1、椭圆题型总结 一、 椭圆的定义和方程问题(一) 定义:PA+PB=2a2c1. 命题甲:动点到两点的距离之和命题乙: 的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件2. 已知、是两个定点，且,若动点满足则动点的轨迹是（ ）A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段3. 已知、是椭圆的两个焦点, 是椭圆上的一个动点,如果延长到,使得,那么动点的轨迹是( )A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点4. 已知、是平面内的定点，并且，是内的动点，且,判断动点的轨迹.5. 椭圆上一点到焦点的距离为2，为的中点，是椭圆的中心，则的
2、值是 。(二) 标准方程求参数范围1. 若方程表示椭圆，求k的范围.（3，4）U（4，5）2. ( )A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件3. 已知方程表示焦点在Y轴上的椭圆,则实数m的范围是 . 4. 已知方程表示焦点在Y轴上的椭圆,则实数k的范围是 . 5. 方程所表示的曲线是 .6. 如果方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围。7. 已知椭圆的一个焦点为，求的值。8. 已知方程表示焦点在X轴上的椭圆,则实数k的范围是 .(三) 待定系数法求椭圆的标准方程 1. 根据下列条件求椭圆的标准方程：（1）两个焦点的坐标分别为（0，5）和（0，5），
3、椭圆上一点到两焦点的距离之和为26；（2）长轴是短轴的2倍，且过点（2，6）；（3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点,求椭圆方程.2. 以和为焦点的椭圆经过点点，则该椭圆的方程为 。3. 如果椭圆：上两点间的最大距离为8，则的值为 。4. 已知中心在原点的椭圆C的两个焦点和椭圆的两个焦点一个正方形的四个顶点，且椭圆C过点A（2，3），求椭圆C的方程。5. 已知P点在坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离为和，过点P作长轴的垂线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆方程。6. 求适合下列条件的椭圆的标准方程（1） 长轴长是短轴长的2倍，且过点；（2） 在轴上的一个焦点与短轴两端点的连线
4、互相垂直，且焦距为6.(四) 与椭圆相关的轨迹方程1. 已知动圆过定点，并且在定圆的内部与其相内切，求动圆圆心的轨迹方程.2. 一动圆与定圆内切且过定点，求动圆圆心的轨迹方程.3. 已知圆,圆，动圆与外切，与内切，求动圆圆心的轨迹方程.4. 已知，是圆（为圆心）上一动点,线段的垂直平分线交于,则动点的轨迹方程为 5. 已知三边、的长成等差数列，且点、的坐标、，求点的轨迹方程.6. 一条线段的长为，两端点分别在轴、轴上滑动 ，点在线段上，且,求点的轨迹方程.7. 已知椭圆的焦点坐标是，直线被椭圆截得线段中点的横坐标为，求椭圆方程.8. 若的两个顶点坐标分别是和，另两边、的斜率的乘积是，顶点的轨迹
5、方程为 。9. 是椭圆上的任意一点，、是它的两个焦点，为坐标原点，求动点的轨迹方程。10. 已知圆，从这个圆上任意一点向轴引垂线段，垂足为，点 在上，并且，求点的轨迹。11. 已知圆，从这个圆上任意一点向轴引垂线段，则线段的中点的轨迹方程是 。12. 已知，的周长为6，则的顶点C的轨迹方程是 。13. 已知椭圆，A、B分别是长轴的左右两个端点，P为椭圆上一个动点，求AP中点的轨迹方程。14. (五) 焦点三角形4a1. 已知、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于、两点。若，则 。2. 已知、为椭圆的两个焦点，过且斜率不为0的直线交椭圆于、两点，则的周长是 。3. 已知的顶点、在椭圆上，顶点是椭圆
6、的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长为 。(六) 焦点三角形的面积： 1. 设是椭圆上的一点，、为焦点，求的面积。2. 已知点是椭圆上的一点，、为焦点，求点到轴的距离。3. 已知点是椭圆上的一点，、为焦点，若，则的面积为 。4. 椭圆的两个焦点为、，过作垂直于轴的直线与椭圆相交，一个交点为，则 。5. 已知AB为经过椭圆的中心的弦，为椭圆的右焦点，则的面积的最大值为 。(七) 焦点三角形1. 设椭圆的两焦点分别为和，为椭圆上一点，求的最大值，并求此时点的坐标。2. 椭圆的焦点为、，点在椭圆上，若，则 ； 。3. 椭圆的焦点为、，为其上一动点，当为钝角时，点的横坐标的取值范围为 。4
