1、18.118.1勾股定理（一）勾股定理（一）（说课）（说课）义务教育课程标准实验教科书数学八年级下册（人教版）义务教育课程标准实验教科书数学八年级下册（人教版）河师大实验中学河师大实验中学 魏艳红魏艳红教材分析教材分析教学方法教学方法教学环节教学环节教学过程教学过程教学评价教学评价教学重难点教学重难点 教材分析教材分析 勾股定理是中学数学几个重要定理之一，它勾股定理是中学数学几个重要定理之一，它揭示了直角三角形三边的数量关系，既是直角三揭示了直角三角形三边的数量关系，既是直角三角形性质的拓展，也是后续学习角形性质的拓展，也是后续学习“解直角三角形解直角三角形”的基础。它紧密联系了数学中两个最基
2、本的量的基础。它紧密联系了数学中两个最基本的量数与形，能够把形的特征（三角形中一个角是数与形，能够把形的特征（三角形中一个角是直角）转化成数量关系（三边满足），是数形结直角）转化成数量关系（三边满足），是数形结合的典范，在理论上占有重要地位。合的典范，在理论上占有重要地位。（一）教材的地位和作用（一）教材的地位和作用 教材分析教材分析（二）学情分析（二）学情分析 八年级学生已具备一定八年级学生已具备一定 的分析与归纳的分析与归纳能力，初步掌握了探索图形性质的基本方能力，初步掌握了探索图形性质的基本方法，但学生对用割补方法和面积计算证明法，但学生对用割补方法和面积计算证明几何命题的意识和能力还存
3、在障碍，对如几何命题的意识和能力还存在障碍，对如何将数与图有机结合起来还不熟悉。何将数与图有机结合起来还不熟悉。教教学学目目标标知识知识技能技能了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程过程.数学数学思考思考在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想体会数形结合的思想.解决解决问题问题1.通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维形象思维.2.在探究活动中，培养学生与他人合作交流的意在探究活动中，培养学生与他人合作交流的意识识.情感情感态度态度
4、1.通过对勾股定理的历史的了解，感受数学文化，通过对勾股定理的历史的了解，感受数学文化，激发学习热情激发学习热情.2.在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神培养学生的合作交流意识和探索精神.教材分析教材分析（三）教学目标（三）教学目标 教学重、难点教学重、难点探索和证明勾股定理探索和证明勾股定理.用拼图的方法证明勾股定理用拼图的方法证明勾股定理.重重 点点难难 点点 从学生已有的知识水平和认知规律出发，从学生已有的知识水平和认知规律出发，我确定了以下重难点我确定了以下重难点 教学方法教学方法 根据本节课的内容特点和学生的
5、年龄特根据本节课的内容特点和学生的年龄特点，遵循以人为本的教育理念，我采用情境点，遵循以人为本的教育理念，我采用情境教学与合作探究的教学方法，促进学生实践教学与合作探究的教学方法，促进学生实践能力的发展，让学生在自主探索，合作交流能力的发展，让学生在自主探索，合作交流的氛围中理解和掌握知识的氛围中理解和掌握知识.教学环节教学环节活动活动1创设情境创设情境 激发兴趣激发兴趣活动活动2观察特例观察特例 发现新知发现新知活动活动3深入探究深入探究 交流归纳交流归纳活动活动4拼图证明拼图证明 加深理解加深理解活动活动5小结、布置作业小结、布置作业 巩固加深巩固加深你听说过勾股定理吗？你听说过勾股定理吗
6、？这个图案是我国汉代数学家这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为被称为“赵爽弦图赵爽弦图”这就是本届大会这就是本届大会会徽的图案会徽的图案设计意图 一开始就提出赵爽弦图，一是为一开始就提出赵爽弦图，一是为了调动学生的积极性而创设的问题情了调动学生的积极性而创设的问题情境，二是为后面探索勾股定理提供了境，二是为后面探索勾股定理提供了背景材料。背景材料。毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家。毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家。相传相传2500年前，他去朋友家做客，从朋友年前，他去朋友家做客，从朋友家的地砖铺成的地面上发现了直角三角形家的地砖铺成的地面上发现了直
7、角三角形三边的某种关系。三边的某种关系。ABC两直角边的平方和等于斜边的平方两直角边的平方和等于斜边的平方cab面积面积A+面积面积B=面积面积C（1）同学们，请你也来观察图中的地面，看看能发现些什么？）同学们，请你也来观察图中的地面，看看能发现些什么？ABC两直角边的平方和等于斜边的平方两直角边的平方和等于斜边的平方cab面积面积A+面积面积B=面积面积C探究探究1（2）你能找出图中正方形）你能找出图中正方形A、B、C面积之间的关系吗？面积之间的关系吗？（3）图中正方形）图中正方形A、B、C所围等腰直角三角形三边之间有所围等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系什么特殊关系?设计意图 通过讲传说
