1、1)1)、相似三角形相似三角形对应角相等，对应边成比例对应角相等，对应边成比例2)2)、相似三角形相似三角形对应角平分线、对应中线、对应角平分线、对应中线、对应高线、对应周长的比都等于相似比。对应高线、对应周长的比都等于相似比。3)3)、相似三角形面积的比等于相似比的平方。、相似三角形面积的比等于相似比的平方。1、相似三角形的性质：、相似三角形的性质：.地图上的地图上的1cm面积表示实际面积表示实际00m的面积，则该地图的比的面积，则该地图的比例尺是例尺是_.两个相似三角形的面积比为两个相似三角形的面积比为m,周长比为周长比为2,则则m=_.4.边长为边长为2的正三角形被平行一边的直线分成等积
2、的两部分的正三角形被平行一边的直线分成等积的两部分,其中一部分是梯形其中一部分是梯形,则这个梯形的上底长为则这个梯形的上底长为_.1.地图上的地图上的1cm的长度表示实际长度的长度表示实际长度00m，则该地图，则该地图的比例尺是的比例尺是_.：2BABDABCBDESS5.5.如图如图(1)(1)，在，在ABCABC中，中，DEACDEAC，BD=10BD=10，DA=15DA=15，BE=8BE=8，则，则EC=.B BD DE EC CA A6.6.如图如图(2),(2),已知已知 1=1=2,2,若再增加一个条件就若再增加一个条件就能使结论能使结论“ADEADEABCABC”成立成立,则
3、这条件可以是则这条件可以是(1)(1)A AD DB BE E(2)(2)C C1 12 25225412 D=B D=B或或 AED=ACB AED=ACB或或AD:AB=AE:ACAD:AB=AE:AC 7 7、如图（），、如图（），中，中，则，则:四边形四边形:四边形四边形=_=_答案：答案：例例1 如图，如图，ABC中，中，FM AB，EH BC，DGAC，AD:DE:EB=3:2:1,求求 的值。的值。PGFPDEHMPSSS:易证，易证，HMPPDEPDEGPFGPF，得，得 CHPGMFADEBPGFPDEHMPSSS:1:4:9:222EBDEAD1.1.如图，如图，ADE A
4、DE ACB,ACB,则则DE:BC=_ DE:BC=_。2.2.如图，如图，D D是是ABCABC的边的边BCBC 上一点，连接上一点，连接AD,AD,使使 ABC ABC DBADBA的条件是的条件是（）.A.AC:BC=AD:BD A.AC:BC=AD:BD B.AC:BC=AB:AD B.AC:BC=AB:AD C.AB C.AB2 2=CD=CDBCBC D.AB D.AB2 2=BD=BDBCBCDACBACBDE27331:31:3D D小练习：小练习：练习题：练习题：1.1.如图，如图，ABCDABCD，AO=OBAO=OB，DF=FBDF=FB，DFDF交交ACAC于于E E
5、，求证：求证：EDED2 2=EO=EO EC.EC.ABCDEFO证明：证明：AO=BO，DF=BF A=B，B=ODE ABCD C=A=B=ODE DEO=CED EDOECD EO：ED=ED：EC 即即 ED2=EO EC 解:AED=B,A=A AED ABC（两角对 应相等，两三角形相似）ADAC=DEBC ABCDE2.ABC中，中，D、E分别是分别是AB、AC上的点，上的点，且且AED=B，那么，那么 AED ABC，从而从而 AD()=DEBC 解解:D、E分别为分别为AB、AC的中点的中点 DEBC，且，且 ADEABC 即即ADE与与ABC的相似比为的相似比为1:2 A
6、DAB=AEAC=12 ABCDE3、ABC中，中，AB的中点为的中点为D，AC的中点为的中点为E，连结，连结DE，则则 ADE与与 ABC的相似比为的相似比为_4.解解:DEBC ADEABC AD:DB=2:3 DB:AD=3:2 (DB+AD):AD=(2+3):3 即即 AB:AD=5:2 AD:AB=2:5 即即ADE与与ABC的相似比为的相似比为2:5 ABCDE如图，如图，DEBC,AD:DB=2:3,则则 AED和和 ABC 的相似比为的相似比为.5.已知三角形甲各边的比为已知三角形甲各边的比为3:4:6，和它相似的三角形乙和它相似的三角形乙 的最大边为的最大边为10cm，则三
7、角形乙的最短边为则三角形乙的最短边为_cm.DEFABC解解:设三角形甲为设三角形甲为ABC，三角，三角形乙为形乙为 DEF，且，且DEF的最大的最大边为边为DE，最短边为，最短边为EF DEFABC DE:EF=6:3即即 10:EF=6:3 EF=5cm6、等腰三角形、等腰三角形ABC的腰长为的腰长为18cm，底边长为，底边长为6cm,在在 腰腰AC上取点上取点D,使使ABC BDC,则则DC=_.ABCD解解:ABC BDC 即即 DC=2cm186=6DC A CB C=B CD C 7.D、E分别为分别为ABC 的的AB、AC上的点，上的点，DEBC，DCB=A，把每两个相似的三角形
