1、湖南省岳阳市 2020 届高三二模 数学（理科） 分值：150 分时量：120 分钟 第 I 卷（选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的，把答案填在答题卡上对应题号后的框内，答在试卷上无效。 1.已知复数 z=(1+ i)(3-i)(i 为虚数单位)，则 Z 的虚部为 A.2 B.2i C.4 D.4i 2.已知集合 A=x|x+10， B=x|xa，若 AB=R ，则实数 a 的值可以为 A.2 B.1 C.0 D. -2 3.若 a 4 24 log 3,log 7,0.7 ,abc则实数
2、 A. ab c B.cab C. b ac D. cba 4.已知数列 n a为等差数列， n S为其前 n 项和， 635 3,aaa则 7 S A.42 B.21 C.7 D.3 5.已知向量 1 | 1,( ,), 2 abm若()(),abab，则实数 m 的值为 1 . 2 A 3 . 2 B 1 . 2 C 3 . 2 D 6.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上 袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？“其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽 3 丈，长 4 丈， 上棱长 2 丈，高 2 丈，问：它的体积是多少？”已知
3、 1 丈为 10 尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正 方形边长为 1，则该楔体的体积为 A.10000 立方尺 B.11000 立方尺 C.12000 立方尺 D.13000 立方尺 7. 在区间-1,1上随机取一个数 k,使直线 y=k(x+3)与圆 22 1xy相交的概率为 1 . 2 A 1 . 3 B 2 . 4 C 2 . 3 D 8. 5 (21)(22 ) xx 的展开式中8x的项的系数为 A.120 B.80 C.60 D.40 9. 已知( )fx为函数 f(x)(xR)的导函数,满足 f(1)=1,且( )1,fx 则不等式 22 (lg)lgfxx的解集为 1
4、.(0,) 10 A 1 .(0,)(10,) 10 B 1 .(,10) 10 C D.(10, +) 10.“学习强国”是由中宣部主管， 以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体 党员、面向全社会的优质学习平台，现日益成为老百姓了解国家动态、紧跟时代脉搏的热门 APP.该款软件主要 设有“阅读文章”、“视听学习”两个学习模块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题“四个答题模块. 某人在学习过程中，“阅读文章”不能放首位，四个答题板块中有且仅有三个答题板块相邻的学习方法有 A.60 种 B.192 种 C.240 种 D.432 种 11.已知函数
5、13 ( )4sin(2),0, 63 f xxx ， 若函数 F(x)= f(x)-3 的所有零点依次记为 123 , n x x xx 且 123n xxxx，则 1231 222 nn xxxxx 50 . 3 A B.21 100 . 3 C D.42 12. 已知 F 为抛物线 2 4yx的焦点，点 A 在抛物线上，且 |AF|=5，过点 F 的动直线 l 与抛物线交于 B，C 两点，O 为坐标原点，抛物线的准线与 x 轴的交点为 M. 给出下列四个命题: 在抛物线上满足条件的点 A 仅有一个; 若 P 是抛物线准线上一动点, 则| PA|+ |PO|的最小值为2 13 无论过点 F
6、 的直线 l 在什么位置，总有OMB=OMC ; 若点 C 在抛物线准线上的射影为 D，则三点 B、O、D 在同一条直线上. 其中所有正确命题的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 第 II 卷(非选择题，共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。请将答案填在答题卡对应题号的位置.上，答错位置， 书写不清，模棱两可均不得分。 13. 在ABC 中，内角 A、B、C 的对边长分别为 a、b、c,已知 22 2 ,acb且 sin AcosC= 3cos AsinC，则 b=_ 14.已知双曲线 22 22 :1( ,0) xy Ca b ab 的左右焦点为
7、F1, F2,过 F2作 x 轴的垂线与 C 相交于 A, B 两点， 1 FB与 y 轴相交于 D.若 1 ,ADFB,则双曲线 C 的离心率为_ 15. 设 f(x)是定义在(0, +)上的函数，且 f(x)0,对任意 a0, b0,若经过点(a, f(a), (b,-f(b)的一次函数与 x 轴 的交点为(c,0),且 a、b、c 互不相等,则称 c 为 a, b 关于函数 f(x)的平均数,记为( , ). f Ma b当 f(x)=_(x 0)时， ( , ) f Ma b为 a, b 的几何平均数.ab(只需写出一个符合要求的函数即可) 16.农历五月初五是端午节,民间有吃粽子的习
