1、第14讲 二次函数的应用上一页下一页返回导航命题点1 二次函数的实际应用1(2020南充)某工厂计划在每个生产周期内生产并销售完某型设备，设备的生产成本为10万元/件(1)如图，设第x(0 x20)个生产周期设备售价z万元/件，z与x之间的关系用图中的函数图象表示求z关于x的函数解析式(写出x的范围)体 验 南 充 中 考 真 题上一页下一页返回导航(2)设第x个生产周期生产并销售的设备为y件，y与x满足关系式y5x40(0 x20)在(1)的条件下，工厂第几个生产周期创造的利润最大？最大为多少万元？(利润收入成本)上一页下一页返回导航解：(1)由图可知，当0 x12时，z16；当12x20时
2、，z是关于x的一次函数，设zkxb，上一页下一页返回导航(2)设第x个生产周期工厂创造的利润为w万元，当0 x12时，w(1610)(5x40)30 x240，由一次函数的性质可知，当x12时，w最大值3012240600；上一页下一页返回导航当12x20时，w(1/4x1910)(5x40)5/4x235x3605/4(x14)2605.5/40，当x14时，w最大值605.综上所述，工厂第14个生产周期创造的利润最大，最大为605万元上一页下一页返回导航2(2019南充)在“我为祖国点赞”征文活动中，学校计划对获得一、二等奖的学生分别奖励一支钢笔，一本笔记本已知购买2支钢笔和3个笔记本共3
3、8元，购买4支钢笔和5个笔记本共70元(1)钢笔、笔记本的单价分别为多少元？(2)经与商家协商，购买钢笔超过30支时，每增加一支，单价降低0.1元；超过50支，均按购买50支的单价销售笔记本一律按原价销售学校计划奖励一、二等奖学生共计100人，其中一等奖的人数不少于30人，且不超过60人，这次奖励一等学生多少人时，购买奖品金额最少，最少为多少元？上一页下一页返回导航解：(1)设钢笔、笔记本的单价分别为x元、y元根据题意，得答：钢笔、笔记本的单价分别为10元，6元(2)设钢笔单价为a元，购买数量为b支，支付钢笔和笔记本总金额为w元当30b50时，a100.1(b30)0.1b13，wb(0.1b
4、13)6(100b)上一页下一页返回导航0.1b27b6000.1(b35)2722.5.当b30时，w720，当b50时，w700，当30b50时，700w722.5.当50b60时，a8，w8b6(100b)2b600.700w720，当30b60时，w的最小值为700元，当一等奖学生为50人时花费最少，最少为700元上一页下一页返回导航3(2013南充)某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系：(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为
5、多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？上一页下一页返回导航解：(1)设y与x之间的函数关系式为ykxb(k0)由所给函数图象，得函数关系式为yx180.(2)W(x100)y(x100)(x180)x2280 x18000(x140)21600，当x140时，W最大1600.售价定为140元/件时，每天获得的利润最大，最大利润是1600元上一页下一页返回导航4(2020遂宁)新学期开始时，某校九年级一班的同学为了增添教室绿色文化，打造温馨舒适的学习环境，准备到一家植物种植基地购买A、B两种花苗据了解，购买A种花苗3盆，B种花苗5盆，则需210元；购买A种花苗4盆，B种花苗10盆，则需
6、380元(1)求A、B两种花苗的单价分别是多少元？(2)经九年级一班班委会商定，决定购买A、B两种花苗共12盆进行搭配装扮教室种植基地销售人员为了支持本次活动，为该班同学提供以下优惠：购买几盆B种花苗，B种花苗每盆就降价几元请你为九年级一班的同学预算一下，本次购买至少准备多少钱？最多准备多少钱？变式训练上一页下一页返回导航解：(1)设A、B两种花苗的单价分别是x元和y元根据题意，得答：A、B两种花苗的单价分别是20元和30元(2)设购买B花苗x盆，则购买A花苗为(12x)盆，设总费用为w元根据题意，得w20(12x)(30 x)x，即wx210 x240(0 x12)10，w有最大值，当x5时
7、，w的最大值为265；当x12时，w的最小值为216.答：本次购买至少准备216元，最多准备265元上一页下一页返回导航命题点2 二次函数的综合应用(必考)5(2020南充)已知二次函数图象过点A(2，0)，B(4，0)，C(0，4)(1)求二次函数的解析式；(2)如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得BMC90？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由(3)点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角，且tan5/3，求点K的坐标上一页下一页返回导航解：(1)二次函数图象过点B(4，0)，点A(2，0)，设二次函数的解析式为ya(x2)(x4)二次
