1、第3章 圆的基本性质复习课本章主要知识内容本章主要知识内容圆圆3.1圆的有关概念圆的有关概念3.2图形的旋图形的旋转转3.3垂径定垂径定理理3.4圆心角圆心角3.5圆周角圆周角3.6圆内接四边形圆内接四边形3.7正多边形正多边形3.8弧长及扇形的面积弧长及扇形的面积3.1 圆的有关概念圆的有关概念注意注意“弦弦”与与“弧弧”之间的区别之间的区别.1.圆：在同一平面内，线段圆：在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点绕它固定的一个端点O旋转旋转 一周，另一端点一周，另一端点P所经过的所经过的封闭曲线封闭曲线叫做圆，定点叫做圆，定点O叫做叫做 圆心圆心，线段，线段OP叫做圆的叫做圆的半径半径.圆心
2、确定圆心确定圆的位置圆的位置，半径确定，半径确定圆的大小圆的大小.2.弦、直径：连结圆上任意两点的线段叫做弦、直径：连结圆上任意两点的线段叫做弦弦，经过圆心的弦叫做经过圆心的弦叫做直径直径.直经是同圆直经是同圆 中中最长的弦最长的弦，直径等于半径的，直径等于半径的2倍倍.3.弧、半圆：圆上任意两点间的部分叫做弧、半圆：圆上任意两点间的部分叫做圆弧圆弧，简称弧，简称弧，圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条 弧都叫做弧都叫做半圆半圆.6.点与圆的位置关系：点与圆的位置关系：如果用如果用r表示圆的半径，表示圆的半径，d表示同一平面内点到圆心的距
3、离，表示同一平面内点到圆心的距离，则有：则有：dr点在圆外点在圆外dr点在圆上点在圆上dr点在圆内点在圆内如图，点如图，点P1在在 O外；点外；点P2在在 O上；点上；点P3在在 O内内.4.劣弧、优弧：劣弧、优弧：小于半圆小于半圆的弧叫做劣弧，的弧叫做劣弧，大于半圆大于半圆的弧的弧 叫做优弧，叫做优弧，注意注意优弧要用三字母表示优弧要用三字母表示.5.等圆、等弧：等圆、等弧：半径相等半径相等的两个圆叫做等圆；能够的两个圆叫做等圆；能够重合重合的的 圆弧叫做等弧圆弧叫做等弧.8.三角形与圆的位置关系：三角形与圆的位置关系：(2)三角形的外心三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点是三角形三
4、条边的垂直平分线的交点.ABC是是 O的内接三角形；的内接三角形；如图：如图：O是是ABC的外接圆；的外接圆；点点O是是ABC的外心的外心.7.圆的确定：不在同一条直线上的三点确定一个圆圆的确定：不在同一条直线上的三点确定一个圆.(1)经过三角形各个顶点的圆叫做经过三角形各个顶点的圆叫做三角形的外接圆三角形的外接圆，这个，这个 外接圆的圆心叫做外接圆的圆心叫做三角形的外心三角形的外心，三角形叫做，三角形叫做圆的内圆的内 接三角形接三角形.C1.下列说法中，正确的是（下列说法中，正确的是（）A.三点确定一个圆三点确定一个圆D.三角形的外心到三角形的三边距离相等三角形的外心到三角形的三边距离相等C
5、.任意一个三角形只有一个外接圆任意一个三角形只有一个外接圆B.长度相等的弧是等弧长度相等的弧是等弧2.给出下列四个说法：半径确定了，圆就确定了；直给出下列四个说法：半径确定了，圆就确定了；直 径是弦；弦是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆径是弦；弦是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆.其中错误说法的个数是（其中错误说法的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4B3.(2015湘西州湘西州)O的半径为的半径为5，点，点A到圆心到圆心O的距离的距离OA=3cm，则点，则点A与圆与圆O的位置关系为（的位置关系为（）A.点点A在圆上在圆上 B.点点A在圆内在圆内 C.点点A在圆外在圆外 D.无法确定无法确
6、定4.点点P到到 O各点的最大距离为各点的最大距离为5，最小距离为，最小距离为1，则，则 O的的 半径为（半径为（）A.2 B.4 C.2或或3 D.4或或6C5.(2015贵满仓贵满仓)如图，已知如图，已知P是是 O外一点，外一点，Q是是 O上的动上的动 点，线段点，线段PQ的中点为的中点为M，连接，连接OP，OM.若若 O的半径为的半径为2，OP=4，则线段，则线段OM的最小值是（的最小值是（）A.0 B.1C.2 D.3BB3.2 图形的旋转图形的旋转1.旋转：旋转：一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程 中，原图形上的所有点都绕一个固定
7、的点，按同一个方中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方 向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转图形的旋转，这个固定的点叫做这个固定的点叫做旋转中心旋转中心.(1)图形经过旋转所得的图形经过旋转所得的 图形和原图形全等；图形和原图形全等；2.图形旋转的性质：图形旋转的性质：(2)对应点到旋转中心的对应点到旋转中心的 距离相等，任何一对距离相等，任何一对 对应点与旋转中心连对应点与旋转中心连 线所成的角度等于旋线所成的角度等于旋 转的角度转的角度.3.中心对称：中心对称：当图形旋转的角度为当图形旋转的角度为180时时.所得的图形和原所得的图
