1、最新高三抽象函数总结抽象函数是高中数学的一个难点，也是近几年来高考的热点。考查方法往往基于一般函数，综合考查函数的各种性质。本节给出抽象函数中的函数性质的处理策略，供内同学们参考。抽象函数是指只给出函数的某些性质，而未给出函数具体的解析式及图象的函数。由于抽象函数概念抽象，性质隐而不显，技巧性强，因此学生在做有关抽象函数的题目时，往往感觉无处下手。抽象函数常见题型讲解：一、定义域问题：解决抽象函数的定义域问题明确定义、等价转换。例一.若函数的定义域为，求函数的定义域。提示：函数的定义域是指自变量的取值范围，求抽象函数的定义域的关键是括号内式子的地位等同（即同一对应法则后括号内的式子具有相同的取
2、值范围），如本题中的与的范围等同。变式训练1：已知函数的定义域是1，2，求的定义域。变式训练2：已知函数的定义域是，求函数的定义域。二、求值问题例二、已知定义域为的函数f(x)，同时满足下列条件：，；，求f(3)，f(9)的值。注：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，赋值法是解此类问题的常用技巧。变式训练3：已知上的函数，且都有下列两式成立：的值为 变式训练4:设函数为奇函数，则_变式训练5：已知都是定义在上的函数，对任意满足 ，且，则=_ 三、 值域问题:例三、设函数f(x)定义于实数集上，对于任意实数x、y，总成立，且存在，使得，求函数的值域。变式6：若函数的值域为，求函数的值域。变式7
3、：函数f(x)的定义域为，对 任意正实数都有且 ，则变式8：已知函数对任意实数都有，且当时，求在上的值域。四、解析式问题例四、设函数满足，求。评析：如果把x和分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。变式9：已知为偶函数，为奇函数，且有+， 求,.五、 单调性问题单调性的证明两种常用变换：（差变换）；（商变换）例五、设是定义在-1，1上的奇函数，且对于任意的，当时，都有：。若，试比较与的大小。变式10：已知函数f（x）对任意实数x、y均有f（xy）2f（x）f（y），且当x0
4、时，f(x)2，f(3) 5，求不等式的解.变式11：设f(x)定义于实数集上，当时，且对于任意实数，有，求证：在R上为增函数。变式12:定义在R上的函数y=f(x)，f(0)0，当x0时，f(x)1，且对任意的a、bR，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1） 求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的xR，恒有f(x)0；（3） 证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)f(2x-x2)1，求x的取值范围。变式13：已知对一切，满足，且当时，求证：（1）时，（2）在R上为减函数。变式14：已知是定义在（）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足，试确定的取值范围。变式15：函数的定义域
5、为R,并满足以下条件:对任意,有0;对任意,有;.(1)求的值;(2)求证: 在R上是单调减函数;六、奇偶性问题例六、 已知函数对任意不等于零的实数都有，试判断函数f(x)的奇偶性。变式16：已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的，都满足：。判断的奇偶性，并证明你的结论。变式17：已知定义在R上的函数对任意实数、恒有，且当时，又。 (1)求证：为奇函数；(2)求证：为R上的减函数；变式18：设函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足f(x1x2)；求证：f(x)是奇函数；变式19：已知定义在上的函数满足条件：对于任意的，都有当时， （1）求证：函数是奇函数； （2）求证：函数在上是减函
6、数；（3）解不等式变式20：函数f（x）的定义域为D=x|x0，且满足对于任意x1、x2D，有f（x1x2）=f（x1）+f（x2）.（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的奇偶性并证明；变式21：已知函数y=f（x）的定义域为R，对任意x、xR均有f（x+x）=f（x）+f（x），且对任意x0，都有f（x）0，f（3）=3.（1）试证明：函数y=f（x）是R上的单调减函数；（2）试证明：函数y=f（x）是奇函数；变式22：设函数f(x)的定义域为R，对于任意的实数x，y，都有f(xy)f(x)f(y)，当x0时，f(x)0，求证：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(，)上是减函数变式
