1、 在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？几何体表面积几何体表面积展开图展开图平面图形面积平面图形面积空间问题空间问题平面问题平面问题棱柱侧面的展开图棱柱侧面的展开图aS表=S底+S侧平行四边形组成平行四边形组成棱锥侧面展开图棱锥侧面展开图三角形组成三角形组成S表=S底+S侧梯形组成梯形组成棱台侧面展开图棱台侧面展开图S表=S底+S侧 棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算
2、它们的体，它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和。积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和。已知棱长为已知棱长为a，各面均为等边三角形的四，各面均为等边三角形的四面体面体S-ABC，求它的表面积，求它的表面积。DBCAS分析：分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成。四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成。因为因为BC=a，a23sin60SBSD所以：所以：2ABCa43a23a21SDBC21S因此，四面体因此，四面体S-ABC 的表面积：的表面积：解：解：先求先求SBC的面积，的面积，过过S作作SDBC，交交BC于于点点D。22a
3、3a434S例例1练习1.已知三棱台的上下底面均为正三角形，边长已知三棱台的上下底面均为正三角形，边长分别为分别为3cm和和9cm，侧面是全等的等腰梯形，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长为侧棱长为5cm，求它的表面积。，求它的表面积。45 3722思考？思考？如何根据圆柱、圆锥的几何如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？结构特征，求它们的表面积？圆柱的表面积圆柱的表面积)(2222lrrrlrS 圆柱表面积圆柱表面积圆柱的侧面展开图是矩形圆柱的侧面展开图是矩形r 2OO r圆锥的侧面展开图是扇形圆锥的侧面展开图是扇形2()Srrlr rl圆锥表面积圆锥的表面积圆锥的表面积rr 2l圆台
4、的侧面展开图是扇环圆台的侧面展开图是扇环)(22rllrrrS 圆台表面积圆台表面积圆台的表面积圆台的表面积rlr圆柱、圆锥、圆台表面积侧面展开图侧侧面积表面积rllrS22侧rllrS221侧)(2lrrS)(lrrS1(2 2)2()Srrlrr l侧)(22rllrrrSlrrr上底扩大上底扩大r0上底缩小上底缩小探究探究OO rrOOllOr 圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有圆柱、圆锥、圆台三者的表面积公式之间有什么关系？什么关系？l)r(rS锥rl)lrrr(S22台S2r(rl)一个圆台形花盆盆口直径一个圆台形花盆盆口直径20 cm，盆底直径，盆底直径为为15cm，底部渗水圆
5、孔直径为，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁，盆壁长长15cm。那么。那么花盆的表面积约是多少平方厘米（花盆的表面积约是多少平方厘米（取取3.14，结果精确，结果精确到到1 cm2）？cm15cm20cm15解：解：由圆台的表面积公式得由圆台的表面积公式得 花盆的表面积：花盆的表面积：2221.51522015215215S)999(cm2答：花盆的表面积约是答：花盆的表面积约是999 2cm例例22.已知圆锥的底面半径为已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为，母线长为3cm。它的展开图的形状为。它的展开图的形状为_。该。该图形的弧长为图形的弧长为_cm，半径为，半径为_cm，所以圆锥的侧面积
6、为所以圆锥的侧面积为_cm2。扇形634扇形面积公式扇形面积公式rlS21练习3.已知圆台的上底面半径为已知圆台的上底面半径为r=1,且侧面积等于且侧面积等于两底面面积之和，母线长为两底面面积之和，母线长为l=5/2,求下底面求下底面半径半径r。圆台侧面积公式圆台侧面积公式()Srr l侧练习r=3柱体、锥体、台体、球体的体积柱体、锥体、台体、球体的体积提问：提问：对几何体的体积你有哪些认识？对几何体的体积你有哪些认识？体积相等的几何体叫等积体，等积体不一定形状相同体积相等的几何体叫等积体，等积体不一定形状相同几何体占有空间部分的大小，就是几何体的体积几何体占有空间部分的大小，就是几何体的体积
7、完全相同的几何体的体积相等完全相同的几何体的体积相等小实验“幂势既同，则积不容异”祖暅原理：祖暅原理：夹在两个平行平面间的两个几何体，如果夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任何平面所截得的两个被平行于这两个平面的任何平面所截得的两个截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积截面的面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。相等。PQ柱体体积公式SSS等底等高的柱体等体积 柱体的体积公式柱体的体积公式：ShV柱体S是柱体的底面积，h是柱体的高 锥体体积公式等底等高的棱锥与圆锥体积相同等底等高的棱锥与圆锥体积相同 ABCACB把三棱锥把三棱锥以以ABCABC为为底面、底面、AAAA
8、1 1为侧棱补为侧棱补成一个三成一个三棱柱棱柱ABCACB连接连接BC,BC,然后然后把这个三棱柱把这个三棱柱分割成三个三分割成三个三棱锥棱锥 就是三棱锥就是三棱锥1 1 和另两个三棱和另两个三棱 锥锥2 2、3 323 就是三棱锥就是三棱锥1 1 和另两个三棱和另两个三棱 锥锥2 2、3 3BCABCACBABCABCABCACBABCABCABCACBABCABCABCACBABCABCABCACBABCABCABCACBABCA23CACB3ABCA1BCAB2BCAB2ABCA1BCAB2ABCA1三棱锥三棱锥1 1、2 2的底的底ABAABA、BABBAB的面积相等，的面积相等，高也