8、形和原 图形关于旋转中心对称图形关于旋转中心对称.4.圆不仅是圆不仅是轴对称图形轴对称图形，还是，还是中心对称图形中心对称图形，它具有，它具有旋转旋转 不变性不变性.1.下列图形中，旋转下列图形中，旋转120后能与原图形重合的是（后能与原图形重合的是（）A.等边三角形等边三角形 B.正方形正方形 C.正五边形正五边形 D.正八边形正八边形A2.(2015贺州贺州)如图，如图，ODC是由是由OAB绕点绕点O顺时针旋转顺时针旋转31后得到的图形，若点后得到的图形，若点D恰好落在恰好落在AB上，且上，且AOC的度数为的度数为100，则，则DOB的度数是（的度数是（）A.34 B.36C.38 D.4
9、0C3.下列说法中错误的是（下列说法中错误的是（）A.成中心对称的两个图形全等成中心对称的两个图形全等B.成中心对称的两个图形中，对称点的连线被对称轴平分成中心对称的两个图形中，对称点的连线被对称轴平分C.中心对称图形的对称中心是对称点连线的中心中心对称图形的对称中心是对称点连线的中心D.中心对称图形绕对称中心旋转中心对称图形绕对称中心旋转180后，都能与自身重合后，都能与自身重合B4.(2015南通南通)下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形 的是（的是（）A.B.C.D.A3.3 垂径定理垂径定理1.垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦所对
10、的弧垂直于弦的直径平分这条弦所对的弧.2.推论推论1：平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的弧对的弧.推论推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.3.弧的中点：弧的中点：分一条弧成相等的两条弧的点分一条弧成相等的两条弧的点.4.弦心距：弦心距：圆心到圆的一条弦的距离圆心到圆的一条弦的距离.1.(2015遂宁遂宁)如图，在半径为如图，在半径为5cm的的 O中，弦中，弦 AB=6cm，OCAB于点于点C，则，则OC=（）A.3cm B.4cm C.5cm D.6cmB2.(2015大庆大庆)在在 O中，圆心中，圆
11、心O到弦到弦AB的距离的距离 为为AB长度的一半，则弦所对圆心角的大小长度的一半，则弦所对圆心角的大小 为（为（）A.30 B.45 C.60 D.90D3.(2015广元广元)如图，已知如图，已知 O的直径的直径ABCD于点于点E，则，则 下列结论错误的是（下列结论错误的是（）A.CE=DE B.AE=OE C.D.OCE ODEBCBD B4.如图，如图，AB为半圆直径，为半圆直径，O为圆心，为圆心，C为半圆上一点，为半圆上一点，E是是 弧弧AC的中点，的中点，OE交弦交弦AC于点于点D，若，若AC=8cm，DE=2cm，求求OD的长的长.解：解：E为弧为弧AC的中点，的中点，OEAC，1
12、42ADACcmOD=OEDE=(OE2)cm，OA=OE，在在RtOAD中，中，OA2=OD2+AD2，即即OA2=(OE2)242，又知又知OA=OE，解得：，解得：OE=5，OD=OEDE=3cm.3.4 圆心角圆心角1.圆心角：圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角顶点在圆心的角叫做圆心角.2.圆心角定理：圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 相等，所对的弦也相等相等，所对的弦也相等.3.推论：推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所两条弦、两个弦心距中有
13、一对量相等，那么它们所 对应的其余各对量都相等对应的其余各对量都相等.1.在同圆或等圆中，下列说法错误的是（在同圆或等圆中，下列说法错误的是（）C.相等的圆心角所对的弧相等相等的圆心角所对的弧相等B.相等的弦所对的圆心角相等相等的弦所对的圆心角相等A.相等的弦所对的弧相等相等的弦所对的弧相等D.相等的圆心角所对的弦相等相等的圆心角所对的弦相等A.54 B.60C.64 D.682.如图，如图，AB，CD是是 O的直径，的直径，,若若AOE=32，则，则COE的度数是（的度数是（）AEBD AC3.如图，在如图，在 O中，中，AB、CD是直径，是直径，CEAB且交圆于且交圆于E，BDBE 求证：
14、求证：.证明：证明：连结连结OE，CEAB，DOB=C，BOE=E，OC=OE，C=E，DOB=BOE，BDBE 1.圆周角：圆周角：顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做圆周角.2.圆周角定理：圆周角定理：圆周角的度数等于它圆周角的度数等于它 所对弧上的圆心角度数的一半所对弧上的圆心角度数的一半.3.推论推论1：半圆半圆(或直径或直径)所对的圆周角是直角；所对的圆周角是直角；90的圆的圆 周角所对的弦是直径周角所对的弦是直径.推论推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 相等；相等的圆周角所对的弧也相等相等；相等
