1、专题8 “PAkPB”型的最值问题破解策略“PAkPB”型的最值问题，当k1时通常为轴对称之最短路径问题，而当k0时，若以常规的轴对称的方式解决，则无法进行，因此必须转换思路1 当点P在直线上如图，直线BM，BN交于点B，P为BM上的动点，点A在射线BM，BN同侧，已知sinMBNk过点A作ACBN于点C，交BM于点P，此时PAkPB取最小值，最小值即为AC的长证明 如图，在BM上任取一点Q，连结AQ，作QDBN于点D由sinMBNk，可得QD kQB所以QAkQBQAQDAC，即得证2 当点P在圆上如图，O的半径为r，点A，B都在O外，P为O上的动点，已知rkOB在OB上取一点C，使得OC
2、kr，连结AC交O于点P，此时PAkPB取最小值，最小值即为AC的长证明 如图，在O上任取一点Q，连结AQ，BQ，连结CQ，OQ则OC kOQ，OQ kOB而COQQOB，所以COQQOB，所以QC kQB所以QA kQB QAQCAC，即得证例1如图，矩形ABCD中，AB6cm，BCcm，对角线AC、BD相交于点O，COD关于CD的对称图形为CED若点P为线段AE上一动点（不与点A重合），连接OP，一动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OP匀速运动到点P，再以15cm/s的速度沿线段PA匀速运动到点A，到达点A后停止运动，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，求AP的长和点Q走
3、完全程所需的时间解：由题意可得，点Q运动到带你A的时间为过点E作EFAD，交AD的延长线于点F则EF3cm，AFcmAEcm，从而sinEAF过点P作PGAD于点G，则有PGPA过点O作OHAD于点H，则OHCD3而OPPAPOPGOH，所以t最小3s显然AHAF，所以APAEcm综上所述，当点Q沿上述路线运动到点A所需要的时间最短时，AP的长为cm，点Q走完全程所需的时间为3s例2在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx22mxm2m的顶点为C直线yx2与抛物线交于A、B两点，点A在抛物线的对称轴左侧抛物线的对称轴与直线AB交于点M，作点B关于直线MC的对称点B以M为圆心，MC为半径的圆上存在一
4、点Q，使得QBQB的值最小，则这个最小值为多少？解：yx22mxm2m（xm）2m顶点C的坐标为（m，m），从而点M的坐标为（m，m2）连结MQ，则MQMC2联立方程组可得点A（m1，m1），B（m2，m4）BM，即MQMB取MB的中点N，则MNMBMQ连结QN，易证QMBNMQQNQB连结BN，则QBQBQBQNBN易得直线AB与y轴的夹角为45，所以AMC45连结BM，则BMB2AMC90在RtBMN中，BN即QBQB的最小值为1. 如图在ACE中，CACE，CAE30，O经过点C，且圆的直径AB在线段AE上，设D是线段AC上任意一点（不含端点），连接OD，当CDOD的最小值为6时，求O的直径AB的长2如图，在ABC中，B90，ABBC2，以点B为圆心作B与AC相切，P为B上任意一点，求PAPC的最小值