7、23：设f（x）是定义R在上的函数，对任意x，yR，有 f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）且f（0）0.（1）求证f（0）=1；（2）求证：y=f（x）为偶函数.变式24：已知函数当时，恒有.(1)求证: 是奇函数;(2)若.七、周期性：周期性：解决抽象函数的周期性问题充分理解与运用相关的抽象式是关键。例七、设是定义在R上的奇函数，其图象关于直线对称。证明是周期函数。变式25：设f(x)是R上的奇函数，且f(x+3) =-f(x)，求f(1998)的值。变式26：已知f（x）是定义在R上的函数，且满足：已知f（1）=1997，求f（2001）的值。变式27：已知定义在R上的奇函数f
8、(x)满足f(x+2)=f(x)，则f(6)的值为_ _ 变式28：若是定义在上的函数，对任意的实数，都有 和且，则的值是八、 对称性：解决抽象函数的对称问题定义证明是根本、图象变换是捷径、特值代入是妙法。结论1：设函数f(x)的定义域为R，且f(a+x)=f(b-x)，则函数f(x)的图象关于直线 对称；特别地，当f(a+x)=f(a-x)时，f(x)的图象关于x=a对称（自身对称）。结论2：对于定义在R上的函数y=f(x)，函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线对称（相互对称）。例八、设函数定义在实数集上，则函数与的图象关于（ )A、直线对称 B直线对称 C直线对称 D直线对
9、称变式29：已知函数y=f(x)满足f(x+2)=f(2-x)；若方程f(x)=0有三个不同的实根，则这三个根的和为_。变式30：已知函数y=f(x)为奇函数，方程f(x)=0有5个根，问这五个根之和为_九 利用模型函数，类比联想例九、如果f(x+y)=f(x)f(y),且f(1)=2，则的值为_。变式31：已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1，且对任意都有f(x+5)f(x)+5，f(x+1)f(x)+1，若g(x)=f(x)+1-x，则g(2005)=_. 五类抽象函数解法(1) 求解方法：1.借鉴函数模型进行类比探究（化抽象为具体） 2. 赋值法（令或1，求出或、令或等等）（2）
10、 几种抽象函数模型：1. 正比例函数：；2. 幂函数：，；注：反比例函数：一类的抽象函数也是如此，有部分资料将幂函数模型写成反比例函数模型。3. 指数函数：，4. 对数函数：，5. 三角函数：6. 余弦函数：1 线性函数型抽象函数例十、已知函数对任意实数，均有，且当时，求在区间上的值域。分析：由题设可知，函数f（x）是的抽象函数，因此求函数f（x）的值域，关键在于研究它的单调性。变式32：已知函数对任意实数，均有，且当时，求不等式的解。变式33：已知函数f(x)定义域R，对任意的x1、x2R，有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，当x0时，f(x)0时，f(x)1,求证：f(x存在反函数
11、. .若不等式f(a2+a-5)2的解为 -3x2,求f(4).2 指数函数型抽象函数例十一、已知函数定义域为R，满足条件：存在，使得对任何和，成立。 求：（1）(2) 对任意值,判断值的正负。变式35：是否存在函数满足下列三个条件：同时成立？ 若存在，求出的解析式，若不存在，说明理由。变式36：已知函数f(x)定义域R，满足.x1 . f(0)0 .任意的x、yR有f(x+y)=f(x)f(y).x0时,0 f(x)0时，0.f(x)存在反函数 .f-1(x1x2)=f-1(x1)+f-1(x2) .若f(m)=3,求m的值3 对数函数型抽象函数例十二、设定义在上的单调增函数，满足，。 求：
12、（1）(2) 若求的取值范围。分析：由题设可猜测f（x）是对数函数的抽象函数，f（1）0，f（9）2。变式38：已知函数f(x)定义域R+，对任意的R有f()=f(x),且x1时f(x)0,y0时，f(xy)=f(x)+f(y).求证f(x)有反函数.解不等式f(x)+f(5-x)-2.4 三角函数型抽象函数例十三、已知函数的定义域关于原点对称，且满足下列三个条件：当是其定义域中的数时，有（，是定义域中的一个数）当时，试问：（1） 的奇偶性如何？说明理由。（2） 在上，的单调性如何？说明理由。变式：39：已知函数f(x)定义域R，满足对任意的x、yR有f(x+y)+f(x-y)=2 f(x)f
13、(y), f(0) 0, f()=0求证：f(x)是偶函数. 求证：f(x)是周期函数.5 幂函数型抽象函数例十四、已知函数对任意实数，均有，且当时，.(1) 判断的奇偶性；(2) 判断在的单调性，并给出证明；(3) 若，且，求的取值范围。变式40：已知函数f(x)对任意的x0, y0都有，且x1时，0. . = . 是否存在反函数，说明理由. .若9的解集为（m,n）求m+n.参考答案例一、解析：由的定义域为，知中的，从而，对函数而言，有，解之得：。所以函数的定义域为变式1：解：的定义域是1，2，是指，所以中的满足从而函数f(x)的定义域是1，4变式2：解：的定义域是，意思是凡被f作用的对象
