1、第二节三角形与全等三角形知识点一知识点一 三角形的概念三角形的概念 1 1三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形三角形有相接所组成的图形叫做三角形三角形有3 3条边、条边、3 3个顶个顶点和点和3 3个内角三角形具有稳定性个内角三角形具有稳定性2 2三角形的分类三角形的分类(1)(1)按角分：按角分：(2)(2)按边分：按边分：知识点二知识点二 三角形的边、角关系三角形的边、角关系1 1三角形的边的关系三角形的边的关系(1)(1)三角形两边的和三角形两边的和 _ _ 第三边第三边(2)(2)三角形两边的差三角形两边的差
2、 _ _ 第三边第三边 大于大于小于小于2 2三角形的角的关系三角形的角的关系(1)(1)三角形三个内角的和等于三角形三个内角的和等于 _；直角三角形的；直角三角形的两个锐角互余两个锐角互余(2)(2)三角形的外角和等于三角形的外角和等于 _(3)(3)三角形的外角三角形的外角 _ _ 与它不相邻的两个内角的和，与它不相邻的两个内角的和，三角形的外角三角形的外角 _ _ 任意一个和它不相邻的内角任意一个和它不相邻的内角180180360360等于等于大于大于知识点三知识点三 三角形中的重要线段三角形中的重要线段1 1三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边三角形的中线：在三角形中，连接一
3、个顶点与它对边 _ _ 的线段，叫做这个三角形的中线一个三角形有的线段，叫做这个三角形的中线一个三角形有3 3条中线，都在三角形的条中线，都在三角形的 _ _ 2 2三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线作垂线，顶点与垂足之间的 _ _ 叫做三角形的高一叫做三角形的高一个三角形有个三角形有3 3条高，可能在三角形内部，也可能在三角形条高，可能在三角形内部，也可能在三角形上，还可能在三角形的外部上，还可能在三角形的外部 中点中点内部内部线段线段3 3三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分三角形的角平分线：在
4、三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线一个三角形有三角形的角平分线一个三角形有3 3条角平分线，都在三角条角平分线，都在三角形的内部形的内部4 4三角形的中位线：连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线：连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线一个三角形有三角形的中位线一个三角形有3 3条中位线，都在三角形条中位线，都在三角形的内部三角形的中位线的内部三角形的中位线 _ _ 于第三边且等于第三边的于第三边且等于第三边的 _ _ 平行平行一半一半三角形的中线、高、角平分线、中位线都是线
5、段，注意三角形的中线、高、角平分线、中位线都是线段，注意区分三角形的角平分线与角的平分线的区别，前者是线区分三角形的角平分线与角的平分线的区别，前者是线段，后者是射线段，后者是射线知识点四知识点四 全等三角形全等三角形 1 1全等三角形的性质：全等三角形的全等三角形的性质：全等三角形的 _相等，相等，_相等全等三角形的对应线段相等全等三角形的对应线段(高、中线、角高、中线、角平分线平分线)、周长、面积分别对应、周长、面积分别对应 _ _ 对应边对应边对应角对应角相等相等2 2全等三角形的判定全等三角形的判定(1)(1)一般三角形全等的条件：一般三角形全等的条件：_，_，_，_ _(2)(2)直
6、角三角形全等的条件：除上述四种判别方法外，直角三角形全等的条件：除上述四种判别方法外，还有还有 _.SSSSSSA AS SA AS SA AS SAAAAS SHLHL证明三角形全等的一般思路如下：证明三角形全等的一般思路如下：考点一考点一 三角形的三边关系三角形的三边关系 (5(5年年2 2考考)(2013 (2013河北河北)如图如图1 1，M M是铁丝是铁丝ADAD的中点，将该铁丝的中点，将该铁丝首尾相接折成首尾相接折成ABCABC，且，且B B3030，C C100100，如图，如图2.2.则下列说法正确的是则下列说法正确的是()()A A点点M M在在ABAB上上B B点点M M在
7、在BCBC的中点处的中点处C C点点M M在在BCBC上，且距点上，且距点B B较近，距点较近，距点C C较远较远D D点点M M在在BCBC上，且距点上，且距点C C较近，距点较近，距点B B较远较远【分析分析】利用三角形中利用三角形中“大角对大边大角对大边”及三角形的三及三角形的三边关系解答即可边关系解答即可讲：忽略三角形三边关系的条件讲：忽略三角形三边关系的条件判断已知三条线段是否能够组成三角形，必须满足下列两判断已知三条线段是否能够组成三角形，必须满足下列两个条件之一：如果选最长边作为第三边，则需判断其余个条件之一：如果选最长边作为第三边，则需判断其余两边之和大于第三边；如果选最短边作