9、相等（顶点都是高也相等（顶点都是C C）。A1BCAB2BCAB2ABCA1BCAB2ABCA1高高BCAB2CACB3ABCA1三棱锥1、2的底ABA、BAB的面积相等。ABCA1CACB3BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2BCAB2三棱锥三棱锥2 2、3 3的底的底BCBBCB、CBCCBC的面积相等。的面积相等。高也相等（顶点都是高也相等（顶点都是AA）。）。高高 如果三棱锥的底面积是如果三棱锥的底面积是S S，高是高是h h，那么那么 它的体积是它的体积是 V V三棱锥三棱锥 ShShABCA131CACB3BCAB2V1V2V3 V三棱柱
10、31V V三棱锥三棱锥 ShSh31三棱锥的体积三棱锥的体积S是三棱锥的底面积，是三棱锥的底面积，h是高是高台体体积公式 由于圆台由于圆台(棱台棱台)是由圆锥是由圆锥(棱棱锥锥)截成的，因此可以利用两个锥截成的，因此可以利用两个锥体的体积差得到圆台体的体积差得到圆台(棱台棱台)的的体积公式体积公式ABABCDCDPSShDCBAPABCDPVVVhSSSS)(31台体的体积公式台体的体积公式hSSSSV)(31 其中其中 ，分别为上、下底面面积，分别为上、下底面面积，h为台体为台体的高的高SS 有有一堆规格相同的铁制（铁的一堆规格相同的铁制（铁的密密是是 ）六）六角螺帽共重角螺帽共重5.8kg
11、，已知底面是正六边形，边长为，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为，内孔直径为10mm，高为，高为10mm，问这，问这堆螺帽堆螺帽大约有多少个（大约有多少个（取取3.14）？）？37.8g/cm例例3 解：解：六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱六角螺帽的体积是六棱柱的体积与圆柱体积之差，体积之差，即即:10)210(3.141061243V22)2956(mm3)2.956(cm3所以螺帽的个数为所以螺帽的个数为2522.956)(7.810005.8（个）（个）答：这堆螺帽大约有答：这堆螺帽大约有252个个球体体积公式Rrlo设球的半径为设球的半径为R,R,截面半径为截面半径为r,
12、r,平平面面 与截面的距离为与截面的距离为l,l,那么那么 r=r=22lR因此 S圆=2r=()22lR=2R2lllollRrlo设球的半径为R,截面半径为r,平面与截面的距离为l,那么 r r=22lR因此 S圆=2r=()22lR=2R2loRrlo设球的半径为R,截面半径为r,平面与截面的距离为那么 r r=22lR因此 S圆=2r=()22lR=2R2loO1LPNKlBO2S圆环=2R2l圆环面积S圆=S圆环 根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，即V球=312 RRRR 2=323R21所以 V球=343R球体的体积公式343RV球=例例4 4、如图如图,圆柱的底面直径与高都等
13、于球的直径圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证求证:(1):(1)球的表面积等于圆柱的侧面积球的表面积等于圆柱的侧面积.(2)(2)球的表面积等于圆柱全面积的三分之二球的表面积等于圆柱全面积的三分之二.O O证明证明:R R(1)(1)设球的半径为设球的半径为R,R,24RS球球得得:则圆柱的底面半径为则圆柱的底面半径为R,R,高为高为2R.2R.2422RRRS圆圆柱柱侧侧圆圆柱柱侧侧球球SS(2)(2)24RS球球圆圆柱柱全全球球SS32222624RRRS圆柱全圆柱全Q例例5.5.如图，正方体的棱长为如图，正方体的棱长为a,a,它的各个顶点都它的各个顶点都在球的球面上，求球的表面积和体
14、积。在球的球面上，求球的表面积和体积。分析：正方体内接于球，则由球和正方分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体合，则正方体体对角线体对角线与球的与球的直径直径相等。相等。两个几何体相接两个几何体相接:一个几何体的所有顶点都一个几何体的所有顶点都 在另一在另一个几何体的表面上。个几何体的表面上。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O323334222322343)2(aRVaRSaRaR 且 对角线长对角线长 球的直径等于正方体的体球的直径等于正方体的体 正方体内接于球正方体内接于
15、球解：解：QQ(变式变式)球的内接长方体的长、宽、高分别为球的内接长方体的长、宽、高分别为3、2、,求此球体的表面积和体积。求此球体的表面积和体积。分析：长方体内接于球，则由分析：长方体内接于球，则由球和长方体都是中心对称图形球和长方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则长方可知，它们中心重合，则长方体体体对角线体对角线与球的与球的直径直径相等。相等。333233422222164216)3(23)2(RVRSRR且体对角线长体对角线长球的直径等于长方体的球的直径等于长方体的长方体内接于球长方体内接于球解：QQOABCO 例例6、已知过球面上三点已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到
16、球心O的距的距离等于球半径的一半，且离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的，求球的体积、表面积体积、表面积解：如图，设球解：如图，设球O半径为半径为R，截面截面 O的半径为的半径为r，r332AB2332AO 是正三角形，是正三角形，ABCROO,2 Q.34R .96491644S2 R,)332()2R(R222 OABCO 222,Rt OOAOAOOOAQ在中;81256)34(343433 RV例例6、已知过球面上三点已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距的距离等于球半径的一半，且离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=cm，求球的，求球的体积、表面积。体积、表面积。
