1、 微分中值定理微分中值定理与与泰勒公式泰勒公式一、一、微分中值定理微分中值定理1.Rolle定理定理1 1 微分中值定理微分中值定理2.Lagrange定理定理3.Cauchy定理定理4.Lagrange定理的推论定理的推论二、二、微分中值定理微分中值定理的的主要应用主要应用1.证明等式证明等式;2.证明恒等式证明恒等式;3.证明不等式证明不等式;4.讨论方程实根（或函数零点）的存在性讨论方程实根（或函数零点）的存在性三、掌握微分中值定理应用方法的关键三、掌握微分中值定理应用方法的关键在分析解题思路时，必须紧紧抓住在分析解题思路时，必须紧紧抓住“定理定理”、“函数函数”、“区间区间”三要三要素
2、素“函数函数”辅助函数的构造辅助函数的构造“定理定理”适用定理的选择适用定理的选择“区间区间”讨论区间的确定讨论区间的确定四、运用中值定理证明关于一个中间点四、运用中值定理证明关于一个中间点 的等式的的等式的统一方法统一方法 构造辅助函数，运用罗尔定理构造辅助函数，运用罗尔定理辅助函数的构造方法：解微分方程法辅助函数的构造方法：解微分方程法第一步：将所证结论中的换成得一微分方程；第一步：将所证结论中的换成得一微分方程；x第二步：求微分方程的通解；第二步：求微分方程的通解；第三步：将通解恒等变形，使等式右端仅含常数，第三步：将通解恒等变形，使等式右端仅含常数，则左端即为所求作之辅助函数则左端即为
3、所求作之辅助函数C五、运用中值定理证明关于两个中间点等式的方法五、运用中值定理证明关于两个中间点等式的方法方法一方法一：构造辅助函数，在两个不同区间上运用拉格朗：构造辅助函数，在两个不同区间上运用拉格朗日定理或柯西定理，再将定理结论作某种运算日定理或柯西定理，再将定理结论作某种运算方法二方法二：构造两个辅助函数，在同一个区间上运用拉格朗：构造两个辅助函数，在同一个区间上运用拉格朗日定理或柯西定理，再将定理结论作某种运算日定理或柯西定理，再将定理结论作某种运算方法三方法三：构造两个辅助函数，在两个不同区间上运用拉格：构造两个辅助函数，在两个不同区间上运用拉格朗日定理或柯西定理，再将定理结论作某种
4、运算朗日定理或柯西定理，再将定理结论作某种运算六、运用中值定理证明恒等式的统一方法六、运用中值定理证明恒等式的统一方法构造辅助函数，运用拉氏推论构造辅助函数，运用拉氏推论辅助函数的构造方法：辅助函数的构造方法：“减法减法”或或“除法除法”七、运用中值定理证明不等式的统一方法七、运用中值定理证明不等式的统一方法构造辅助函数，运用拉、柯定理构造辅助函数，运用拉、柯定理2 2 泰勒公式泰勒公式一、一、泰勒公式泰勒公式二、二、泰勒公式的主要应用泰勒公式的主要应用1.证明等式证明等式;2.证明不等式证明不等式;3.讨论方程实根（或函数零点）的存在性讨论方程实根（或函数零点）的存在性三、三、泰勒公式的适用
5、情形泰勒公式的适用情形题设函数具有二阶或二阶以上的导数题设函数具有二阶或二阶以上的导数四、掌握泰勒公式应用方法的关键四、掌握泰勒公式应用方法的关键正确选择正确选择“展开点展开点 x0”及被展开的函数值及被展开的函数值“展开点展开点 x0”的选择方法：的选择方法：(1)区间的中点；区间的中点；(2)区间的端点；区间的端点；（如：满足（如：满足 或或 的点的点.）0()0f x 0()0fx (4)区间内具有某种特殊区间内具有某种特殊 性质的点性质的点.(3)区间内的任一点区间内的任一点.被展开函数值的选择方法：被展开函数值的选择方法：(1)区间的中点处的函数值；区间的中点处的函数值；(2)区间的端点处的函数值；区间的端点处的函数值；(3)区间内任一点处的函数值区间内任一点处的函数值.
