1、3.3.2 函数的极值与导数函数的极值与导数aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf(x)0f(x)0f(x)0，求得其解集，求得其解集，与定义域取与定义域取交集，交集，写出单调写出单调递增区间；递增区间；求解不等式求解不等式f(x)0f(x)0，求得其解集，求得其解集，与定义域取与定义域取交集，交集，写出单调写出单调递减区间。递减区间。注：注：单调区间不以单调区间不以“并集并集”出现。出现。本题用到一个重要的转化：本题用到一个重要的转化：0 xfmaxminmf()恒成立()()恒成立()xmf xmf xmf x已知已知f(x)在区间在区间D上单调，求上单调，求f(x)中的参数的取值
2、范中的参数的取值范围的方法为围的方法为分离参数法分离参数法;通常将通常将 (或或 )的参数分离，转化为最的参数分离，转化为最值问题，从而求出参数的取值范围，特别地，若值问题，从而求出参数的取值范围，特别地，若f(x)0 xf 0 xf 0 xf数形结合求出参数的取值范围数形结合求出参数的取值范围.为二次函数为二次函数,可以有可以有(或或)恒成立，恒成立，观察图像：观察图像：函数的极值定义函数的极值定义oxyoxyaa使函数取得极值的使函数取得极值的点点x0称为称为极值点极值点函数的极值定义函数的极值定义设函数设函数f(x)在点在点x0附近有定义，附近有定义，如果对如果对X0附近的所有点，都有附
3、近的所有点，都有f(x)f(x0),则则f(x0)是函数是函数f(x)的一个极小值，记作的一个极小值，记作y极小值极小值=f(x0)；oxyoxy0 x0 x函数的函数的极大值极大值与与极小值极小值统称统称为为极值极值.(极值即极值即峰谷处峰谷处的值）的值）使函数取得极值的使函数取得极值的点点x0称为称为极值点极值点从函数图象上看从函数图象上看,某点比附某点比附近点都近点都高高(低低),),为为极大极大(小小)值点值点.（3）极大值与极小值没有必然关系，极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小极大值可能比极小值还小.o oax1x2x3x4bxyP(x1,f(x1)y=f(x)Q(x
4、2,f(x2)（1）极值是某一点附近的小区间而言极值是某一点附近的小区间而言的的,是函数的局部性质是函数的局部性质,不是整体的最值不是整体的最值;（2）函数的极值不一定唯一函数的极值不一定唯一,在整个定义区间在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；内可能有多个极大值和极小值；理解极值概念时需注意的几点(4)极值点是函数定义域内的极值点是函数定义域内的点点，而函数定，而函数定义域的义域的端点绝不是端点绝不是函数的函数的极值点极值点(5)若若f(x)在在a，b内有极值，那么内有极值，那么f(x)在在a，b内绝不是单调函数，即在定义域区间上内绝不是单调函数，即在定义域区间上的的单调函数没有极值单调
5、函数没有极值(6)若函数若函数f(x)在在a，b上有极值，它的极值点的上有极值，它的极值点的分布是有规律的分布是有规律的(如图如图(2)所示所示)，相邻两个极大值相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点值点之间必有一个极大值点 yO探究探究1 1：极值点处导数值：极值点处导数值(即切线斜率）有何特点？即切线斜率）有何特点？结论结论:极值点处极值点处，如果有切线，切线水平的，如果有切线，切线水平的.即即:f (x)=0aby f(x)x1 x2x3f (x1)=0 f (x2)=0 f (x3)=0 思考思考:若若 f
6、 (x0)=0，则，则x0是否为是否为极值点极值点？x yO分析yx3是极值点吗？）（处，在，得由0,0003)(,)(23xfxxxfxxff(x0)=0 =0 x0 是可导函数是可导函数f(x)的极值点的极值点 结论：结论：f/(x0)=0是函数取得极值的是函数取得极值的必要不充分必要不充分条件条件观察与思考：观察与思考：极值与导数有何关系？极值与导数有何关系？对于对于可导可导函数函数,若若x0是极值点是极值点,则则 f(x0)=0;反之反之,若若f(x0)=0,则则x0不一定是极值点不一定是极值点.f (x)0 yxOx1aby f(x)极大值点两侧极大值点两侧极小值点两侧极小值点两侧
