1、目录导数专题一、单调性问题2导数专题二、极值问题38导数专题三、最值问题53导数专题四、零点问题77导数专题五、恒成立问题和存在性问题118导数专题六、渐近线和间断点问题170导数专题七、特殊值法判定超越函数的零点问题190导数专题八、避免分类讨论的参变分离和变换主元201导数专题九、公切线解决导数中零点问题214导数专题十、极值点偏移问题219导数专题十一、构造函数解决导数问题227导数专题一、单调性问题【知识结构】【知识点】一、导函数代数意义：利用导函数的正负来判断原函数单调性；二、分类讨论求函数单调性：含参函数的单调性问题的求解，难点是如何对参数进行分类讨 论，讨论的关键在于导函数的零点
2、和定义域的位置关系.三、分类讨论的思路步骤：第一步、求函数的定义域、求导，并求导函数零点；第二步、以导函数的零点存在性进行讨论；当导函数存在多个零点的时，讨论他们的大小关系及与区间的位置关系（分类讨论）；第三步、画出导函数的同号函数的草图，从而判断其导函数的符号（画导图、标正负、截定义域）；第四步、（列表）根据第五步的草图列出 f ( x) ， f ( x) 随 x 变化的情况表，并写出函数的单调区间；第五步、综合上述讨论的情形，完整地写出函数的单调区间，写出极值点，极值与区间端点 函数值比较得到函数的最值.四、分类讨论主要讨论参数的不同取值求出单调性，主要讨论点：1. 最高次项系数是否为 0
3、；2. 导函数是否有极值点；3. 两根的大小关系；4. 根与定义域端点讨论等。五、求解函数单调性问题的思路：（1） 已知函数在区间上单调递增或单调递减，转化为 f (x) 0 或 f (x) 0 恒成立；（2） 已知区间上不单调，转化为导函数在区间上存在变号零点，通常利用分离变量法求解 参变量的范围；（3） 已知函数在区间上存在单调递增或单调递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小 于零有解.六、原函数单调性转化为导函数给区间正负问题的处理方法（1） 参变分离；（2） 导函数的根与区间端点直接比较；（3） 导函数主要部分为一元二次时，转化为二次函数根的分布问题.这里讨论的以一元二次 为主。七、
4、求解函数单调性问题方法提炼：（1）将函数 f ( x ) 单调增（减）转化为导函数 f ( x ) () 0 恒成立；（2） f ( x ) = g (x )h (x ) ，由 g ( x ) 0 （或 g ( x ) 0 成立，求 a 的取值范围；（）试问过点 P(1，3) 可作多少条直线与曲线 y =f (x) 相切？并说明理由【答案】（）函数 f (x) 的定义域为 x x 0 f (x) = 1+ a = x + a xx（1）当 a 0 时， f (x) 0 恒成立，函数 f (x) 在(0, +) 上单调递增；（2）当 a 0 时， 令 f (x) = 0 ，得 x = -a 当0
5、 x -a 时， f (x) -a 时， f (x) 0 ，函数 f (x) 为增函数综上所述，当 a 0 时，函数 f (x) 的单调递增区间为(0, +) 当 a 0 时，函数 f (x) 的单调递减区间为(0, -a) ，单调递增区间为(-a，+) （）由（）可知，（1）当 -a 1 时，即 a -1 时，函数 f (x) 在区间1, 2 上为增函数，所以在区间1, 2 上， f (x)min = f (1) = 1 ，显然函数 f (x) 在区间1, 2 上恒大于零；（2）当1 -a 2 时，即-2 a 0 ，解得 a -e ，所以-2 a 0 ，解得 a -2ln 2，所以-2ln
6、2 -2ln 2时，函数 f (x) 在区间1, 2 上恒大于零（）设切点为（x , x +a ln x ) ，则切线斜率 k = 1 + a ，000切线方程为 y - (x + a ln x ) = (1 +x0a )(x - x ) x0000因为切线过点 P(1,3) ，则3 - (x + a ln x ) = (1 + a )(1 - x ) x00001x即 a(ln x0 +0-1) - 2 = 0 令 g(x) = a(ln x + 1 -1) - 2(x 0) ，则g(x) = a( 1 -1 ) = a(x -1) x（1）当 a 0 ，xx2x2 g(x) 单调递增；在区
7、间(1, +) 上， g(x) 0 ， g(x) 单调递减，所以函数 g(x) 的最大值为 g(1) = -2 0 故方程 g(x) = 0 无解，即不存在 x0 满足式 因此当 a 0 时, 在区间(0,1) 上， g(x) 0 ， g(x) 单调递增， 所以函数 g(x) 的最小值为 g(1) = -2 e ，则 g(x1 ) = a(1+ eaa -1) - 2 = aea 0 故 g(x) 在(1, +) 上存在唯一零点-1- 2121+ 21+ 21+ 22a取 x2 = e 1) ， u(t) = et - 2t ，则u(t) = et - 2 a当t 1 时， u(t) = et