8、中的故事来进一步激发通过讲传说中的故事来进一步激发学生学习兴趣，另外，通过层层设学生学习兴趣，另外，通过层层设问，引导学生发现新知问，引导学生发现新知.ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图2-1图2-2让我们一起再探究：等腰直角三角形三边关系让我们一起再探究：等腰直角三角形三边关系A的面的面积积(单位单位长度长度)B的面的面积积(单位单位长度长度)C的面的面积积(单位单位长度长度)图图1图图29918448ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图2-1图2-2cS正方形143 3182 分分“割割”成若
9、干个直成若干个直角边为整数的三角形角边为整数的三角形（单位面积）（单位面积）ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图2-1图2-2cS正方形216218（单位面积）（单位面积）把把C“补补”成边长为成边长为6的的正方形面积的一半正方形面积的一半ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图2-1图2-2 SA+SB=SCA的面的面积积(单位单位长度长度)B的面的面积积(单位单位长度长度)C的面的面积积(单位单位长度长度)图图2-19918图图2-2A、B、C面积面积关系关系直角三直角三角形三角形三边关系边关系44
10、8两直角边的平方和等于斜边的平方设计意图 在独立思考的基础上让学生分在独立思考的基础上让学生分组交流，进一步探索等腰直角组交流，进一步探索等腰直角三角形三边的关系，为下一步三角形三边的关系，为下一步探索一般直角三角形三边关系探索一般直角三角形三边关系做好铺垫做好铺垫.对于等腰直角三角形有这样的性质：对于等腰直角三角形有这样的性质：那么对于一般的直角三角形那么对于一般的直角三角形是否也有这样的性质呢？是否也有这样的性质呢？两直角边的平方和等于斜边的平方两直角边的平方和等于斜边的平方思思考考归归 纳纳 小小 结结 命题命题 如果直角三角形的两直角如果直角三角形的两直角边长分别为边长分别为a，b，斜
11、边长为，斜边长为c，那么那么a a2 2+b+b2 2=c=c2 2ABC图图1ABC图图21观察右边两个图观察右边两个图并填写下表：并填写下表：A的面积的面积B的面积的面积C的面积的面积图图1图图2169254913你是怎样得到表中的结你是怎样得到表中的结果的？小组交流果的？小组交流探究探究2ABC图图1ABC图图21观察右边两个图观察右边两个图并填写下表：并填写下表：A的面积的面积B的面积的面积C的面积的面积图图1图图2169254913你是怎样得到表中的结果你是怎样得到表中的结果的？小组交流的？小组交流ABC图图1ABC图图22三个正方形三个正方形A，B，C面积之间有什么关系？面积之间有
12、什么关系？SA+SB=SC即：两条直角边上的即：两条直角边上的正方形正方形 面积面积之和等于斜边上的之和等于斜边上的正方正方形的面积形的面积cbabca正方形的面积怎样求正方形的面积怎样求ABC图图1ABC图图23你能发现直角三角形三你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？边长度之间存在什么关系吗？与同伴交流与同伴交流4分别以分别以3厘米、厘米、4厘米为厘米为直角边作出一个直角三角形，直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度第并测量斜边的长度第4 题题中的关系对这个三角形仍然中的关系对这个三角形仍然成立吗？成立吗？cbabca直角三角形两直角边的平直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平
13、方方和等于斜边的平方c2=a2+b2设计意图 通过四个问题，一步一步引通过四个问题，一步一步引导学生用不同的方法得出大正导学生用不同的方法得出大正方形的面积，再利用三个正方方形的面积，再利用三个正方形的面积关系转化为直角三角形的面积关系转化为直角三角形三边的关系形三边的关系设计意图 探究探究1 1和探究和探究2 2这两个活动的设计，是为了更好这两个活动的设计，是为了更好渗透从特殊到一般的数学思想渗透从特殊到一般的数学思想.在活动中充分发在活动中充分发挥学生的主体作用，培养学生的类比迁移能力和挥学生的主体作用，培养学生的类比迁移能力和探索问题的能力探索问题的能力.同时，教师鼓励学生从不同的同时，
14、教师鼓励学生从不同的角度寻求解决问题的方法，让学生通过方法的反角度寻求解决问题的方法，让学生通过方法的反思，获得解决问题的经验思，获得解决问题的经验.222abcabc 是不是所有的直角三角形都具有这样的是不是所有的直角三角形都具有这样的特点特点呢？呢？这就需要我们对一般的直角三角形进行证明到目前为这就需要我们对一般的直角三角形进行证明到目前为止，对这个命题的证明方法已有几百种之多止，对这个命题的证明方法已有几百种之多直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 我国是最早发现勾股定理的国家之一，据我国是最早发现勾股定理的国家之一，据周髀周髀算经算经记载：公