7、f (x)0 f (x)0探究探究2:2:极值点两侧导数正负符号有何规律极值点两侧导数正负符号有何规律?x2 xXx2 2 f(x)f(x)xXx1 1f(x)f(x)增增f(x)0f(x)=0f(x)0极大值极大值减减f(x)0口诀：口诀：左正右负极大值左正右负极大值左负右正极小值左负右正极小值两侧同号无极值两侧同号无极值题型题型 1 1：图像与函数的极值：图像与函数的极值1如何由如何由导函数图象导函数图象判断某点是否是极值点？判断某点是否是极值点？(2)(2)此点此点左侧在左侧在x x轴上方，右侧在轴上方，右侧在x x轴下方，即轴下方，即左上右左上右下下，则此点是，则此点是极大值点极大值点
8、；若；若左下右上左下右上，则是，则是极小值极小值点点.(1)(1)此点为导函数图象与此点为导函数图象与x x轴的轴的交点交点;必须同时满足以下两点：必须同时满足以下两点：练习：练习：下图是导函数下图是导函数 的图象的图象,试找出函数试找出函数 的极值点的极值点,并指出哪些是极大值点并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点哪些是极小值点.)(xfy)(xfy abxyx1Ox2x3x4x5x6)(xfy为极值点为极值点x2，x2x4x4为极大值点为极大值点为极小值点为极小值点3.导函数导函数y=f(x)的图像如图，在标记的图像如图，在标记的点中的点中哪一点处哪一点处（1）导函数）导函数y=f(x)有
9、极大值？有极大值？（2）导函数）导函数y=f(x)有极小值？有极小值？（3）函数）函数y=f(x)有极大值？有极大值？（4）函数）函数y=f(x)有极小值？有极小值？Y=f(x)XYOx1，x4 x2x3x5x1x2x3x4x5因为因为 所以所以例例1 求函数求函数 的极值的极值.4431)(3xxxf解解:,4431)(3xxxf.4)(2xxf令令 解得解得 或或,0)(xf,2x.2x当当 ,即即 ,或或 ;当当 ,即即 .0)(xf0)(xf2x2x22x当当 x 变化时变化时,f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表:x(,2)2(2,2)2(2,+)00f(x)(xf+单调递增单调
10、递增单调递减单调递减单调递增单调递增3/283/4所以所以,当当 x=2 时时,f(x)有极大值有极大值 28/3;当当 x=2 时时,f(x)有极小值有极小值 4/3.题型 2：求函数的极值求函数的极值.(5)(5)下结论：下结论：若导数若导数f(x)f(x)在此点附近在此点附近左正右负左正右负，则，则在此点处取得在此点处取得极大值极大值；若；若左负右正左负右正，则取得，则取得极小值极小值.求解函数极值的一般步骤：求解函数极值的一般步骤：(1)(1)确定函数的确定函数的定义域；定义域；(2)(2)求函数的导数求函数的导数f(x)f(x)；(3)(3)令令f(x)=0f(x)=0，求，求出全部
11、的出全部的根；根；(4)(4)列表列表：用方程：用方程f(x)=0f(x)=0的根，顺次将函数的定的根，顺次将函数的定义域分成若干个义域分成若干个开区间开区间，把，把x x，f(x)f(x)，f(x)f(x)在在每个区间的变化情况列在这个表格内；每个区间的变化情况列在这个表格内；解解.593)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)(xf列表讨论列表讨论x)1,(),3()3,1(1 3)(xf )(xf 00 极大值极大值极小值极小值)3(f极小值极小值.22 )1(f极大值极大值,10)3)(1(3 xx121,3.xx得极值点练习：练习：593)(2
12、3 xxxxfMm图形如下图形如下-4-2246-60-40-20204060-13xyo1yxxxX1+0-0+极大值极大值极小值极小值()fx()f x所以，当所以，当x=-1是，函数的极大值是是，函数的极大值是-2，当，当x=1时，函数的时，函数的极小值是极小值是22221,011()1()01xxxxfxfxxxxx 解：f(x)=所以，时，当 变化时，f(x),f(x)变化如下表导函数的正负是交替出现的吗？不是不是练习练习求下列函数的极值求下列函数的极值:;27)()2(;26)()1(32xxxfxxxf.3)()4(;126)()3(33xxxfxxxf解解:,112)()1(x
13、xf令令 解得解得 列表列表:,0)(xf.121xx0f(x)(xf+单调递增单调递增单调递减单调递减)121,(),121(1212449所以所以,当当 时时,f(x)有极小值有极小值121x.2449)121(f求下列函数的极值求下列函数的极值:;27)()2(;26)()1(32xxxfxxxf.3)()4(;126)()3(33xxxfxxxf解解:,0273)()2(2xxf令解得解得 列表列表:.3,321xxx(,3)3(3,3)3(3,+)00f(x)(xf+单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增5454所以所以,当当 x=3 时时,f(x)有极大值有极大值 54;
