1、第一章 数字信号处理概述简答题：1在A/D 变换之前和D/A 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？答：在 A/D 变化之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率 2 倍的条件。此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。在D/A 变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故友称之为“平滑” 滤波器。判断说明题： 2模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。（） 答：错。需要增加采样和量化两道工序。3一个模拟信号处理
2、系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。（）答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。第二章 离散时间信号与系统分析基础一、连续时间信号取样与取样定理计 算 题 ： 1过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中 T 表示采样周期（假设T足够小，足以防止混迭效应），把从x(t)到y(t) 的整个系统等效为一个模拟滤波器。（a） 如果h(
3、n)截止于p 8rad ,1T = 10kHz ，求整个系统的截止频率。（b） 对于1 T = 20kHz ，重复（a）的计算。x(t )x(n)y(n)y(t )采样（T）h(n)D/A理想低通w = p Tc解 （a）因为当w p 8 rad时H (e jw ) = 0，在数 模变换中Y (e jw) = 1 XTa( jW) = 1 XTa( jw )T所以h(n) 得截止频率w= p 8 对应于模拟信号的角频率W 为ccW T = pc8W1因此f =c = 625Hzc2p16T由于最后一级的低通滤波器的截止频率为pT，因此对p8T没有影响，故整个系统的截止频率由H (e jw) 决
4、定，是 625Hz。（b）采用同样的方法求得1 T = 20kHz ，整个系统的截止频率为f =1= 1250Hzc16T二、离散时间信号与系统频域分析计算题：1. 设序列x(n) 的傅氏变换为 X (e jw) ，试求下列序列的傅里叶变换。（1） x(2n)（2） x *(n) （共轭） 解：（1） x(2n)由序列傅氏变换公式DTFTx(n) = X (e jw) = n=-x(n)e - jwn可以得到DTFTx(2n) =n=-x(2n)e- jnw = x(n)e- jwn n为偶数2= 22n=-1- jwn+ -x(n)( 1)n x(n)e22= 1 2n=-x(n)e- jn
5、w+ 1 2n=-x(n)e- j ( w +p )n= 1 X (e j w ) + 1 X (e j ( w +p ) )2222= 1 X (e j w ) + X (-e j w )222（2） x *(n) （共轭）解：DTFT x *(n) =x *(n)e- jnw = x(n)e jnw * = X *(e- jw )n=-n=-2. 计算下列各信号的傅里叶变换。1（a） 2nu-n（b）( 4)nun + 21n( ) n（c）d 4 - 2n（d）2解：（a） X (w ) = 2nu-ne- jwn = 02n e- jwnn=-n=-= n111( e jw ) =X
6、(w ) =2n=01 n1 -e jw2+ 2e- jwn= 1n - jwn（b）（ ）un( ) e44n=-n=-2= =01( )m-2 e j4w ( m-2) = 16e j 2w11 -e- jw（c） X (w) =m xne- jwn =4 d4 - 2ne- jwn = e- j 2w（d） X (w ) =n=-1n - jwnn=-11= 1+1- 1（ ） e2n=-利用频率微分特性，可得X (w) = - j dX (w)dw1 -e- jw1 -e jw22= -+1111e jwe- jw2(1 - 1 e jw )22(1 - 1 e- jw )2223.
7、序列x(n) 的傅里叶变换为 X (e jw ) ，求下列各序列的傅里叶变换。（1） x* (-n)（2） Rex(n)(3) nx(n)解： （1） n=-x* (-n)e- jwn = x(-n)e- jw(- n) * = X * (e jw ) n=-（2） Re x(n)e - jwn = 1 x(n) + x* (n)e - jwn = 1 X (e jw ) + X * (e - jw )n=-22n=-（3） -1 dx(n)e - jwnd -dX (e jw )nx(n)en=-jwn =n=- = jx(n)ejdwdwn=-jwn = jdw4. 序列x(n) 的傅里叶
8、变换为 X (e jw ) ，求下列各序列的傅里叶变换。（1） x* (n)（2） j Imx(n)(3)x 2 (n)解：（1） x* (n)e - jwn = x(n)e - j (- w)(- n) * = x(n)e- j ( - w) n * = X * (e- jw )（2）n=-n=-n=- 1 x(n) - x* (-n)e- jwn = 1 x(n)e- jwn - x* (n)e- jwn 2n=-2n=-n=-1 * = X (e jw ) - x(n)e- j (- w)n 1 2 n=-=X (e jw ) - X * (e- jw ) 2（3）n=-x 2 (n)e
