1、3.2.3直线与平面的夹角3.2.4二面角及其度量学习目标1.理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合 理性.2.会求直线与平面的夹角.3.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图 形中的二面角的平面角.4.掌握求二面角的基本方法、步骤.题型探究问题导学内容索引当堂训练问题导学知识点一直线与平面所成的角思考斜线和平面所成的角具有什么性质？答案斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角，且cos cos 1cos 2.(如图)梳理梳理(1)直线与平面所成的角90O0O射影(2)最小角定理cos cos 1 cos 2射影最小的角知识点二
2、二面角及理解思考如何找二面角的平面角？答案定义法由二面角的平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上一个特殊点，求解用到的是解三角形的有关知识.(2)垂面法作(找)一个与棱垂直的平面，与两面的交线就构成了平面角.(3)三垂线定理(或逆定理)作平面角，这种方法最为重要，其作法与三垂线定理(或逆定理)的应用步骤一致.梳理梳理(1)二面角的概念二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面.从一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角.如图所示，其中，直线l叫做二面角的 ，每个半平面叫做二面角的 ，如图中的，.两个半平面棱面二面角的记法：棱为l，两个面分别为，的二面角
3、，记作l.如图，A，B，二面角也可以记作AlB，也可记作2l.二面角的平面角：在二面角l的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OAl，OBl，则AOB叫做二面角l的平面角，如图所示.由等角定理知，这个平面角与点O在l上的位置无关.直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角.二面角的范围是0，180.(2)用向量夹角来确定二面角性质及其度量的方法如图，分别在二面角l的面，内，并沿，延伸的方向，作向量n1l，n2l，则n1，n2等于该二面角的平面角.如图，设m1，m2，则角m1，m2与该二面角大小相等或互补.题型探究类型一求直线与平面的夹角解答建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B
4、(0，a,0)，方法一取A1B1的中点M，则MC1AB，MC1AA1.又ABAA1A，MC1平面ABB1A1.C1AM是AC1与侧面ABB1A1所成的角.又直线与平面所成的角在0，90范围内，AC1与侧面ABB1A1所成的角为30.设侧面ABB1A1的法向量为n(，y，z)，yz0.故n(，0,0).又直线与平面所成的角在0，90范围内，AC1与侧面ABB1A1所成的角为30.用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角.方法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算.反思与感悟跟踪训练跟踪训练1如图所示
5、，已知直角梯形ABCD，其中ABBC2AD，AS平面ABCD，ADBC，ABBC，且ASAB.求直线SC与底面ABCD的夹角的余弦值.解答由题设条件知，以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(如图所示).0，90，类型二求二面角例例2在底面为平行四边形的四棱锥P-ABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，E是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD的夹角.解答方法一如图，以A为原点，分别以AC，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.设PAABa，ACb，连接BD与AC交于点O，取AD中点F，连接EF，EO，FO，则C(b
6、,0,0)，B(0，a,0).EOF等于平面EAC与平面ABCD的夹角(或补角).平面EAC与平面ABCD的夹角为45.方法二建系如方法一，PA平面ABCD，设平面AEC的法向量为m(x，y，z).x0，yz.取m(0,1,1)，平面EAC与平面ABCD的夹角为45.反思与感悟(1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角.只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的.(2)注意法向量的方向：一进一出，二面
7、角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角.解答如图所示建立空间直角坐标系，设平面PAB的法向量为m(x，y，z)，设平面PBC的法向量为n(x，y，z)，令y1，则z1，故n(0，1，1)，当堂训练1.在三棱柱ABCA1B1C1中，底面是棱长为1的正三角形，侧棱AA1底面ABC，点D在棱BB1上，且BD1，若AD与平面AA1C1C所成的角为，则sin 的值是答案解析2341如图所示，建立坐标系，平面AA1C1C的一个法向量是n(1，0,0)，23412.已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角为_.答案解析45或135设二面角的平面角为，2
8、3413.正四面体ABCD中棱AB与底面BCD所成角的余弦值为_.答案解析作AO底面BCD，垂足为O，O为BCD的中心，23414.已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为_.答案解析2341设平面ABC的法向量为n(x，y，z).2341规律与方法1.线面角可以利用定义在直角三角形中解决.2.线面角的向量求法：设直线的方向向量为a，平面的法向量为n，直线与平面所成的角为，则sin|cosa，n|.本课结束仅做学习交流，谢谢！仅做学习交流，谢谢！语文：初一新生使用的是教育部编写的教材，也称“部编”教材。“部编本”是指由教育部直接