14、当当 x=3 时时,f(x)有极小值有极小值 54.练习练习求下列函数的极值求下列函数的极值:;27)()2(;26)()1(32xxxfxxxf.3)()4(;126)()3(33xxxfxxxf解解:,0312)()3(2xxf令解得解得 .2,221xx所以所以,当当 x=2 时时,f(x)有极小值有极小值 10;当当 x=2 时时,f(x)有极大值有极大值 22.,033)()4(2xxf令解得解得 .1,121xx所以所以,当当 x=1 时时,f(x)有极小值有极小值 2;当当 x=1 时时,f(x)有极大值有极大值 2.练习练习 例例3已知f(x)ax3bx2cx(a0)在x1时取
15、得极值，且f(1)1，(1)试求常数a、b、c的值；(2)试判断x1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由 解析(1)由f(1)f(1)0，得3a2bc0,3a2bc0.又f(1)1，abc1.待定系数法待定系数法方程思想方程思想 cbxaxxf232题型题型3：已知函数的极值求参数已知函数的极值求参数 点评若函数f(x)在x0处取得极值，则一定有f(x0)0，因此我们可根据极值得到一个方程，来解决参数1.1.已知函数已知函数32()f xaxbxcx在点在点 处取得极大值处取得极大值5,其导函数其导函数 的图像的图像(如图如图)过点（过点（1,0）,（2,0）,求：求：（1）的值；（的值；（
16、2）a,b,c的值；的值；0 x0 x(1)由图像可知：由图像可知：10 x2,9,12abc)0(23(2/acbxaxxf）5)1(cbaf0412)2(023)1(/cbafcbaf (2)待定系数法待定系数法方程思想方程思想练习：函数函数 在在 时有极值时有极值1010，则，则a，b的值为（的值为（）A A、或或 B B、或或C C、D D、以上都不对以上都不对 223)(abxaxxxf 1 x3,3 ba11,4 ba1,4 ba11,4 ba11,4 baC，解解:由题设条件得：由题设条件得：0)1(10)1(/ff 0231012baaba解之得解之得 11433baba或或通
17、过验证，都合要求，故应选择通过验证，都合要求，故应选择A。注意：注意：f/(x0)=0是函数取得极值的必要不充分条件是函数取得极值的必要不充分条件注意代注意代入检验入检验 2.3.已知函数已知函数 在在 处取得处取得极值。（极值。（1）求函数）求函数 的解析式（的解析式（2）求函数）求函数 的单的单调区间调区间 322f xaxbxx2,1xx f x f x f x f x解：解：（1）在在 取得极值取得极值,即即 解得解得 （2），由由 得得 的单调增区间为的单调增区间为 由由 得得 的单调减区间为的单调减区间为 2322fxaxbx f x2,1xx 124203220abab11,32
18、ab 3211232fxxxx 22fxxx 0fx 12xx 或 0fx 21x)1,2(,2,1,0)1(,0)2(fff(x0)=0 =0 x0 是可导函数是可导函数f(x)的极值点的极值点 注意：注意：f/(x0)=0是函数取得极值的是函数取得极值的必要不充分必要不充分条件条件极值定义极值定义如何由如何由导函数图象导函数图象判断某点是否是极值点？判断某点是否是极值点？(2)(2)此点此点左侧在左侧在x x轴上方，右侧在轴上方，右侧在x x轴下方，即轴下方，即左上右左上右下下，则此点是，则此点是极大值点极大值点；若；若左下右上左下右上，则是，则是极小值极小值点点.(1)(1)此点为导函数
19、图象与此点为导函数图象与x x轴的轴的交点交点;必须同时满足以下两点：必须同时满足以下两点：(5)(5)下结论：下结论：若导数若导数f(x)f(x)在此点附近在此点附近左正右负左正右负，则，则在此点处取得在此点处取得极大值极大值；若；若左负右正左负右正，则取得，则取得极小值极小值.求解函数极值的一般步骤：求解函数极值的一般步骤：(1)(1)确定函数的确定函数的定义域；定义域；(2)(2)求函数的导数求函数的导数f(x)f(x)；(3)(3)令令f(x)=0f(x)=0，求，求出全部的出全部的根；根；(4)(4)列表列表：用方程：用方程f(x)=0f(x)=0的根，顺次将函数的定的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，把义域分成若干个开区间，把x x，f(x)f(x)，f(x)f(x)在在每个区间的变化情况列在这个表格内；每个区间的变化情况列在这个表格内；5个步骤：个步骤：
