1、期中复习空间中的垂直关系空间中的垂直关系教学目标教学目标:以立体几何的定义、公理和定理为出发点，以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理定定理.1.直线与平面垂直直线与平面垂直2.直线和平面所成的角直线和平面所成的角 3.二面角的有关概念二面角的有关概念4.平面与平面垂直平面与平面垂直思考探究思考探究垂直于同一平面的两平面是否平行？垂直于同一平面的两平面是否平行？提示：提示：垂直于同一平面的两平面可能平行，也可能相交垂直于同一平面的两平面可能平行，也可能相交.1.直线直线a直线直线b，a平面平面，则，则b与与的位置
2、关系是的位置关系是 _ 解析：解析：由垂直和平行的有关性质可知由垂直和平行的有关性质可知b 或或b .答案：答案：b或或b 2.已知直线已知直线l平面平面，直线，直线m平面平面，有下列命题：，有下列命题：lm；lm；lm；lm.其中正确的命题是其中正确的命题是_解析：解析：对，对，l，l ，又又m ，lm，正确；正确；对，对，l，则，则l或或l ，l不一定与不一定与m平行，平行，错误；错误；对，对，lm，l，m，又又m ，正确；错误正确；错误.答案：答案：3.在在ABC中，中，ACB90，AB8，ABC60，PC平面平面ABC，PC4，M是是AB上一个动点，则上一个动点，则PM的最小值为的最小
3、值为.解析：解析：PC平面平面ABC，CM平面平面ABC，PCCM，PM 要使要使PM最小，只需最小，只需CM最小，此时最小，此时CMAB，CM 2 ，PM的最小值为的最小值为2 .答案：答案：24.如图，平面如图，平面ABC平面平面BDC，BACBDC90，且，且 ABACa，则，则AD.解析：解析：取取BC中点中点E，连结，连结ED、AE，ABAC，AEBC.平面平面ABC平面平面BDC，AE平面平面BCD.AEED.在在RtABC和和RtBCD中，中，AEED BC a，AD a.答案：答案：a1.证明直线和平面垂直的常用方法：证明直线和平面垂直的常用方法：(1)利用判定定理利用判定定理
4、.(2)利用平行线垂直于平面的传递性利用平行线垂直于平面的传递性(ab，ab).(3)利用面面平行的性质利用面面平行的性质(a，a).(4)利用面面垂直的性质利用面面垂直的性质.当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线，当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线，常用来证明线线垂直常用来证明线线垂直.2.直线和平面垂直的性质定理直线和平面垂直的性质定理:可以作为两条直线平行的可以作为两条直线平行的 判定定理，可以并入平行推导链中，实现平行与垂直判定定理，可以并入平行推导链中，实现平行与垂直 的相互转化，即线线垂直的相互转化，即线线垂直线面垂直线面垂直线线平行线线平行线线 面平行面
5、平行.(2009福建高考改编福建高考改编)如图，如图，平行四边形平行四边形ABCD中，中，DAB60，AB2，AD4.将将CBD沿沿BD折起折起到到EBD的位置，使平面的位置，使平面EBD平平面面ABD.求证：求证：ABDE.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记证明：在证明：在ABD中，中，AB2，AD4，DAB60，BD 2 .AB2BD2AD2，ABBD.又又平面平面EBD平面平面ABD，平面平面EBD平面平面ABDBD，AB平面平面ABD，AB平面平面EBD.DE平面平面EBD，ABDE.本例中，本例中，ED与平面与平面ABD垂直吗？垂直吗？解：解：由例由例1知，知，ABBD，CDAB，CD
6、BD，从而，从而DEBD.又又平面平面EBD平面平面ABD，ED平面平面EBD，ED平面平面ABD.1.证明平面与平面垂直的方法主要有：证明平面与平面垂直的方法主要有：(1)利用定义证明利用定义证明.只需判定两平面所成的二面角为直二面角只需判定两平面所成的二面角为直二面角 即可即可.(2)利用判定定理利用判定定理.在审题时，要注意直观判断哪条直线可能在审题时，要注意直观判断哪条直线可能 是垂线，充分利用等腰三角形底边的中线垂直于底边，是垂线，充分利用等腰三角形底边的中线垂直于底边，勾股定理等结论勾股定理等结论.2.关于三种垂直关系的转化可结关于三种垂直关系的转化可结合下图记忆合下图记忆.(20
