1、 导数导数导数概念导数概念导数运算导数运算导数应用导数应用 函数的瞬时变化率函数的瞬时变化率 运动的瞬时速度运动的瞬时速度 曲线的切线斜率曲线的切线斜率 基本初等函数求导基本初等函数求导 导数的四则运算法则导数的四则运算法则简单复合函数的导数简单复合函数的导数 函数单调性研究函数单调性研究 函数的极值、最值函数的极值、最值 曲线的切线曲线的切线 变速运动的速度变速运动的速度 最优化问题最优化问题第一章第一章 导数及其应用复习导数及其应用复习本章知识结构本章知识结构1.函数的平均变化率函数的平均变化率yx121)()f xxx2f(x函数函数y=f(x)y=f(x)的定义域为的定义域为D,xD,
2、x1.1.x x2 2D,f(x)D,f(x)从从x x1 1到到x x2 2平均变化率为平均变化率为:(:(2.函数的瞬时变化率函数的瞬时变化率OABxyY=f(x)x1x2f(x1)f(x2)x2-x1=xf(x2)-f(x1)=y()lim()f xfxx0 x 121)()limf xxx2f(x21xx()limf xx0 x 导数导数分母是分子中两分母是分子中两个自变量的差个自变量的差.12212121-21212121,2-21-)21(:0000k000k000 x0limlimlimxfkxfkxfkxfkxfkxkxfkxfxf解 _21,210000limkxfkxfxf
3、k求已知例可将分母的系数直可将分母的系数直接乘过去接乘过去 000k0:12,_2limf xkf xfxk练习若则 _2,420000limhhxfxfxfh则若 20000limkxfkxfxfk-12 40000limhhxfxfxfh3.导数的概念：导数的概念：1导数的定义导数的定义：对函数对函数y=f(x)，在点，在点x=x0处给自变量处给自变量x以增量以增量x，函数，函数y相应有增量相应有增量y=f(x0+x)f(x0)，若极限若极限 存在，则此极限称为存在，则此极限称为f(x)在点在点x=x0处的导数，记为处的导数，记为f/(x0)，或，或y|0000()()limlimxxf
4、xxf xyxx 0 x x 2导数的几何意义导数的几何意义：函数函数y=f(x)在点在点x0处的导数处的导数f/(x0)就是曲线在就是曲线在(x0，f(x0)处的切处的切线的斜率，所以曲线线的斜率，所以曲线 yf(x)在点在点 P(x0，f(x0)处的切线方程为处的切线方程为 y y0=f/(x0)(xx0)3导数的物理意义导数的物理意义：物体作直线运动时，路程：物体作直线运动时，路程s关于时间关于时间t的函数为：的函数为：s=s(t)，那么瞬时速度，那么瞬时速度 v 就是路程就是路程 s 对于时间对于时间t的导数，的导数，即即v(t)=s/(t).加速度加速度a=v/(t),加速度加速度a
5、=s/(t)例例2已经曲线已经曲线C：y=x3x+2和点和点A(1,2)求在点求在点A处的切线方程？处的切线方程？解：解：f/(x)=3x21，k=f/(1)=2 所求的切线方程为：所求的切线方程为：y2=2(x1),即即 y=2x变式：变式：求过点求过点A的切线方程？的切线方程？例例2已经曲线已经曲线C：y=x3x+2和点和点(1,2),求在点求在点A处处的切线方程？的切线方程？解：设切点为解：设切点为P（x0，x03x0+2），），切线方程为切线方程为 y y(x03x0+2)=(3 x02 21 1)(x xx0)21又又切线过点切线过点A(1,2)2 2(x03x0+2)=(3 x02
6、 21 1)(1x0)化简得化简得(x0 01)1)2 2(2(2 x0+1)=0，2114当当x0=1时，所求的切线方程为：时，所求的切线方程为：y y2=2(x x1),即即y=2x 解得解得x0=1或或x0=k=f/(x0)=3 x021，当当x0=时，所求的切线方程为：时，所求的切线方程为：y2=(x1),即即x+4y9=0点评点评:在在A点的切线点的切线,A为切点为切点 过过A 点的切线点的切线,A可能是切点也可能不是切点可能是切点也可能不是切点,求过求过A点的切线时点的切线时,先设出切点先设出切点,再利用导数求切线再利用导数求切线所求曲线的切线方程为所求曲线的切线方程为y=2x与与
7、xy41 23023263230,026323263,23,0030300020020300020020300200020300 xxxxxxxxxxxxxxxxxyxxxfkxxxxA或过切线为设切点为（4）对数函数的导数）对数函数的导数:.1)(ln)1(xx .ln1)(log)2(axxa（5）指数函数的导数）指数函数的导数:.)()1(xxee ).1,0(ln)()2(aaaaaxx xxcos)(sin1）（3）三角函数）三角函数：xxsin)(cos2）（1）常函数：）常函数：(C)/0,(c为常数为常数)；（2）幂函数）幂函数：(xn)/nxn 14公式公式.基本初等函数的导
8、数公式基本初等函数的导数公式乘以乘以lna(3)(tanx)/=?_)(_,)3(_)(_)(:3xxaxax例与易混的是 2111xx 122xx常用的还有常用的还有:axlnaaxa-13xln33x2.导数的运算导数的运算法则法则（1）函数的和或差的导数）函数的和或差的导数 (uv)/u/v/.（3）函数的商的导数）函数的商的导数 （）/=(v0)。uv2u vuvv（2）函数的积的导数）函数的积的导数 (uv)/u/v+uv/.xgvxfu,特例特例:(Cu)/=Cu/(C为常数为常数)1)1)如果恒有如果恒有 f(x)0f(x)0，那么，那么 y=fy=f（x)x)在这个区间（在这个区间（a,b)a,b)内单调递增；内单调递增；2)2)如果恒有如果恒有 f(x)0f(x)0y=f(x)xoyabf(x)()0只是函数只是函数f(x)在该区间在该区间 上为增上为增(减减)函数的函数的充分不必要条件充分不必要条件.2.若函数若函数f(x)在开区间在开区间(a,b)上具有单调性上具有单调性.则当函数则当函数f(x)时在闭区时在闭区间间a,b上连续上连续,那么单调区间可以扩大到闭区间那么单调区间可以扩大到闭区间a,b上上.
