x米，则两条纵路面积为2x20=40 x(米2)，一条横路所占的面积为32x(米2).纵路与横路所占的面积都包括两个小正方形ABCD、EFGH的面积，所以三条路所占耕地面积应当是(40 x+32x-2x2)米2，根据题意可列出方程 3220-(40 x+32x-2x2)
18、=570.整理，得x2-36x+35=0.解方程，得x1=1，x2=35.x2=35不合题意舍去，所以 x=1.答答:道路宽为1米.【面积问题】ABCDEFGH解应用题之 精选例题5、一个两位数，十位上数字与个位上数字之和为5;把十位上的数字与个位上数字互换后再乘以原数得736，求原来两位数.解解:设原来两位数个位上的数字为x，则十位上的数字为(5-x)，原来的两位数就是:10(5-x)+x，新的两位数就是:10 x+(5-x).可列出方程:10(5-x)+x10 x+(5-x)=736.整理，得：x2-5x+6=0，解得x1=2，x2=3.当x=2时，5-x=5-2=3;当x=3时，5-x=
19、5-3=2.答答:原来的两位数是32或23.【数学问题】解应用题之 精选例题6、如图，在ABC中，B=90o,AB=6cm,BC=8cm,点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动。如果P、Q分别从A，B同时出发，经过几秒，PBQ的面积等于8cm2?解解:设经过x秒，得:BP=6-x，BQ=2x SPBQ=BPBQ2 (6-x)2x2=8 整理得：x2-6x=8 解得:x1=2，x2=4 答：答：经过2秒或4秒后，PBQ的面积等于8cm2。【动态几何问题】ABCPQ后记本课件有三个特点：一是实用性强，可以作为教学课件直接使用，基本无需修改；二是通俗易懂，比教材讲述得更为透彻，并详细描述解题步骤；三是略高教材，课件中的知识点比教材略高，强调实战性。本课件是笑骑士做中学教学课件系列中初中数学教学课件的第二个，第一个是初中数学教学课件 因式分解。目前，课件系列已出的还有初中语文教学课件 醉翁亭记、初中语文教学课件 小石潭记、初中语文教学课件 从百草园到三味书屋、初中语文教学课件 木兰诗、高中语文教学课件 孔雀东南飞、中小学生 礼仪培训，喜欢的朋友可以直接点击作者名笑骑士，进行查阅。接下来，陆续还有更多的实用教学课件推出，将涵盖语文、数学、英语、物理、化学、地理、政治、历史、生物等九门课程，敬请期待！谢谢观赏