8、函数图象过点C(0，4)，4a(02)(04)，a1/2，二次函数的解析式为y1/2(x2)(x4)，即y1/2 x2x4.上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航6(2019南充)如图，抛物线yax2bxc与x轴交于点A(1，0)，点B(3，0)，且OBOC.(1)求抛物线的解析式；(2)点P在抛物线上，且POBACB，求点P的坐标；(3)抛物线上两点M，N，点M的横坐标为m，点N的横坐标为m4.点D是抛物线上M，N之间的动点，过点D作y轴的平行线交MN于点E.求DE的最大
9、值；点D关于点E的对称点为F.当m为何值时，四边形MDNF为矩形？上一页下一页返回导航解：(1)抛物线与x轴交于点A(1，0)，点B(3，0)，设交点式ya(x1)(x3)，OCOB3，点C在y轴负半轴，C(0，3)把点C代入抛物线解析式，得3a3，a1.抛物线解析式为y(x1)(x3)，即yx24x3.(2)如图1，过点A作AGBC于点G，过点P作PHx轴于点H，AGBAGCPHO90.ACBPOB，ACGPOH.上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航当p3或1p0时，点P在点B左侧或在AC之间，横纵坐标均为负数，OHp，PH(p24p3)p24p3，p2(p24p3)，当3p1或p0时，
10、点P在AB之间或在点C右侧，横纵坐标异号，p2(p24p3)，上一页下一页返回导航解得p12，p23/2，P(2，1)或(3/2，3/4)综上所述，点P的坐标为(2，1)或(3/2，3/4)或(3)如图2，xm4时，y(m4)24(m4)3m212m35，M(m，m24m3)，N(m4，m212m35)设直线MN解析式为ykxn，上一页下一页返回导航直线MN：y(2m8)xm24m3.设D(t，t24t3)(mtm4)，DEy轴，xExDt，Et，(2m8)tm24m3，DEt24t3(2m8)tm24m3上一页下一页返回导航t2(2m4)tm24mt(m2)24，当tm2时，DE最大，最大值
11、为4.如图3，D、F关于点E对称，DEEF.四边形MDNF是矩形，MNDF，且MN与DF互相平分，DE1/2MN，E为MN中点，上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航7(2018南充)如图，抛物线顶点P(1，4)，与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A，B.(1)求抛物线的解析式；(2)Q是抛物线上除点P外一点，BCQ与BCP的面积相等，求点Q的坐标；(3)若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E.是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由上一页下一页返回导航解：(1)设ya(x1)24(a0)，
12、把C(0，3)代入抛物线解析式，得a43，即a1，则抛物线解析式为y(x1)24x22x3.(2)由B(3，0)，C(0，3)，得到直线BC解析式为yx3.SOBCSQBC，PQBC，过P作PQ1BC，交抛物线于点Q1，如图1所示P(1，4)，直线PQ1解析式为yx5.上一页下一页返回导航即Q1(2，3)设对称轴交BC于G，则G的坐标为(1，2)，PGGH2，过H作直线Q2Q3BC，交x轴于点H，则直线Q2Q3解析式为yx1.上一页下一页返回导航(3)存在点M，N使四边形MNED为正方形，如图2所示过M作MFy轴，过N作NFx轴，过N作NHy轴，则有MNF与NEH都为等腰直角三角形设M(x1，
13、y1)，N(x2，y2)，设直线MN解析式为yxb，上一页下一页返回导航消去y，得x23xb30，NF2|x1x2|2(x1x2)24x1x2214b.MNF为等腰直角三角形，MN22NF2428b.NH2(b3)2，NE21/2(b3)2.MNF为等腰直角三角形，MN22NF2428b.上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航8(2020内江)如图，抛物线yax2bxc经过A(1，0)、B(4，0)、C(0，2)三点，点D(x，y)为抛物线上第一象限内的一个动点(1)求抛物线所对应的函数表达式；(2)当BCD的面积为3时，求点D的坐标；(3)过点D作DEBC，垂足为点E，是否存在点D，使得C
14、DE中的某个角等于ABC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由延伸训练上一页下一页返回导航解：(1)将A(1，0)、B(4，0)、C(0，2)代入yax2bxc，得(2)方法一：如图1，过D作DMBC交y轴于M，设点M的坐标为(0，m)BCD的面积为3，BCM的面积为3，3241.5，则m21.57/2，M(0，7/2)上一页下一页返回导航点B(4，0)，C(0，2)，直线BC的解析式为y1/2 x2，直线DM的解析式为y1/2 x7/2，联立直线DM及抛物线解析式成方程组，得点D的坐标为(3，2)或(1，3)上一页下一页返回导航方法二：如图2，过D作DGx轴，垂足为G点，与BC
15、交于K点，设D(a，b)(其中a0，b0)，K(a，2a/2)，DKb2a/2，SBCDSCDKSBDK1/24(b2a/2)2b4a3，2ba7.D在抛物线y1/2 x23/2 x2上，b1/2 a23/2 a2，a24a30，(a1)(a3)0，a1或3.上一页下一页返回导航当a1时，b3，当a3时，b2，点D的坐标为(3，2)或(1，3)(3)存在分两种情况考虑：当DCE2ABC时，取点F(0，2)，连接BF，如图3所示OCOF，OBCF，ABCABF，CBF2ABC.DCB2ABC，DCBCBF，CDBF.点B(4，0)，F(0，2)，上一页下一页返回导航直线BF的解析式为y1/2 x