7、09江苏高考江苏高考)如图，在如图，在三棱柱三棱柱ABCA1B1C1中，中，E、F分别分别是是A1B、A1C的中点，点的中点，点D在在B1C1上，上，A1DB1C.求证：求证：(1)EF平面平面ABC；(2)平面平面A1FD平面平面BB1C1C.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)因为因为E、F分别是分别是A1B、A1C的中点，的中点，所以所以EFBC，又又EF 平面平面ABC，BC平面平面ABC.所以所以EF平面平面ABC.(2)因为三棱柱因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，为直三棱柱，所以所以BB1平面平面A1B1C1，所以所以BB1A1D，又又A1DB1C，B1CBB1B1.所以所
8、以A1D平面平面BB1C1C，又又A1D平面平面A1FD，所以平面所以平面A1FD平面平面BB1C1C.两个平面垂直的性质定理，可以作为直线和平面垂两个平面垂直的性质定理，可以作为直线和平面垂直的判定定理，当条件中有两个平面垂直时，常添加的直的判定定理，当条件中有两个平面垂直时，常添加的辅助线是在一个平面内作两平面交线的垂线辅助线是在一个平面内作两平面交线的垂线.平面与平面垂直的性质 如图如图，四边形，四边形ABCD中，中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将，将ABD沿对角线沿对角线BD折起，折起，记折起后点的位置为记折起后点的位置为P，且使平面，且使平面PBD平面平面BCD，如图
9、，如图.(1)求证：平面求证：平面PBC平面平面PDC；(2)在折叠前的四边形在折叠前的四边形ABCD中，作中，作AEBD于于E，过，过E作作EFBC于于F，求折起后的图形中，求折起后的图形中PFE的正切值的正切值.思路点拨思路点拨课堂笔记课堂笔记(1)证明：折叠前，在四边形证明：折叠前，在四边形ABCD中，中，ADBC，ADAB，BAD90，所以所以ABD为等腰直角三角形为等腰直角三角形.又因为又因为BCD45，所以，所以BDC90.折叠后，因为面折叠后，因为面PBD面面BCD，CDBD，所以，所以CD面面PBD.又因为又因为PB 面面PBD，所以，所以CDPB.又因为又因为PBPD，PDC
10、DD，所以，所以PB面面PDC.又又PB面面PBC，故平面，故平面PBC平面平面PDC.(2)AEBD，EFBC，折叠后的位置关系不变，折叠后的位置关系不变，所以所以PEBD.又面又面PBD面面BCD，所以，所以PE面面BCD，所以所以PEEF.设设ABADa，则，则BD a，所以，所以PE aBE.在在RtBEF中，中，EFBEsin45 a a.在在RtPFE中，中，tanPFE .1.1.垂直关系的转化垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅
11、助线来解决过作辅助线来解决.如有平面垂直时，一般要用性如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.故熟练故熟练掌握掌握“线线垂直线线垂直”、“面面垂直面面垂直”间的转化条件间的转化条件是解决这类问题的关键是解决这类问题的关键.方法规律总结方法规律总结2.2.证明线面垂直的方法证明线面垂直的方法 （1 1）线面垂直的定义：）线面垂直的定义：a a与与内任何直线都垂直内任何直线都垂直a a ；m m、n n，m mn n=A Al lm m，l ln n（3
12、3）判定定理）判定定理2 2：a ab b，a a b b；（4 4）面面平行的性质：）面面平行的性质：，a a a a；（5 5）面面垂直的性质：）面面垂直的性质：，=l l，a a，a al l a a.（2 2）判定定理）判定定理1 1：l l；3.3.证明线线垂直的方法证明线线垂直的方法 （1 1）定义：两条直线所成的角为）定义：两条直线所成的角为9090;（2 2）平面几何中证明线线垂直的方法；）平面几何中证明线线垂直的方法；（3 3）线面垂直的性质：）线面垂直的性质：a a，b b a ab b；（4 4）线面垂直的性质：）线面垂直的性质：a a，b b a ab b.4.4.证明面面垂直的方法证明面面垂直的方法 （1 1）利用定义：两个平面相交，所成的二面角是）利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；直二面角；（2 2）判定定理：）判定定理：a a，a a .谢谢指导！