8、 - 2 e - 2 0 恒成立所以u(t) 在(1, +) 单调递增， u(t) u(1) = e - 2 0 恒成立所以 g (x2 ) 0 故 g(x) 在(0,1) 上存在唯一零点因此当 a 0 时，过点 P (1，3) 存在两条切线（3）当 a = 0 时， f (x) = x ，显然不存在过点 P (1，3) 的切线综上所述，当 a 0 时，过点 P (1，3) 存在两条切线；当 a 0 时，不存在过点 P (1，3) 的切线【例 1-2】（2015-2016 海淀一模理 18）已知函数 f ( x) = ln x + 1 -1 ， g( x) = x -1 .x（）求函数 f (
9、x) 的最小值；（）求函数 g(x) 的单调区间；()求证：直线 y = x 不是曲线 y = g(x) 的切线.ln x【答案】（）函数 f (x) 的定义域为(0, +)，f ( x) = 1 - 1= x - 1xx2x2当 x 变化时， f (x) ， f (x) 的变化情况如下表：x(0,1)1(1, +)f (x)-0+f (x)递减极小值递增函数 f (x) 在(0, +) 上的极小值为 f (a) = ln1 + 1 - 1 = 0 ，1所以 f (x) 的最小值为0（）解：函数 g(x) 的定义域为(0,1) U (1, +) ，ln x - ( x -1) 1ln x +
10、1 -1g ( x) = x = x=f ( x)ln2 xln2 xln2 x由（）得， f ( x) 0 ，所以 g (x) 0所以 g (x) 的单调增区间是(0,1),(1, +) ，无单调减区间.（）证明：假设直线 y = x 是曲线 g(x) 的切线.1ln x0 + x -1设切点为(x0 , y0 ) ，则 g (x0 ) = 1，即 0= 10ln2 x0000又 y = x0 -1 , y = x ，则 x0 -1 = x .ln x0ln x0所以ln x0= x0 -1 = 1- 1x0x0, 得 g (x0 ) = 0 ，与g (x0 ) = 1矛盾所以假设不成立，直
11、线 y = x 不是曲线 g(x) 的切线【练 1-1】（2015-2016 西城一模理 18）已知函数 f ( x) = xex - aex -1 ，且 f (1) = e . () 求 a 的值及 f (x) 的单调区间；12() 若关于 x 的方程 f ( x) = kx2 - 2(k 2) 存在两个不相等的正实数根 x , x ，证明：x - x ln 4 .12e【答案】（）对 f ( x) 求导，得 f (x) = (1+ x)ex - aex-1 ， 所以 f (1) = 2e - a = e ，解得a =e.故 f (x) = xex -ex ， f (x) = xex .令
12、f (x) = 0 ，得 x = 0 .当 x 变化时， f ( x) 与 f (x) 的变化情况如下表所示：x(-, 0)0(0, +)f ( x)-0+f (x)所以函数 f (x) 的单调减区间为(-, 0) ，单调增区间为(0, +).（）解：方程 f (x) = kx2 - 2 ，即为(x -1)ex - kx2 + 2 = 0 ， 设函数 g(x) = (x -1)ex - kx2 + 2 .求导，得 g(x) = xex - 2kx = x(ex - 2k) 由 g(x) = 0 ，解得 x = 0 ，或 x = ln(2k) .所以当 x (0, +) 变化时， g(x) 与
13、g(x) 的变化情况如下表所示：x(0, ln(2k )ln(2k )(ln(2k ), +)g(x)-0+g(x)所以函数 g(x) 在(0, ln(2k ) 单调递减，在(ln(2k ), +) 上单调递增. 由k 2 ，得ln(2k) ln 4 1 .又因为 g(1) = -k + 2 0 ， 所以 g(ln(2k ) 0 .不妨设 x1 0 ， g(1) = -k + 2 0 ， 所以0 x1 1.同理根据函数 g(x) 在(ln 2k, +) 上单调递增，且 g(ln(2k ) ln(2k) ln 4，所以| x - x |= x - x ln 4 -1 = ln 4 ，1221e即
14、 | x1 - x2| ln 4 .e【练 1-2】（2011-2012 石景山一模文 18）已知函数 f (x) = x2 + 2a ln x .（）若函数 f (x) 的图象在(2, f (2) 处的切线斜率为1 ，求实数 a 的值；（）求函数 f (x) 的单调区间；（）若函数 g(x) = 2 + f (x) 在1, 2 上是减函数，求实数 a 的取值范围.x2a2x2 + 2a【答案】（） f (x) = 2x +=1 分xx由已知 f (2) = 1，解得 a = -33 分（II）函数 f (x) 的定义域为(0, +) .（1）当 a 0 时, f (x) 0 ， f (x)