14、都在中，由此可得所以函数的定义域是例二、解：取，得因为，所以又取得变式3：1变式4： 2.5 变式5： -1 例三、解：令，得，即有或。若，则，对任意均成立，这与存在实数，使得成立矛盾，故，必有。由于对任意均成立，因此，对任意，有下面来证明，对任意设存在，使得，则这与上面已证的矛盾，因此，对任意所以 变式6：解析：函数中定义域与对应法则与函数的定义域与对应法则完全相同，故函数的值域也为。变式7： 变式8：解：设且，则， 由条件当时， 又为增函数， 令，则 又令 得 ， 故为奇函数， ， 上的值域为例四、解析：以代，得，以代，得，+-得：所以 变式9：用替代在利用函数奇偶性联立方程组解出和例五、
15、解析：，又，即。变式10：解：设且则 ， 即， 故为增函数， 又 因此不等式的解集为。变式11：解：设 则有，即，即为增函数变式12：解 （1）令a=b=0，则f(0)=f(0)2f(0)0 f(0)=1（2）令a=x，b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) 由已知x0时，f(x)10，当x0，f(-x)0又x=0时，f(0)=10对任意xR，f(x)0(3)任取x2x1，则f(x2)0，f(x1)0，x2-x10 f(x2)f(x1) f(x)在R上是增函数（4）f(x)f(2x-x2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x)又1=f(0)，f(x)在R上递增由f(3x-x2)f(0)得
16、：3x-x20 0x0, 令得,(2)任取任取,则令,故 函数的定义域为R,并满足以下条件:对任意,有0;对任意,有;函数是R上的单调减函数.例六、解：取得：，所以又取得：，所以再取则，即因为为非零函数，所以为偶函数。变式16：解析：令，则，得； 令，则，得；令，得，得因此函数为奇函数。变式17：解：（1）令得，令得，即知为奇函数 （2）令则有，即知在单减为奇函数在上单减变式18：证明：不妨令xx1x2，则f(x)f(x2x1)f(x1x2)f(x)f(x)是奇函数变式19：（1）证明：令，则，得令，则，即故函数是奇函数（2）证明：对于上的任意两个值，且，则，又，则，又当时， ， 即故函数在上
17、是减函数（3）解：由（2）知：函数在上是减函数，解得又所以解集为变式20：（1）解：令x1=x2=1，有f（11）=f（1）+f（1），解得f（1）=0.（2）证明：令x1=x2=1，有f（1）（1）=f（1）+f（1）.解得f（1）=0.令x1=1，x2=x，有f（x）=f（1）+f（x），f（x）=f（x）.f（x）为偶函数.变式21：（1）证明：任取x1、x2R，且x1x2，f（x2）=fx1+（x2x1），于是由题设条件f（x+x）=f（x）+f（x）可知f（x2）=f（x1）+f（x2x1）.x2x1，x2x10.f（x2x1）0.f（x2）=f（x1）+f（x2x1）f（x1）.故
18、函数y=f（x）是单调减函数.（2）证明：对任意x、xR均有f（x+x）=f（x）+f（x），若令x=x=0，则f（0）=f（0）+f（0）.f（0）=0.再令x=x，则可得f（0）=f（x）+f（x）.f（0）=0，f（x）=f（x）.故y=f（x）是奇函数.变式22：证明：(1)令xy0，得f(0)f(0)f(0)，f(0)0.再令yx，得f(0)f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为奇函数(2)设x1、x2(，)且x1x2，则x2x10，当x0时，f(x)0，f(x2x1)0.又对于任意的实数x，y都有f(xy)f(x)f(y)且f(x)为奇函数，f(x2x1)fx2(x1)f(
19、x2)f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)f(x1)0，f(x)在(，)上是减函数变式23：（1）问题为求函数值，只需令xy0即可得。 （2）问题中令x0即得f（y）+f（ y）2f（0）f（y），且f（0）1.所以f（y）+f（y）2f（y），因此yf（x）为偶函数.说明：这类问题应抓住f（x）与f（x）的关系，通过已知条件中等式进行变量赋值。变式24：证明：令，得 令，则 是奇函数。（2） 又例七、证明：由的图象关于直线对称，得，又是定义在R上的奇函数，所以，则由周期函数的定义可知4是它的一个周期。总结：一般地，,均可断定函数的周期为2T。变式25：解：因为f(x+3) =-f(x)，
20、所以f(x+6)=f(x+3)+3) =-f(x+3)=f(x)，故6是函数f(x)的一个周期。又f(x)是奇函数，且在x0处有定义，所以f(x)=0从而f(1998)=f(6333)=f(0)=0。变式26：解：从自变量值2001和1进行比较及根据已知条件来看，易联想到函数f（x）是周期函数。由条件得f（x）1，故f（x+2）=f（x+4）=. 所以f（x+8）=. 所以f（x）是以8为周期的周期函数， 从而f（2001）=f（1）=1997说明：这类问题出现应紧扣已知条件，需用数值或变量来迭代变换，经过有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。
