1、几何证解题思路培养与训练尺规作图尺规作图探究探究1.尺规作图与基本作图:在几何里,把限定用直尺子(不用刻度)和圆规来画图,称为尺规作图,最基本、最常用的尺规作图称为基本作图.基本作图是其他作图(一般作图与复杂作图)的基础.2.五种基本作图:(1)作一条线段,等于已知线段;已知线段MN，求作：一条线段等于已知线段.作法：图先画射线AB,然后用圆规在射线AB上截取AC=MN.线段AC就是所要作的线段.(2)作一个角等于已知角(其理论依据为“SSS”理);已知AOB.求作：A0B，使 A0B=AOB.作法：作射线0A;以点0为圆心，以任意长为半径作弧，交OA于C,交OB于D;以点0为圆心，以OC长为
2、半径作弧，交0A于C;以点C为圆心，以CD为半径作弧，交前弧于D;经过点D作射线0B，A 0B就是所求的角.(3)作已知角的平分线(其理论依据为“SSS”公理);已知AOB,求作：射线OC,使AOC=BOC.作法：在OA和OB上，分别截取OD.OE.分别以D.E为圆心，大于DE的长为半径作弧，在 AOB内，两弧交于点C；作射线OC.OC就是所求的射线.(4)经过一点(点在直线上或点在直线外)作已知直线的垂线;a.经过已知直线上的一点作这条直线的垂线.已知：直线AB和AB上一点C,求作：AB的垂线，使它经过点C.作法：作平角ACB的平分线CF,直线CF就是所求的垂线.b.经过已知直线外一点作这条
3、直线的垂线.已知：直线AB和AB外一点C.求作：AB的垂线，使它经过点C.作法：任意取一点K,使K和C在AB的两旁;以C为圆心,CK长为半径作弧，交AB于点D和E;分别以D和E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧交于点F.作直线CF.直线CF就是所求的垂线，注意：经过已知直线上的一点，作这条直线的垂线转化成画线段垂直平分线的方法解决.(5)作线段的垂直平分线已知线段AB,求作：线段AB的垂直平分线作法：分别以点A和点B为圆心，大于的AB长为半径作弧，两弧相交于点C和D；作直线CD,直线CD就是线段AB的垂直平分线.注意：直线CD与线段AB的交点，就是AB的中点.平 面 几 何 证 解 题 思
4、路 培 养 与 训 练例1：已知:如图所示两角及其夹边,求作三角形.已知、，线段a.求作 ABC,使 A=,B=,AB=a.【思路探索及做法】假定ABC已经作成（画一草图,如右图上所示),则应该有使A=,B=,AB=a.都标注在草图上,根据此草图进行观察,便可确定以下作法.作法:如图所示:(1)作BAC=(2)在射线AB上截取AB=a,(3)作ABC=,则边BC与AC交于点C.则ABC即为所求作的三角形.平 面 几 何 证 解 题 思 路 培 养 与 训 练例2：已知三边，求做三角形.如图已知:线段a、b、c.求作:ABC,使BC=a,AC=b,AB=C.【思路探索及做法】假定ABC已经作成（
5、画一草图,如右图上所示),则应该有使BC=a,AC=b,AB=c.都标注在草图上,进行观察分析,便可确定以下作法.作法:如图所示:(1)作线段BC=a(2)以点B为圆心，C为半径画弧.(3)以点C为圆心，b为半径画弧与前弧相交于A.连接AB、AC，则 ABC即为所求作的三角形.平 面 几 何 证 解 题 思 路 培 养 与 训 练例3：已知一直角边和斜边,求作直角三角形.如图已知:线段a、c.求作:ABC,使C=Rt,BC=a,AB=c.【思路探索及做法】假定ABC已经作成画一草图,如右图上所示),则应该有C=Rt,BC=a,AB=c,根据此草图进行观察分析,便可确定以下作法步骤.作法:(1)
6、作射线BC,并在射线BC上截取BC=a;(2)过点C作BC的垂线CA;(3)以点B为圆心,c长为半径画弧与CA相交于点A;(4)连接AB.则ABC为所求作的直角三角形注意:作BC的垂线AC时,只能用圆规直规作图的基本要求.以上三例均属一般作图,而复杂作图见下面例题本节课参考材料:三角形奠基法平 面 几 何 证 解 题 思 路 培 养 与 训 练例4：已知三角形一条边及这条边上的中线和高,求作三角形.已知:线段a,b,h.求作:ABC,使BC=a,中线AD=b,高AE=h.【思路探索及做法】假定ABC已经作成画一草图.如右图上所示),应该有BC=a,中线AD=b,高AE=h,都标注在草图上,再观
7、察分析此图形,便发现RtADE 可作(已知直角三角形的一条直角边与斜边),又BD=DC=1/2 a点BC可确定,从而ABC可作出.作法:(1)作ADE,使AED=Rt,AE=h,AD=b;(2)在DE 所在的直线上截取BD=DC=1/2 a(3)连接AB,AC.则ABC即为所求作的三角形.证明(略).本节课参考材料:三角形奠基法说明:(1)在写复杂作图的作法时,对常用的一般作图的作法可不必细写而概括写出,如本题中已知一直角边和斜边作ADE的叙述就是这样.(2)根据所给的条件,本题中的ABC不能直接作出,但当我们找到了一个可作的ADE后,以它为基础,ABC就能作出了,【总结】平 面 几 何 证
8、解 题 思 路 培 养 与 训 练例5：已知三角形两边及第三边上的中线,求作三角形.已知:线段a,b及m.求作:ABC,使AB=a,AC=b,中线AD=m.【思路探索及做法】假定ABC已经作成画一草图.如右图上所示),应该有AB=a,AC=b,中线AD=m,再观察分析图形,看这已知三条线段共点A,点A可确定,但B、C、D三点则无法确定,为此需搞“等代转化”,根据“只具部分全等条件需构造全等三角形”便立即想到“倍长中线法”,于是延长AD至E,使AE=2AD=2m,再连接BE,EBDACD,可推出BE=AC=b,于是奠基ABE可作出,进而ABC可作出.本节课参考材料:三角形奠基法【思路探索及做法】作法:(1)作ABE,使AB=a,BE=b,AE=2m;(2)作AE的中点D,再连接BD并延长使BD=DC;(3)连接AC.则 ABC即为所求作的三角形(证明略).本节课参考材料:三角形奠基法