15、元前记载：公元前1100年人们已经知道年人们已经知道“勾广勾广三，股修四，径隅五三，股修四，径隅五”.把直角三角形中较短的把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦.将将此定理命名为勾股定理此定理命名为勾股定理.下面我们就来看一看我国数学家赵爽是怎样证明勾下面我们就来看一看我国数学家赵爽是怎样证明勾股定理的股定理的中黄实中黄实(b-a)2 2babababacc中黄实中黄实(b-a)2 2bacbac 看左边的图案，这个图案是看左边的图案，这个图案是公元公元 3 世纪我国汉代的赵爽在注世纪我国汉代的赵爽在注解解周髀算经周髀算经时给出的，人们
16、时给出的，人们称它为称它为“赵爽弦图赵爽弦图”赵爽根据赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角此图指出：四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大形（红色）可以如图围成一个大正方形，中间的部分是一个小正正方形，中间的部分是一个小正方形方形（黄色）（黄色）bacbac你能用这个图试着你能用这个图试着证明勾股定理吗？证明勾股定理吗？探究探究3设计意图 了解勾股定理的历史，增强了学生的了解勾股定理的历史，增强了学生的爱国主义精神和民族自豪感爱国主义精神和民族自豪感.中黄实中黄实(b-a)2 2赵爽弦图的证法赵爽弦图的证法化简得：化简得：c2=a2+b2cbabababacccS大正方形大正方形 S小
17、正方形小正方形 4S直角三角形直角三角形 c2(ba)24 ab21勾股定理的证法勾股定理的证法a a2 2+b+b2 2=c=c2 2(a+b)(a+b)2 2=c=c2 2+4+4 ababS大正方形大正方形 =S小正方形小正方形+4S直角三角形直角三角形化简得：化简得：bacbacccS三角形三角形1 S三角形三角形2 S三角形三角形3S梯形梯形化简得化简得:c2=a2+b2(ab)(ab)21ab21ab21c221勾股定理的证法勾股定理的证法勾勾 股股 定定 理理 如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为，斜边为c，那么，那么222abc直角三角形两直角
18、边的平方和等于斜边的平方直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方abc设计意图 让学生模拟数学家的思维方式和思维过程让学生模拟数学家的思维方式和思维过程,通过拼图活动，调动学生思维的积极性，建通过拼图活动，调动学生思维的积极性，建立初步的空间观念，发展形象思维，同时，立初步的空间观念，发展形象思维，同时，通过拼图活动，也让学生对勾股定理的理解通过拼图活动，也让学生对勾股定理的理解更加深刻，体会数学中的数形结合思想更加深刻，体会数学中的数形结合思想.直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方设计意图学生通过对学习过程的小学生通过对学习过程的小结，领会其中的数
19、学思想结，领会其中的数学思想方法；通过梳理所学内容，方法；通过梳理所学内容，形成完整知识结构，培养形成完整知识结构，培养归纳概括能力归纳概括能力.设计意图作业的设计既让学生作业的设计既让学生巩固了知识，形成了巩固了知识，形成了技能，又给学生留下技能，又给学生留下了继续学习的空间和了继续学习的空间和兴趣兴趣.教学评价教学评价 新课标指出新课标指出“动手实践，自主探究与合作交流是学习数学动手实践，自主探究与合作交流是学习数学的重要方式的重要方式”。鉴于这一理论，我对教材稍作处理，把本节课。鉴于这一理论，我对教材稍作处理，把本节课的重难点设计在了一个个由浅入深、由特殊到一般的探究活动的重难点设计在了
20、一个个由浅入深、由特殊到一般的探究活动中，使得教学更有利于学生的认知规律。中，使得教学更有利于学生的认知规律。数学教学不仅要教给学生数学知识，而且还要揭示知识数学教学不仅要教给学生数学知识，而且还要揭示知识的产生发展过程，给学生充分的探究空间。本节课让学生充分的产生发展过程，给学生充分的探究空间。本节课让学生充分发挥独立思考和合作交流相结合的学习方法，让学生经历新知发挥独立思考和合作交流相结合的学习方法，让学生经历新知识的探求和发现过程。只有自己探索出来的才属于自己，印象识的探求和发现过程。只有自己探索出来的才属于自己，印象也最深刻，因此本节课真正把课堂还给了学生。也最深刻，因此本节课真正把课堂还给了学生。由于本节课学生参与时间较多，要求教师有正确的引导能由于本节课学生参与时间较多，要求教师有正确的引导能力和控制力，尊重学生个体差异，既要照顾少数思维活跃的学力和控制力，尊重学生个体差异，既要照顾少数思维活跃的学生，又要考虑大部分学生，做到张弛有度，调控得当。生，又要考虑大部分学生，做到张弛有度，调控得当。