8、称为一组，把每两个相似的三角形称为一组，那么图中共有相似三角形那么图中共有相似三角形_组。组。ABEDC解解:DEBC ADE=B,EDC=DCB=A DEBC ADE ABC A=DCB,ADE=B ADE CBD ADE ABC ADE CBD ABC CBD DCA=DCE,A=EDC ADC DEC8.D为为ABC中中AB边上一点，边上一点，ACD=ABC.求证：求证：AC2=ADABABCD分析分析:要证明要证明AC2=ADAB，需，需要先将乘积式改写为比例要先将乘积式改写为比例式式 ，再证明，再证明AC、AD、AB所在的两个三角形相所在的两个三角形相似。由已知两个三角形有二个似。由
9、已知两个三角形有二个角对应相等，所以两三角形相角对应相等，所以两三角形相似，本题可证。似，本题可证。ACAD=ABAC 证明证明:ACD=ABC A=A ABC ACD AC2=ADABACAD=ABAC 9.ABC中，中，BAC是直角，过斜边中点是直角，过斜边中点M而垂直于而垂直于 斜边斜边BC的直线交的直线交CA的延长线于的延长线于E，交交AB于于D，连，连AM.求证：求证：MAD MEA AM2=MD MEABCDEM分析：分析：已知中与线段有关的条件仅有已知中与线段有关的条件仅有AM=BC/2=BM=MC,所以首先考虑用所以首先考虑用两个角对应相等去判定两个三角形相两个角对应相等去判定
10、两个三角形相似。似。AM是是 MAD 与与 MEA 的公共的公共边，故是对应边边，故是对应边MD、ME的比例中项。的比例中项。证明：证明：BAC=90 M为斜边为斜边BC中点中点 AM=BM=BC/2 B=MAD又又 B+BDM=90 E+ADE=90 BDM=ADEB=EMAD=E又又 DMA=AMEMAD MEA MAD MEA 即即AM2=MDMEAMMD=MEAM 10.过ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边BC、边DC的延长线于E、F、G.求证：EA2=EF EG.ABCDEFG 分析：分析：要证明要证明 EA2=EF EG，即即 证明证明 成成立，而立，而EA、EG、E
11、F三三条线段在同一直线上，条线段在同一直线上，无法构成两个三角形，无法构成两个三角形，此时应采用换线段、换此时应采用换线段、换比例的方法。可证明：比例的方法。可证明：AEDFEB，AEB GED.EAEG=EFEA 证明：证明：ADBF ABBC AED FEB AEB GEDEAEG=ABDG EFEA=BEED=ABDG EAEG=EFEA 11.ABC为锐角三角形，BD、CE为高.求证：ADE ABC（用两种方法证明）.证明一：证明一：BDAC，CEAB ABD+A=90，ACE+A=90 ABD=ACE 又又 A=A ABD ACE A=A ADE ABC ADAE=ABAC 证明二：
12、证明二：BEO=CDO BOE=COD BOE COD 即即 又又 BOC=EOD BOC EOD 1=2 1+BCD=90，2+3=90 BCD=3 又又 A=A ADE ABCODOEOCOBODOCOEOB1O23ABCDE1.已知：如图，已知：如图，ABC中，中，P是是AB边上的一点，连边上的一点，连结结CP满足什么条件时满足什么条件时 ACPABC 解解:A=A，当当1=ACB（或（或2=B）时，时，ACPABC A=A，当当AC:APAB:AC时，时，ACPABC A=A，当当4ACB180时，时，ACPABC答：当答：当1=ACB 或或2=B 或或AC:APAB:AC或或4ACB
13、180时时,ACPABC.APBC1241、条件探索型、条件探索型2.如图：已知如图：已知ABCCDB90，ACa，BC=b，当，当BD与与a、b之间满足怎样的关系式时，之间满足怎样的关系式时，两三角形相似两三角形相似DABCab解解:1D90当当 时，即当时，即当 时，时，ABC CDB,1D90当当 时，即当时，即当 时，时，ABC BDC，答：略答：略.BDBCBCACBDbbaBDABBCACBDbaba22abBD2ababBD22 这类题型结论是明确的，而需要完备使这类题型结论是明确的，而需要完备使结论成立的条件结论成立的条件解题思路是：从给定结论解题思路是：从给定结论出发，通过逆
14、向思考寻求使结论成立的条出发，通过逆向思考寻求使结论成立的条件件 1.将两块全等的等腰三角形模板摆成如图的样子，假设将两块全等的等腰三角形模板摆成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，则图中有相似图形中的所有点、线都在同一平面内，则图中有相似（不包括全等）三角形吗？如有，把它们一（不包括全等）三角形吗？如有，把它们一 一写出来一写出来.C解：有相似三角形，它们是：解：有相似三角形，它们是：ADE BAE,BAE CDA，ADE CDA（ADE BAE CDA）2、结论探索型、结论探索型ABDEGF22.在在ABC中，中，ABAC，过，过AB上一点上一点D作直线作直线DE交另一边于交