16、2，直线CD的解析式为y1/2 x2.联立直线CD及抛物线的解析式成方程组，得点D的坐标为(2，3)当CDE2ABC，过点D作MDx轴交y轴于点N，交BC的延长线于点M，上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航解得n10(舍去)，n229/11.点D的横坐标为29/11.综上所述：存在点D，使得CDE的某个角恰好等于ABC的2倍，点D的横坐标为2或29/11.上一页下一页返回导航焦点1 二次函数的实际应用样题1某商店购进一批成本为每件30元的商品，商店按单价不低于成本价，且不高于50元销售经调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，其图象如
17、图所示重点难点 素养拓展上一页下一页返回导航(1)求该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w(元)最大？最大利润是多少？(3)若商店要使销售该商品每天获得的利润高于800元，请直接写出每天的销售量y(件)的取值范围上一页下一页返回导航分析(1)将点(30，100)、(45，70)代入一次函数表达式ykxb，即可求解；(2)由题意，得w(x30)(2x160)2(x55)21250，即可求解；(3)由题意，令(x30)(2x160)800，结合二次函数的图象和性质及x的取值范围，求出方程的解，即可得到结论上一页下一
18、页返回导航解答解：(1)设y与x之间的函数关系式为ykxb，将点(30，100)、(45，70)代入一次函数表达式，得该商品每天的销售量y与销售单价x之间的函数关系式为y2x160(30 x50)(2)由题意，得w(x30)(2x160)2(x55)21250.上一页下一页返回导航20，故当x55时，w随x的增大而增大，而30 x50，当x50时，w有最大值，此时w1200.答：销售单价定为50元时，该超市每天的利润最大，最大利润是1200元(3)由题意，令(x30)(2x160)800，解得x140，x270.又30 x50，根据二次函数的图象和性质，可得销售单价x的取值范围为40 x50，
19、当x40时，y24016080，当x50时，y25016060，上一页下一页返回导航60y80，每天的销售量应为不少于60件而少于80件上一页下一页返回导航1(2020成都)在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售调查发现，线下的月销量y(单位：件)与线下售价x(单位：元/件，12x24)满足一次函数的关系，部分数据如下表：变式训练x(元/件)1213141516y(件)120011001000900800上一页下一页返回导航(1)求y与x的函数关系式；(2)若
20、线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件试问：当x为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润x(元/件)1213141516y(件)120011001000900800上一页下一页返回导航解：(1)y与x满足一次函数的关系，设ykxb，将x12，y1200；x13，y1100代入，得y与x的函数关系式为y100 x2400.(2)设线上和线下月利润总和为m元，则m400(x210)y(x10)400 x4800(100 x2400)(x10)100(x19)27300，上一页下一页返回导航当x为19元/件时，线上和线下月利润总和达到最大，此时的最大利润为7
21、300元上一页下一页返回导航焦点2 二次函数的综合应用样题如图，抛物线yax2bxc与坐标轴分别交于点A(0，6)、B(6，0)、C(2，0)，点P是线段AB上方抛物线上的一个动点(1)求抛物线的解析式；上一页下一页返回导航(2)当点P运动到什么位置时，PAB的面积有最大值？(3)过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P作PEx轴交抛物线于点E，连接DE，请问是否存在点P使PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航(3)若PDE为等腰直角三角形，则PDPE，设点P的横坐标为a，表示出PD、PE的长，列出关于a的方程，解之可得
22、答案上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航点评本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点上一页下一页返回导航变 式 训 练上一页下一页返回导航(2)若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当PAB面积最大时，求点P的坐标及PAB面积的最大值；(3)在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航上一页下一页返回导航提 升 数 学 核 心 素 养