15、的单调递增区间为(0, +)；5 分2(x +-a )(x -a )（2）当 a 0 时 f (x) =.x当 x 变化时， f (x), f (x) 的变化情况如下：x(0, -a )-a( -a, +)f (x)-0+f (x)极小值由上表可知，函数 f (x) 的单调递减区间是(0,-a )；单调递增区间是(-a, +)8 分（II）由 g(x) = 2 + x2 + 2a ln x 得 g (x) = - 2xx2+ 2x + 2a ，9 分x由已知函数 g(x) 为1, 2 上的单调减函数， 则 g (x) 0 在1, 2 上恒成立，2即-+ 2x + 2a 0 在1, 2 上恒成立
16、.x2x即 a 1 - x2 在1, 2 上恒成立11 分x令h(x) = 1 - x2 ，在1, 2 上 h (x) = - 1- 2x = -( 1+ 2x) 0 . minf ( )22122所以函数 f (x) 不存在零点.（）f (x) = (x + k )(2x - 1) .x 2当- k 0 ，即 k 0 时，x(0, 1 )212( 1 ,+)2f (x)0f (x)极小值当- k 1 ，x(0, 1 )212( 1 ,-k )2-k(-k,+)f (x)00f (x)极大值极小值2(0,1 ) ， (-k,+) ；2即 k -12时， f (x)的单调增区间是当0 -k 1
17、，即- 122 k 0 时，x(0, 1 )2( 1 ,+)2f (x)f (x)x(0,-k )-k(-k, 1 )212( 1 ,+)2f (x)00f (x)极大值极小值当- k =1 ，即 k = - 1 时，22综上 k 0 时， f (x) 的单调增区间是( 1 ,+) ;减区间是2(0,1 ) .21当- k 0 时， f (x) 的单调增区间是(0,-k ) , ( 1 221,+) ;减区间是(-k,1 ) .2当 k = -21时， f (x) 的单调增区间是(0,+) ;11当 k 1) ，对于 x 0, 4 , $ x 0, 4 ，32312使得 f ( x1 ) =
18、g ( x2 ) ，求实数 m 的取值范围.【答案】（）函数 f ( x) = x3 + ax2 + bx 的图象与直线 y = -3x + 8 相切于点 P(2, 2) ， f (2) = -3 ， f (2) = 2 f ( x) = 3x2 + 2ax + b ，8 + 4a + 2b = 2 3 22+ 2a 2 + b = -3a = -6解得b = 9 f ( x) = x3 - 6x2 + 9x （） f ( x) = 3x2 -12x + 9 = 3( x -1)( x - 3) ， 令 f (x) 0 ，得 x 3 ；令 f (x) 0 ，得1 x 1) ，323 g (x)
19、 = x2 - (m +1)x + m = (x -1)(x - m)1当1 m 4 时，g(x) 在0,1上单调递增，在1, m上单调递减，在m, 4 上单调递增， g(x) 的最小值为 g(0) 或 g(m)， g(x) 的最大值为 g(1) 或 g(4) g(0) = - 1 0 ，且 A B ，3 g(1) 4 或 g(4) 4 ， g(1) = 1 m - 1 4 或 g(4) = -4m +13 4 ，22即 m 9 或 m 9 4又1 m 4 ，1 m 9 42当 m 4 时， g(x) 在0,1上单调递增， 1, 4上单调递减， g(x) 的最小值为 g(0) 或 g(4) ，
20、 g(x) 的最大值为 g(1) g(0) = - 1 0 ，且 A B ，3 g(1) 4 ， 1 m - 1 4 ，即 m 9 22综上所述：1 1 在区间 , e 上恒成立，求 a 的取值范围.e=ax2 - (a +1)x +1(ax -1)(x -1)【答案】() 函数 f (x) 的定义域为x x 0 , f(x) =22.xx（1） 当 a 0 时， ax -1 0 ，解得0 x 1，则函数 f (x) 的单调递增区间为(0，1)令 f (x) 1 ，函数 f (x) 单调递减区间为（1，+）.所以函数 f (x) 的单调递增区间为(0，1) ，单调递减区间为（1，+）.1（2）
21、 当0 a 1 ,令 f (x) 0 ，解得0 x 1 ，则函数 f (x) 的单调递增区间为(0，1) ；a，令 f (x) 0 ，解得1 x 1时， 0 0 ，解得0 x 1 ，则函数 f (x) 的单调递增区间为（0) ，（1，+) ；1，aa令 f (x) 0 ，解得 1 x 1.ax2 - (a +1)x +1(ax -1)(x -1)f (x) =， a 1 .x2x2令 f (x) = 0 得， x =1或 x = 1 .a若 a e ，则由 f (x) 0 得，1 x e ，函数 f (x) 在(1, e )上单调递增.由 f (x) 0 得， 1 x 1，满足条件；若1 a