15、的圆周角所对的弧也相等.3.5 圆周角圆周角1.下列命题中，正确的命题个数是（下列命题中，正确的命题个数是（）2.(2015巴中巴中)如图，在如图，在 O中，弦中，弦AC半径半径OB，BOC=50，则，则OAB的度数为（的度数为（）A.25 B.50 C.60 D.30A.1个个 B.2个个 C.3个个 D.4个个顶点在圆周上的角是圆周角；顶点在圆周上的角是圆周角；圆周角度数等于圆心角度数的一半；圆周角度数等于圆心角度数的一半；90的圆周角所对的弦是直径；的圆周角所对的弦是直径；圆周角相等，则它们所对的弧也相等圆周角相等，则它们所对的弧也相等.AA3.(2015台州台州)如图，四边形如图，四边
16、形ABCD内接于内接于 O，点，点E在对角在对角 线线AC上，上，EC=BC=DC.(1)若若CBD=39，求，求BAD的度数；的度数；(2)求证明：求证明：1=2.(1)解：解：BC=DC，CBD=CDB=30，BAC=CDB=39，CAD=CBD=39，BAD=BAC+CAD=39+39=78；(2)证明：证明：EC=BC，CEB=CBE，而而CEB=2+BAE，CBE=1+CBD，2+BAE=1+CBD，BAE=CBD，1=2.1.圆内接四边形：圆内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆如果一个四边形的各个顶点在同一个圆 上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做上，那么这个
17、四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做 四边形的外接圆四边形的外接圆.2.圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的性质定理：圆内接四边形的对角互补圆内接四边形的对角互补.3.6 圆内接四边形圆内接四边形四边形四边形ABCD是是 O的内接四边形的内接四边形 O是四边形是四边形ABCD的外接圆的外接圆3.推论：推论：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.EAD=C1.(2015邵阳邵阳)如图，四边形如图，四边形ABCD内接于内接于 O，已知，已知 ADC=140，则，则AOC的大小是（的大小是（）A.80 B.100C.60 D.402.如图，如图，MN是是 O的直
18、径，若的直径，若E=25，PMQ=35，则，则MQP的度数为（的度数为（）A.30 B.35C.40 D.50AC1.正多边形：正多边形：各边都相等、各内角也相等的多边形各边都相等、各内角也相等的多边形.2.正多边形与圆的位置关系正多边形与圆的位置关系3.7 正多边形正多边形 经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个经过一个正多边形的各个顶点的圆叫做这个正多边形正多边形的外接圆的外接圆，这个正多边形叫做，这个正多边形叫做圆内接正多边形圆内接正多边形，任何正，任何正多边形都有一个外接圆多边形都有一个外接圆.1.顺次连结正六边形的三个不相邻的顶点，得到如图顺次连结正六边形的三个不相邻的顶点，得到如图
19、 的图形，下列说法错误的是（的图形，下列说法错误的是（）A.ACE是等边三角形是等边三角形B.此图既是轴对称图形也是中心对称图形此图既是轴对称图形也是中心对称图形C.连结连结AD，则，则AD分别平分分别平分EAC与与EDCD.图中一共能画出图中一共能画出3条对称轴条对称轴2.(2015成都成都)如图，正六边形如图，正六边形ABCDEF内接于内接于 O，半径为，半径为 4，则这个正六边形的边心距，则这个正六边形的边心距OM和和 的长分别为（的长分别为（）BCA.2 B.2 3324C.3 D.2 333 ，BD3.8 弧长及扇形的面积弧长及扇形的面积1.弧长计算公式弧长计算公式 如果扇形的半径为
20、如果扇形的半径为R，圆心角为，圆心角为n，扇形的弧长为，扇形的弧长为l，那么扇形面积那么扇形面积S的计算公式为：的计算公式为：213602n RSlR 2.扇形面积的计算公式扇形面积的计算公式在半径为在半径为R的圆中，的圆中，n圆心角所对的弧长圆心角所对的弧长l的计算公式为：的计算公式为：360n Rl 1.(2015义乌义乌)如图，四边形如图，四边形ABCD是是 O的内接四边形，的内接四边形，O的半径为的半径为2，B=135则则 的长（的长（）ACA.2 B.C.D.23B2.(2015兰州兰州)如图，如图，O的半径为的半径为2，AB、CD 是互相垂直的两条直径，点是互相垂直的两条直径，点P
21、是是 O上任意上任意 一点一点(P与与A、B、C、D不重合不重合)，经过，经过P作作 PMAB于点于点M，PNCD于点于点N，点，点Q是是 MN的中点，当点的中点，当点P沿着圆周转过沿着圆周转过45时，时，点点Q走过的路径长为（走过的路径长为（）A.B.C.D.4263A3.(2015自贡自贡)如图，如图，AB是是 O的直径，弦的直径，弦CDAB，CDB=30，CD=，则阴影部分图形的面，则阴影部分图形的面 积为（积为（）2 32A.4 B.2 C.D.3 D4.(2015日照日照)如图，等腰直角如图，等腰直角ABC中，中，AB=AC=8，以，以AB为直径的半圆为直径的半圆O交斜交斜 边边BC于于D，则阴影部分面积为（结果，则阴影部分面积为（结果 保留保留 ）（）（）A.244 B.324C.328 D.16 A