8、惯，粽子又称粽粒,俗称“粽子”,古称“角黍”，是端午节大家都会 品尝的食品,传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原.如图，平行四边形形状的纸片是由六个边 长为 1 的正三角形构成的,将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，则该六面体的体积为_; 若该六面体内有一球，则该球体积的最大值_为(本题第一空 2 分，第二空 3 分). 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 一 21 题为必考题，每个试题考 生都必须作答。第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题 17.(本小题满分 12 分) 等差数列 n a的公差为 2,
9、 248 ,a a a分别等于等比数列 n b的第 2 项、第 3 项、第 4 项. ( 1)求数列 n a和 n b的通项公式; (2)若数列 n c满足 12 1 12 n n n ccc b aaa ,求数列 n c的前 2020 项的和. 18.(本小题满分 12 分) 如图，直三棱柱 111 ABCABC中，D,E分别是 1 ,AB BB的中点， 1 2 2. 2 AAACCBAB (1 )证明: 1 BC平面 1 ACD； (2)求二面角 1 DACE的余弦值. 19.(本小题满分 12 分) 设直线 l 与抛物线 2 2xy交于 A， B 两点,与椭圆 22 1 42 xy 交于
10、 C， D 两点,设直线 OA, OB， OC， OD( O 为坐标原点)的斜率分别为 1234 ,k k k k,若 OAOB. ( 1)证明:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标; (2)是否存在常数 ，满足 1234 ()kkkk?并说明理由. 20.(本小题满分 12 分) 新型冠状病毒肺炎疫情发生以来，电子购物平台成为人们的热选择，为提高市场销售业绩，某公司设计了 一套产品促销方案，并在某地区部分营销网点进行试点.运作一年后，对“采用促销“和“没有采用促销”的营销网点 各选取了 50 个，对比上一年度的销售情况，分别统计了它们 J 的年销售总额，并按年销售总额增长的百分点分 成 5
11、组: -5,0)，0,5), 5,10), 10,15)，15,20, 分别统计后制成如图所示的频率分布直方图,并规定年销售总额增长 10 个百分点及以上的营销网点为“精英店”. （1）请根据题中信息填充下面的列联表，并判断是否有 99%的把握认为“精英店与采用促销活动有关”； (2)某“精英店”为了创造更大的利润,通过分析上一年度的售价 i x(单位:元)和日销 i y(单位:件) ( i=1,2,.,10 )的 一组数据后决定选择 2 yabx作为回归模型进行拟合.具体数据如下表, 表中的 2( 1,2,10 ii wx i 根据上表数据计算 a，b 的值; 已知该公司产品的成本为 10
12、元/件，促销费用平均 5 元/件,根据所求出的回归模型，分析售价 x 定为多少 时日利润 z 可以达到最大. 附 2 2 () : ()()()() n adbc K ab cd ac bd 附:对应一组数据 112233 ( ,),(,),(,),(,) nn u vu vu vu v，其回归直线 v= + u 的斜率和截距的最小二乘法 估计分别为 10 1 10 2 1 ()() ,. () ii i i i vy uu avu uu 21. (本小题满分 12 分) 若函数( )(1) xx f xeaemx m R)为奇函数，且 0 xx时 f(x)有极小值 0 ().f x (1)求
13、实数 a 的值与实数 m 的取值范围; (2)若 0 2 ()f x e 恒成立，求实数 m 的取值范围. (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22,23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.选修 4-4:坐标系与参数方程 (本小题满分 10 分) 在新中国成立 70 周年国庆阅兵典礼中，众多群众在脸上贴着一颗红心，以此表达对祖国的热爱之情在数学 中，有多种方程都可以表示心型曲线，其中有著名的笛卡尔心型曲线如图，在直角坐标系中，以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系图中的曲线就是笛卡尔心型曲线，其极坐标方程为 =1-sin ( 00)，M 为 该曲线上的任意一点. (1)当 3 | 2 OM 时，求 M 点的极坐标; (2)将射线 OM 绕原点 O 逆时针旋转 2 与该曲线相交于点 N，求|MN|最大值. 23.选修 4-5:不等式选讲(本小题满分 10 分) 若函数 2 1 ( )(1) . 4 f xx (1)证明: f(x)+|f(x)-2|2 ; (2)若存在 xR,且 x-1，使得 2 1 ( ) |1| 4 ( ) f xmm f x 成立,求 m 的取值范围.