21、变式27：0 变式28：2010 例八、D变式29：6变式30：0例九、 析：由f(x+y)=f(x)f(y)的关系式，类比联想指数函数y=ax的性质知： 解：令f(x)=2x，满足题设，则 =2004变式31： 析：当满足题设的f(x)难于求出时，可利用特殊值法化一般为特殊求解。 解：由f(x+5)f(x)+5得：同理得：，联想斜率公式，取k=1，结合f(1)=1联想到函数f(x)=x满足，故g(x)=1，则g(2005)=1例十、解：设，当，即，f（x）为增函数。在条件中，令yx，则，再令xy0，则f（0）2 f（0）， f（0）0，故f（x）f（x），f（x）为奇函数，f（1）f（1）2
22、，又f（2）2 f（1）4， f（x）的值域为4，2。变式32分析：由题设条件可猜测：f（x）是yx2的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设，当，则， 即，f（x）为单调增函数。 ， 又f（3）5，f（1）3。， 即，解得不等式的解为1 a 3。变式33：解：x10,f(x2-x1)0f(x2) f(x1) f(x) f(x)在-3，3上有最大、最小值. =f(-3),=f(3)=2,=0, 又+0是奇函数，+33a =-3a, =3a.变式34：解：当x10, f(x2-x1)-10,因此有f(x2)- f(x1)
23、= f(x2-x1)-10,即f(x)上升，有反函数.设f(m)=2, f(a2+a-5)2= f(m), a2+a-50有f(x0)=0则f(x)f(x0+x-x0)=f(x0)f(x-x0)=0,与f(0)0矛盾.0又 x0时, f(0)f2(0) f(0)1, f(x-x)=f(x)f(-x) =1 -x0, f(x)= x1, f(x2)f(x1+x2-x1)=f(x1)f(x2-x1) = f(x2-x1)1 f(x2)0. f(0)f2(0) f(0)1, x2x1, f(x2)f(x1+x2-x1)=f(x1)f(x2-x1) =f(x2-x1)1f(x2)0,y0，且y=ax的
24、值域是R+ 存在n、m满足x,=y, f(xy)=f()=f()=(m+n)f(a)=m f(a)+n f(a) =f()+f()=f(x)+f(y). x2x1 0,f(1)=2f(1) f(1)=0 f()+f(x)= f(1)=0-f()=f(x) f(x2)- f(x1)= f(x2)+ f() = f()1) f(x)在R+上下降，因此存在反函数. f()=1-f(2)=12f(2)=-2, f(x)+f(5-x)-2.= 2f(2)=f(4) fx(5-x) f(4), 例十三、分析: 由题设知f（x）是的抽象函数，从而由及题设条件猜想：f（x）是奇函数且在（0，4a）上是增函数（
25、这里把a看成进行猜想）。解：（1）f（x）的定义域关于原点对称，且是定义域中的数时有，在定义域中。，f（x）是奇函数。（2）设0x1x22a，则0x2x12a，在（0，2a）上f（x）0，f（x1），f（x2），f（x2x1）均小于零，进而知中的，于是f（x1） f（x2），在（0，2a）上f（x）是增函数。又，f（a）1，f（2a）0，设2ax4a，则0x2a2a，于是f（x）0，即在（2a，4a）上f（x）0。设2ax1x24a，则0x2x12a，从而知f（x1），f（x2）均大于零。f（x2x1）0，即f（x1）f（x2），即f（x）在（2a，4a）上也是增函数。综上所述，f（x）在（0
26、，4a）上是增函数。变式39：解：.令x=0,y=0,f(0)+f(0)=2f2(0) f(0)=1 令x=0则有f(y)+f(-y)=2 f(0)f(y)2 f(y) f(y)f(-y) f(x)是偶函数.令x=, f(+y)+f(-y)= 2f()f(y)=0, f(+x)+f(-x)=0,即f(x)有中心对称点（，0） f(x)=f(-x)=- f1-(-x)=-f(1+x)=-f(-1-x)=-f1-(-1-x)=f(2+x) f(x)是周期函数.例十四、分析：由题设可知f（x）是幂函数的抽象函数，从而可猜想f（x）是偶函数，且在0，）上是增函数。解：（1）令y1，则f（x）f（x）f（1），f（1）1，f（x）f（x），f（x）为偶函数。（2）设，时，f（x1）f（x2），故f（x）在0，）上是增函数。（3）f（27）9，又，又，故。变式40：解：. f(x)f()=f2()0,若存在x00有f(x0)=0则f(x)f()=f(x0)f()=0,与=矛盾.0.f(1)=f2(1) f(1)=1f()f(x)= f(1)=1f()=.x2x10, f(x2)= f()=f(x1)f()=f()1) f(x)在下降. 9f()f(x)在下降，0xm=0,n=m+n=.24