8、为第三边，则需两边之和大于第三边；如果选最短边作为第三边，则需判断其余两边之差小于第三边在解答此类问题时，容易判断其余两边之差小于第三边在解答此类问题时，容易忽略三边是否满足组成三角形的条件忽略三边是否满足组成三角形的条件练：链接变式训练练：链接变式训练2 21 1(2017(2017淮安淮安)若一个三角形的两边长分别为若一个三角形的两边长分别为5 5和和8 8，则第三边长可能是则第三边长可能是()()A A14 B14 B10 10 C C3 D3 D2 2B B2 2(2017(2017张掖张掖)已知已知a a，b b，c c是是ABCABC的三条边长，的三条边长，化简化简|a|ab bc
9、|c|c|ca ab|b|的结果为的结果为()()A A2 2a a2 2b b2 2c c B B2 2a a2 2b b C C2 2c c D D0 0D D考点二考点二 三角形的内角和定理及其推论三角形的内角和定理及其推论 (5(5年年3 3考考)命题角度命题角度三角形的内角和定理三角形的内角和定理 (2013(2013河北河北)一个正方形和两个等边三角形的位置一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若如图所示，若3 35050，则，则1 12 2()()A A9090 B B100100 C C130130 D D180180【分析分析】设围成的小三角形为设围成的小三角形为ABCA
10、BC，分别用，分别用1 1，2 2，3 3表示出表示出ABCABC的三个内角，再利用三角形的内的三个内角，再利用三角形的内角和等于角和等于180180列式整理即可得解列式整理即可得解【自主解答自主解答】如图，如图，BACBAC18018090901 190901 1，ABCABC18018060603 31201203 3，ACBACB18018060602 21201202.2.在在ABCABC中，中，BACBACABCABCACBACB180180，90901 11201203 31201202 2180180，1 12 21501503.3.335050，1 12 21501505050
11、100100.故选故选B.B.求与三角形有关的角度时，常利用三角形的内角和定理求与三角形有关的角度时，常利用三角形的内角和定理建立已知角与所求的角之间的数量关系，然后进行求解建立已知角与所求的角之间的数量关系，然后进行求解即可即可3 3(2017(2017长春长春)如图，在如图，在ABCABC中，点中，点D D在在ABAB上，点上，点E E在在ACAC上，上，DEBC.DEBC.若若A A6262，AEDAED5454，则，则B B的大的大小为小为()()A A5454 B B6262 C C6464 D D7474C C4 4(2016(2016大庆大庆)如图，在如图，在ABCABC中，中，
12、A A4040，D D点是点是ABCABC和和ACBACB角平分线的交点，则角平分线的交点，则BDCBDC _110110命题角度命题角度三角形的外角三角形的外角 (2014(2014河北河北)如图，平面上直线如图，平面上直线a a，b b分别过线段分别过线段OKOK两端点两端点(数据如图数据如图)，则，则a a，b b相交所成的锐角是相交所成的锐角是()()A A2020 B B3030 C C7070 D D8080【分析分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，列式计算即可得解两个内角的和，列式计算即可得解【自主解答自主解答】根据外角性质
13、，根据外角性质，a a，b b相交所成的锐相交所成的锐角是角是10010070703030.故选故选B.B.求角度时，要熟练掌握三角形外角性质：三角形的一个求角度时，要熟练掌握三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和外角等于与它不相邻的两个内角的和5 5(2017(2017张家口一模张家口一模)已知两个三角板按如图方式叠已知两个三角板按如图方式叠放，则放，则1 1()()A A3030 B B4545 C C6060 D D7575D D6 6(2017(2017长安区一模长安区一模)如图，已知直线如图，已知直线abab，则则1 12 23 3()()A A180180 B
14、 B150150 C C135135 D D9090A A考点三考点三 三角形中的重要线段三角形中的重要线段 (5(5年年3 3考考)(2017 (2017河北河北)如图，如图，A A，B B两点被池塘隔开，不能直接两点被池塘隔开，不能直接测量其距离于是，小明在岸边选一点测量其距离于是，小明在岸边选一点C C，连接，连接CACA，CBCB，分，分别延长到点别延长到点M M，N N，使，使AMAMACAC，BNBNBCBC，测得，测得MNMN200 200 m m，则，则A A，B B间的距离为间的距离为 m m.【分析分析】利用三角形的中位线定理计算即可利用三角形的中位线定理计算即可三角形的中