7、. P为椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点。（1）若的中点是，求证：；（2）若，求的值。(八) 中心不在原点的椭圆1. 椭圆的中心为点，它的一个焦点为，相应于焦点F的准线方程为，则这个椭圆的方程是 。二、 椭圆的简单几何性质（一） 已知、求椭圆方程1 求下列椭圆的标准方程（1）； （2），一条准线方程为。2 椭圆过（3，0）点，离心率为，求椭圆的标准方程。3 椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程为？4 椭圆的对称轴为坐标轴，离心率为，两准线间的距离为4，则此椭圆的方程为？5 根据下列条件，写出椭圆的标准方程：（1） 椭圆的焦点为、，其中一条准线方
8、程是；（2） 椭圆的中心在原点，焦点在轴上，焦距为，并且椭圆和直线恰有一个公共点；（3） 椭圆的对称轴为坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆的最近距离是。6 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，右准线方程为。求椭圆的方程。答案：7 根据下列条件求椭圆的方程：（1） 两准线间的距离为，焦距为；答案：或（2） 和椭圆共准线，且离心率为；（3） 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点煌距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点。（二） 根据椭圆方程研究其性质1 已知椭圆的离心率为，求的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标。2 已知椭圆的长轴长是6
9、，焦距是，那么中心在原点，长轴所在直线与轴重合的椭圆的准线方程是 。3 椭圆的长轴长为 ，短轴长为 ，焦点坐标为 ，顶点坐标为 ，离心率为 ，准线方程为 。（三） 求离心率1 过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）2 在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，以O圆心，a为半径作圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率 。3 若椭圆的两个焦点把长轴分成三等份，则椭圆的离心率为？4 椭圆的短轴为AB，它的一个焦点为F1，则满足为等边三角形的椭圆的离心率是？5 设椭圆的右焦点为，右准线为，若过且垂直于轴的弦的长等于点到的距离，则椭圆的离心率是 。答案： 6 已知点，
10、为椭圆的左准线与轴的交点，若线段AB的中点C在椭圆上，则该椭圆的离心率为 。答案：（四） 第二定义1 设椭圆上一点P到其左焦点的距离为3，到右焦点的距离为1，则P点到右准线的距离为 2 。（五） 参数方程（六） 椭圆系1 椭圆与的关系为（ ） A相同的焦点 B。有相同的准线 C。有相等的长、短轴 D。有相等的焦距三、 直线和椭圆的位置关系 (一)判断位置关系1 当为何值时,直线和椭圆 (1)相交；(2)相切；(3)相离。2 若直线与椭圆有两个公共点，则实数的取值范围为 。 (二)弦长问题1. 已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点,交椭圆于A、B两点,求AB的弦长2. .3 设椭圆的左右两个焦点分别为、，过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆C相交，其中一个交点为。（1） 求椭圆的方程；（2） 设椭圆C的一个顶点为B（0，-b），直线交椭圆C于另一点N，求的面积。(三)点差法1. 已知一直线与椭圆 相交于、两点,弦的中点坐标为，求直线AB的方程. 2. 椭圆C以坐标轴为对称轴，并与直线l:x+2y=7相交于P、Q两点，点R的坐标为（2，5），若为等腰三角形，求椭圆C的方程。(四)向量结合(五)对称问题1. 已知椭圆，试确定m的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线对称。
