1、1 1.2 2类比推理1.理解类比推理的概念,能利用类比推理进行简单的推理,掌握类比推理解决问题的思维过程.2.理解合情推理的含义,体会并认识合情推理在数学发展中的作用.3.了解合情推理与演绎推理的联系与区别.1.类比推理(1)由于两类不同对象具有某些类似的特征,在此基础上,根据一类对象的其他特征,推断另一类对象也具有类似的其他特征,我们把这种推理过程称为类比推理.(2)类比推理是两类事物特征之间的推理.(3)利用类比推理得出的结论不一定是正确的.【做一做1】在平面中,若两个正三角形的边长比为12,则它们的面积比为14;类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长比为12,则它们的体积比为.解析:因
2、为两个正三角形是相似三角形,所以它们的面积之比是相似比的平方.同理,两个正四面体是两个相似的几何体,它们的体积之比为相似比的立方,故体积比为18.答案:182.合情推理与演绎推理(1)归纳推理和类比推理是最常见的合情推理.(2)合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等),推测出某些结果的推理方式.(3)演绎推理是根据已知的事实和正确的结论,按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程.【做一做2】判断下列由合情推理所得的结论是否正确,并说明理由.(1)f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-100)+2.因为f(1)=2,f(2)=2,f(3
3、)=2,f(100)=2,所以归纳猜想f(n)=2(nN+);(2)“在平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行”,类比可得“在空间中,垂直于同一个平面的两个平面互相平行”.解:(1)不正确.当n100时,f(n)2.(2)不正确.在空间中,垂直于同一题型一题型二题型三题型一题型二题型三反思1.等差数列与等比数列是一对重要的类比对象,两者在很多方面可以进行类比,例如,等差数列中项的加、减运算与等比数列中的乘、除运算相对应.2.进行类比推理时,要注意比较两个对象的相同点和不同点,找到可以进行类比的两个量,然后加以推测,得到类比结果,最好能够结合相关的知识进行证明,以确保类比结果的合理性.【变式
4、训练1】若等差数列an的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列,类比以上结论有:若等比数列bn的前n项之积为Tn,则T4,，解析:由于等差数列与等比数列具有类比性,且等差数列与和差有关,等比数列与积商有关,因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时,类比等比数列为依次每4项之积成等比数列.下面证明该结论的正确性:题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三【例2】在矩形ABCD中,对角线AC与两邻边AB,BC所成的角分别为,则cos2+cos2=1.在立体几何中,通过类比,给出一个猜想并证明.分析:本题主要考查类比推理的思想,考虑到平面几何中的矩形
5、,故可联想到立体几何中的长方体.题型一题型二题型三题型一题型二题型三反思反思1.类比推理应从具体问题出发,通过观察、分析、联想进行对比、归纳,提出猜想.2.此题也可类比为:长方体的体对角线与同顶点出发的三个面所成的角分别为,则有cos2+cos2+cos2=1.但这个结论是不对的,实际上此时cos2+cos2+cos2=2.由此可知,类比的结论不是唯一的,也不一定正确.题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三【变式训练3】圆与椭圆都是有心二次曲线,在圆中有性质“过圆x2+y2=r2上一点(x0,y0)的圆的切线方程为x0 x+y0y=r2”,类比上述性质可得椭圆的一个性质为.1 2 3 4 51下列平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是()A.三角形B.梯形C.平行四边形 D.矩形答案:C1 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 54下面类比推理所得结论正确的是.(只填序号)由(a+b)2=a2+2ab+b2类比得(a+b)2=a2+2ab+b2;由|a|=|b|a=b(a,bR)类比得|a|=|b|a=b;由ax+y=axay(aR)类比得sin(+)=sinsin;由(ab)c=a(bc)(a,b,cR)类比得(ab)c=a(bc).答案:1 2 3 4 5