15、位线定理中，既涉及位置关系三角形的中位线定理中，既涉及位置关系平行，又平行，又涉及数量关系涉及数量关系倍分当图形中出现多个线段中点时，倍分当图形中出现多个线段中点时，往往连接两个中点构建三角形的中位线往往连接两个中点构建三角形的中位线7 7(2014(2014河北河北)如图，如图，ABCABC中，中，D D，E E分别是边分别是边ABAB，ACAC的中点若的中点若DEDE2 2，则，则BCBC()()A A2 B2 B3 C3 C4 D4 D5 5C C8 8(2015(2015河北河北)如图，点如图，点A A，B B为定点，定直线为定点，定直线lABAB，P P是是l上一动点，点上一动点，点
16、M M，N N分别为分别为PAPA，PBPB的中点，对于的中点，对于下列各值：线段下列各值：线段MNMN的长；的长；PABPAB的周长；的周长；PMNPMN的面积；直线的面积；直线MNMN，ABAB之间的距离；之间的距离；APBAPB的大小的大小其中会随点其中会随点P P的移动而变化的是的移动而变化的是()()A A B B C C D DB B考点四考点四 全等三角形的性质与判定全等三角形的性质与判定 (5(5年年5 5考考)(2016 (2016河北河北)如图，点如图，点B B，F F，C C，E E在直线在直线l l上上(F(F，C C之间不能直接测量之间不能直接测量)，点，点A A，D
17、 D在在l l异侧，测得异侧，测得ABABDEDE，ACACDFDF，BFBFEC.EC.(1)(1)求证：求证：ABCABCDEFDEF；(2)(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由指出图中所有平行的线段，并说明理由 【分析分析】(1)(1)先证明先证明BCBCEFEF，再利用判定定理，再利用判定定理SSSSSS即可即可证明全等；证明全等；(2)(2)首先根据全等三角形的性质得出角相等，首先根据全等三角形的性质得出角相等，然后证明对应线段平行即可然后证明对应线段平行即可讲：应用全等三角形性质与判定的误区讲：应用全等三角形性质与判定的误区 在解答与全等三角形的性质与判定有关的问题时，注在解答
18、与全等三角形的性质与判定有关的问题时，注意以下两点：意以下两点：(1)(1)在判定两个三角形全等或应用其性质时，在判定两个三角形全等或应用其性质时，要找对对应边、对应角；要找对对应边、对应角；(2)(2)当两个三角形具备当两个三角形具备“SSSSA”A”条条件时，两个三角形不一定全等件时，两个三角形不一定全等练：链接变式训练练：链接变式训练10109 9(2017(2017邯郸一模邯郸一模)如图，如图，ABCABC和和EFCEFC都是等腰直都是等腰直角三角形，角三角形，ACBACBECFECF9090，点，点E E在在ABAB边上边上(1)(1)求证：求证：ACEACEBCFBCF；(2)(2
19、)若若BFEBFE6060，求，求AECAEC的度数的度数(1)(1)证明：证明：ACBACBECFECF9090，ACEACEBCF.BCF.CACACBCB，CECECFCF，ACEACEBCF.BCF.(2)(2)解：解：EFCEFC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，EFCEFC4545.BFEBFE6060，BFCBFC105105.又又ACEACEBCFBCF，AECAECBFCBFC105105.1010(2017(2017长安区二模长安区二模)如图，在正方形如图，在正方形ABCDABCD中，点中，点E E在在边边CDCD上，连接上，连接BEBE，AQBEAQBE于点于点Q Q，
20、DPAQDPAQ于点于点P.P.(1)(1)求证：求证：APAPBQBQ；(2)(2)图中，除了图中，除了AQAQAPAPPQPQ外，请你再写出三对线段，使外，请你再写出三对线段，使得每对线段长度的差都等于线段得每对线段长度的差都等于线段PQPQ的长，将满足要求的线的长，将满足要求的线段填在下面的横线上段填在下面的横线上(不添加辅助线不添加辅助线)：PQPQ；PQPQ；PQ.PQ.(1)(1)证明：证明：四边形四边形ABCDABCD是正方形，是正方形，ABABDADA，BADBAD9090，BAQBAQDAPDAP9090.DPAQDPAQ，AQBEAQBE，BQABQAAPDAPD9090.ADPADPDAPDAP9090，ADPADPBAQ.BAQ.ABQABQDAPDAP，APAPBQ.BQ.(2)(2)解：由解：由(1)(1)知知ABQABQDAPDAP，AQAQDPDP，APAPBQ.BQ.AQAQAPAPPQPQ，DPDPAPAPPQPQ，DPDPBQBQPQPQ，AQAQBQBQPQ.PQ.