15、另一边于E，使所得三角形与原三角形相，使所得三角形与原三角形相似，画出满足条件的图形似，画出满足条件的图形.EDABCDABCDABCDABCEEE这类题型的特征是有条件而无结论，要确定这类题型的特征是有条件而无结论，要确定这些条件下可能出现的结论这些条件下可能出现的结论解题思路是：从所解题思路是：从所给条件出发，通过分析、比较、猜想、寻求多种给条件出发，通过分析、比较、猜想、寻求多种解法和结论，再进行证明解法和结论，再进行证明.3、存在探索型、存在探索型 1、如图如图,DE是是RtABC的中位线，在射线的中位线，在射线AF上是上是否存在点否存在点M，使，使MEC与与ADE相似相似,若存在若存
16、在,请先确请先确定点定点 M,再证明这两个三角形相似，若不存在，请说明再证明这两个三角形相似，若不存在，请说明理由理由.ADBCEF证明：连结证明：连结MC，DE是是ABC的中位线，的中位线，DEBC，AEEC，又又MEAC,AMCM，1=2，B=90，4 B=90，AF BC，AM DE,1=2，3=2,ADE MEC=90 ，ADE MECADBCEF123M解解:存在存在.过点过点E作作AC的垂线的垂线,与与AF交于一点交于一点,即即M点点(或作或作MCA=AED).4例例2、如图，已知：、如图，已知：ABDB于点于点B，CDDB于于点点D，AB=6，CD=4，BD=14.问：在问：在D
17、B上是否存在上是否存在P点，使以点，使以C、D、P为顶点为顶点的三角形与以的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似？如为顶点的三角形相似？如果存在，计算出点果存在，计算出点P的位置；如果不存在，请说的位置；如果不存在，请说明理由。明理由。4614ADCB解解（1）假设存在这样的点）假设存在这样的点P，使，使ABPCDP 设设PD=x，则，则PB=14x，6：4=（14x）:x则有则有AB:CD=PB:PDx=5.6P6x14x4ADCBP（2）假设存在这样的点）假设存在这样的点P,使使ABPPDC,则则则有则有AB:PD=PB:CD设设PD=x，则，则PB=14x，6：x=（14x）:4x=2
18、或或x=12x=2或或x=12或或x=5.6时，以时，以C、D、P为顶点的三为顶点的三角形与以角形与以P、B、A为顶点的三角形相似为顶点的三角形相似46x14xDBCAp所谓存在性问题，一般是要求所谓存在性问题，一般是要求确定满足某些特定要求的元素有或确定满足某些特定要求的元素有或没有的问题没有的问题解题思路是：先假定解题思路是：先假定所需探索的对象存在或结论成立，所需探索的对象存在或结论成立，以此为依据进行计算或推理，若由以此为依据进行计算或推理，若由此推出矛盾，则假定是错误的，从此推出矛盾，则假定是错误的，从而给出否定的结论，否则给出肯定而给出否定的结论，否则给出肯定的证明的证明 Q8 如
19、图，在矩形如图，在矩形ABCDABCD中，中，AB=6AB=6米，米，BC=8BC=8米，动点米，动点P P以以2 2米米/秒的秒的速度从点速度从点A A出发，沿出发，沿ACAC向点向点C C移动，同时动点移动，同时动点Q Q以以1 1米米/秒的速度秒的速度从点从点C C出发，沿出发，沿CBCB向点向点B B移动，设移动，设P P、Q Q两点移动两点移动t t秒（秒（0t5)0t5)后后,四边形四边形ABQPABQP的面积为的面积为S S平方米。平方米。求出面积求出面积S S与时间与时间t t的关系式及自变量的关系式及自变量t t的取值范围的取值范围;B BCDPA6H探究探究:在在P P、Q
20、 Q两点移动的过程中，四边形两点移动的过程中，四边形ABQPABQP与与CPQCPQ的面积能否相等？若能，求出此时点的面积能否相等？若能，求出此时点P P的位置；的位置；若不能，请说明理由。若不能，请说明理由。QBACPDH1、在在ABC中，中，AB=8cm,BC=16cm,点点P从点从点A开始沿开始沿AB边向边向B点以点以2cm/秒的速度移动，点秒的速度移动，点Q从点从点B开始沿开始沿BC向点向点C以以4cm/秒的速度移动，如果秒的速度移动，如果P、Q分别从分别从A、B同时出发，同时出发，经几秒钟经几秒钟BPQ与与BAC相似？相似？分析：分析：由于由于PBQ与与ABC有公共角有公共角B；所以；所以若若PBQ与与ABC相似，则有两种可能一种情况相似，则有两种可能一种情况为为 ,即即PQAC;另一种情况为另一种情况为 CBQBABPBABQBCBPBB BC CA AQ QP P8162cm/秒秒4cm/秒秒ABEBEEFADEABCD求证：，的中点，是中，如图，正方形.2EBFABCDFE三、位似三、位似 两个多边形不仅相似，而且对应顶点的两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的相似叫做连线相交于一点，这样的相似叫做位似位似,点点O叫做叫做位似中心位似中心利用位似的方法，可以把一个多边形利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小放大或缩小