9、组织编写的教材。“部编本”除了语文，还有德育和历史。现有的语文教材，小学有12种版本，初中有8种版本。这些版本现在也都做了修订，和“部编本”一同投入使用。“部编本”取代原来人教版，覆盖面比较广，小学约占50%，初中约占60%。今秋，小学一年级新生使用的是语文出版社的修订版教材，还是先学拼音，后学识字。政治：小学一年级学生使用的教材有两个版本，小学一年级和初一的政治教材不再叫思想品德，改名为道德与法治。历史：初一新生使用华师大版教材。历史教材最大的变化是不再按科技、思想、文化等专题进行内容设置，而是以时间为主线，按照历史发展的时间顺序进行设置。关于部编版，你知道多少？为什么要改版？跟小编一起来了
10、解下吧！一新教材的五个变化一、入学以后先学一部分常用字，再开始学拼音。汉字是生活中经常碰到的，但拼音作为一个符号，在孩子们的生活中接触、使用都很少，教学顺序换一换，其实是更关注孩子们的需求了。先学一部分常用常见字，就是把孩子的生活、经历融入到学习中。二、第一册识字量减少，由400字减少到300字。第一单元先学40个常用字，比如“地”字，对孩子来说并不陌生，在童话书、绘本里可以看到，电视新闻里也有。而在以前，课文选用的一些结构简单的独体字，比如“叉”字，结构比较简单，但日常生活中用得不算多。新教材中，增大了常用常见字的比重，减少了一些和孩子生活联系不太紧密的汉字。三、新增“快乐阅读吧”栏目，引导
11、学生开展课外阅读。教材第一单元的入学教育中，有一幅图是孩子们一起讨论西游记等故事，看得出来，语文学习越来越重视孩子的阅读表达，通过读故事、演故事、看故事等，提升阅读能力。入学教育中第一次提出阅读教育，把阅读习惯提升到和识字、写字同等重要的地位。四、新增“和大人一起读”栏目，激发学生的阅读兴趣，拓展课外阅读。有家长担心会不会增加家长负担，其实这个“大人”包含很多意思，可以是老师、爸妈、爷爷、奶奶、外公、外婆等，也可以是邻居家的小姐姐等。每个人讲述一个故事，表达是不一样的，有人比较精炼，有人比较口语化，儿童听到的故事不同，就会形成不同的语文素养。五、语文园地里，新增一个“书写提示”的栏目。写字是有
12、规律的，一部分字有自己的写法，笔顺都有自己的规则，新教材要求写字的时候，就要了解一些字的写法。现在信息技术发展很快，孩子并不是只会打字就可以，写字也不能弱化。二为什么要先识字后学拼音？一位语文教研员说，孩子学语文是母语教育，他们在生活中已经认了很多字了，一年级的识字课可以和他们之前的生活有机结合起来。原先先拼音后识字，很多孩子觉得枯燥，学的时候感受不到拼音的用处。如果先接触汉字，小朋友在学拼音的过程中会觉得拼音是有用的，学好拼音是为了认识更多的汉字。还有一位小学语文老师说：“我刚刚教完一年级语文，先学拼音再识字，刚进校门的孩子上来就学，压力会比较大，很多孩子有挫败感，家长甚至很焦急。现在让一年
13、级的孩子们先认简单的字，可以让刚入学的孩子们感受到学习的快乐，消除他们害怕甚至恐惧心理。我看了一下网上的新教材，字都比较简单，很多小朋友都认识。”语文：初一新生使用的是教育部编写的教材，也称“部编”教材。“部编本”是指由教育部直接组织编写的教材。“部编本”除了语文，还有德育和历史。现有的语文教材，小学有12种版本，初中有8种版本。这些版本现在也都做了修订，和“部编本”一同投入使用。“部编本”取代原来人教版，覆盖面比较广，小学约占50%，初中约占60%。今秋，小学一年级新生使用的是语文出版社的修订版教材，还是先学拼音，后学识字。政治：小学一年级学生使用的教材有两个版本，小学一年级和初一的政治教材
14、不再叫思想品德，改名为道德与法治。历史：初一新生使用华师大版教材。历史教材最大的变化是不再按科技、思想、文化等专题进行内容设置，而是以时间为主线，按照历史发展的时间顺序进行设置。关于部编版，你知道多少？为什么要改版？跟小编一起来了解下吧！一新教材的五个变化一、入学以后先学一部分常用字，再开始学拼音。汉字是生活中经常碰到的，但拼音作为一个符号，在孩子们的生活中接触、使用都很少，教学顺序换一换，其实是更关注孩子们的需求了。先学一部分常用常见字，就是把孩子的生活、经历融入到学习中。二、第一册识字量减少，由400字减少到300字。第一单元先学40个常用字，比如“地”字，对孩子来说并不陌生，在童话书、绘
15、本里可以看到，电视新闻里也有。而在以前，课文选用的一些结构简单的独体字，比如“叉”字，结构比较简单，但日常生活中用得不算多。新教材中，增大了常用常见字的比重，减少了一些和孩子生活联系不太紧密的汉字。三、新增“快乐阅读吧”栏目，引导学生开展课外阅读。教材第一单元的入学教育中，有一幅图是孩子们一起讨论西游记等故事，看得出来，语文学习越来越重视孩子的阅读表达，通过读故事、演故事、看故事等，提升阅读能力。入学教育中第一次提出阅读教育，把阅读习惯提升到和识字、写字同等重要的地位。四、新增“和大人一起读”栏目，激发学生的阅读兴趣，拓展课外阅读。有家长担心会不会增加家长负担，其实这个“大人”包含很多意思，可
16、以是老师、爸妈、爷爷、奶奶、外公、外婆等，也可以是邻居家的小姐姐等。每个人讲述一个故事，表达是不一样的，有人比较精炼，有人比较口语化，儿童听到的故事不同，就会形成不同的语文素养。五、语文园地里，新增一个“书写提示”的栏目。写字是有规律的，一部分字有自己的写法，笔顺都有自己的规则，新教材要求写字的时候，就要了解一些字的写法。现在信息技术发展很快，孩子并不是只会打字就可以，写字也不能弱化。二为什么要先识字后学拼音？一位语文教研员说，孩子学语文是母语教育，他们在生活中已经认了很多字了，一年级的识字课可以和他们之前的生活有机结合起来。原先先拼音后识字，很多孩子觉得枯燥，学的时候感受不到拼音的用处。如果先接触汉字，小朋友在学拼音的过程中会觉得拼音是有用的，学好拼音是为了认识更多的汉字。还有一位小学语文老师说：“我刚刚教完一年级语文，先学拼音再识字，刚进校门的孩子上来就学，压力会比较大，很多孩子有挫败感，家长甚至很焦急。现在让一年级的孩子们先认简单的字，可以让刚入学的孩子们感受到学习的快乐，消除他们害怕甚至恐惧心理。我看了一下网上的新教材，字都比较简单，很多小朋友都认识。”