22、0 得， 1 x 1 或1 x e ；ea由 f (x) 0 得， 1 x 1 .a1 11函数 f (x) 在(1, e ), ( , ) 上单调递增,在( ,1) 上单调递减.e aa1f (x)min = min f ( e), f (1)，1e2 1依题意ea ，即e +1 ，所以 2ae ； f (1) 1若 a = 1，则 f (x) 0 .1 a 21所以 f (x) 在区间 e , e 上单调递增， f (x)min =综上， a 2 .f ( ) 1，不满足条件；e1【练 1-6】（2015-2016 房山二模文 19）已知函数 f ( x) = x + ex（）求函数 f
23、( x) 的单调区间；（）若直线 y = kx 与曲线 y = f ( x) 没有公共点，求实数k 的取值范围。【答案】（） f ( x) = x + 1ex,定义域为 R1ex -1f ( x ) = 1-=，令 f ( x) = 0, 得x = 0exexx(-, 0)0(0, +)f ( x)-0+f ( x)极小值所以 f ( x) 的增区间为(0, +) ，减区间为(-, 0)。（II）因为直线 y = kx 与曲线 y = f ( x) 没有公共点，所以方程 f ( x) = kx 无实根，即 x + 1ex= kx 无实根，等价于(k -1) x ex -1 = 0 无实根设 g
24、 ( x) = (k -1) x ex -1，即 y = g ( x) 无零点。g ( x) = (k -1) ex + (k -1) x ex = ex (k -1)( x +1)x(-, -1)-1(-1, +)g ( x)-0+g ( x)极小值Z当 k = 1时， g ( x) = 0, g ( x) = -1，显然无零点，符合题意； 当 k 1时，令 g ( x) = 0,得x = -1minx(-, -1)-1(-1, +)g ( x)+0-g ( x)Z极大值g (-1)= -(k -1)e-1 -1 0 ，显然不符合题意；当 k 1 时，令 g ( x) = 0,得x = -1
25、由g (-1)max = -(k -1)e-1 -1 1-e ，所以1- e k 1时，符合题意综上所述：1- e 0 时，由 x k ,且此时 k ，可得- k .k 2 + 2kk2 + 2kk 2 + 2k令 f (x) 0 ，解得 x ，函数 f (x) 为减函数；k 2 + 2kk 2 + 2k令 f (x) 0 ，解得- x ，但 x k ，k 2 + 2k所以当- x k ， k x 时，函数 f (x) 也为增函数.所以函数 f (x) 的单调减区间为（-，-k 2 + 2k ) ，（k 2 + 2k，+) ，单调增区间为（-k 2 + 2k，k ) ，（k,k 2 + 2k
26、) .（2）当 k = 0 时，函数 f (x) 的单调减区间为（-,0)，（0,+).当 k = -2 时，函数 f (x) 的单调减区间为（-,-2)，（-2，+).当-2 k 0 时，由2k + k 2 0 ，所以函数 f (x) 的单调减区间为（-,k)，（k,+).即当-2 k 0 时，函数 f (x) 的单调减区间为（-,k)，（k,+).k 2 + 2k（3）当 k k .k 2 + 2kk2 + 2k令 f (x) 0 ，解得 x ，但 x k ，所以当 x k ，k 2 + 2kk2 + 2kk x 时，函数 f (x) 为减函数；k 2 + 2k令 f (x) 0 ，解得-
27、 x ，函数 f (x) 为增函数.k 2 + 2k所以函数 f (x) 的单调减区间为（-,k)，（k,-k 2 + 2k )，（k 2 + 2k , +) ，函数 f (x) 的单调增区间为（-k 2 + 2k ,k 2 + 2k )9 分（）（1）当 -2 k 0 时，由（）问可知，函数 f (x) 在( 3, 2 2) 上为减函数，所以不存在极值点;（2）当 k -2 时，由（）可知， f (x) 在（-k 2 + 2k ,k 2 + 2k ) 上为增函数，2在（ k 2 + 2k , +) 上为减函数.3k 2 + 2k若函数 f (x) 在区间( 3, 2 2) 上存在极值点，则解得-4 k -3或1 k 2 ,所以-4 k -3. 2，综上所述，当-4 k 0 恒成立，所以f (x) 0 x 1 ；f (x) 0 0 x 10.所以 单调增区间为(1, +) ，单调减区间为(0,1) （）若 f (