9、- jwn = n=- 1 2pp X (e jq ) dq -pn=-x(n)e- j ( w-q )n = 1 pX (e jq ) X (e j ( w-q ) )dq2p -p1= 2pX (e jq ) * X (e jw )5. 令x(n) 和 X (e jw ) 表示一个序列及其傅立叶变换，利用X (e jw ) 表示下面各序列的傅立叶变换。（1） g(n) = x(2n)（2） g(n) = x(n 2) n为偶数0n为奇数解：（1） G(e jw ) =n=-g(n)e- jnw =n=-x(2n)e- jnw =k =-k-x(k)e j 2 wk为偶数= k =-x(k
10、) + (-1)k x(k ) e j 2 w1 k -2= 1 22k =-x(k )e- jk w2+ 1 2k =-x(k )(e jp)e- jk w22= 1 X (e j w ) + 1 22x(k )e- jk ( w -p )= 1 X (e j w ) + 1k =-j ( w -p ) 222X e 21 ww = X (e j 2 ) + X (-e j 2 )2 （2） G(e jw ) =n=-g(n)e - jnw =r =-g(2r)e- j 2rw =r =-x(r)e - jr 2 w = X (e j 2 w )6. 设序列x(n) 傅立叶变换为 X (e
11、jw ) ，求下列序列的傅立叶变换。00（1） x(n - n )n 为任意实整数（2） g(n) = x(n 2) n为偶数0n为奇数（3） x(2n)解：（1） X (e jw ) e - jwn0x(n 2)（2）n 为偶数g (n) = X (e j 2 w )0n 为奇数（3） x(2n) X (e jw 2 )7. 计算下列各信号的傅立叶变换。1 n( )（1） 2u(n + 3) - u(n - 2)（2） cos(18p n 7) + sin(2n)（3） x(n) = cos(p n 3)1 n 40其它【解】（1）1 - j 2p knX (k) =n=-( )n2u(n
12、+ 3) - u(n - 2) eN= 1-( )n e 2- j 2p kn N1n( ) e2- j 2p kn Nn=-32pn=22p=8e j 3 N k- 1e- j 2 N kN1 - 1 e- j 2p k214 1 - 1 e- j 2p k 2N- j 52p k2p 1 - ( )5 eN= 8e j 3 N k2N1 - 1 e- j 2p k27（2）假定cos(18p n ) 和sin(2n) 的变换分别为 X (k) 和 X (k) ，则12X (k ) = p d ( 2p k - 18 p - 2kp ) + d ( 2p k - 18 p - 2kp )1k
13、 =-N7N7pX (k ) =d ( 2p k - 2 - 2kp ) + d ( 2p k + 2 - 2kp )2jk =-NN所以X (k ) = X1(k ) + X(k )2= p d ( 2p k - 18 p - 2kp) + d ( 2p k - 18 p - 2kp) - jd ( 2p k - 2 - 2kp) + jd ( pk + 2 - 2kp )N7k =-N7NN（3） X (k) = 4n=-44pcos31ne- jn 2pkNpp2p= (e j 3 n + e- j 3 n )e- jn N k2n=-4N33NN3= 1 e j 4( 2p k -p
14、) 9 e j ( p - 2p k )n + 1 e j 4( 2p k +p ) 9p 2p 3Ne j ( +)n22n=0n=012pp p 2p1 - e j ( -k )912pp p 2p1 - e j ( +k )9=e j 4( N k - 3 )23 Np 2p 1 + e j ( 3 - N k )+e j 4( N k + 3 )23 Np 2p 1 + e j ( 3 + N k )8. 求下列序列的时域离散傅里叶变换0x* (-n) ，Rex(n)，x (n)解： *x* (-n) = x(-n)e- jw(-n) = X * (e jw )- - Rex(n)=
15、1 (x(n) + x* (n)e- jwn = 1 (X (e jw ) + X * (e - jw )= X22e(e jw )()- x0-(n)e- jw = 1 2-x(n) - x* (-n) e - jwn = j Im X (e jw )三、离散时间系统系统函数填空题：1. 设H ( z) 是线性相位FIR 系统，已知H (z) 中的 3 个零点分别为 1，0.8，1+j，该系统阶数至少为（ ）。解：由线性相位系统零点的特性可知，z = 1的零点可单独出现，z = 0.8 的零点需成对出现， z = 1 + j 的零点需 4 个 1 组，所以系统至少为 7 阶。简答题：min2
16、. 何谓最小相位系统？最小相位系统的系统函数H(Z ) 有何特点？解：一个稳定的因果线性移不变系统，其系统函数可表示成有理方程式H (Z ) =P(Z ) =Mr =0b Z -r r，他的所有极点都应在单位圆内，即Q(Z )1 - Nk =1a Z -k kap 1 。但零点可以位于Z 平面的任何地方。有些应用中，需要约束k一个系统，使它的逆系统 G(Z ) = 1 H (Z ) 也是稳定因果的。这就需要H (Z ) 的零点也位于单位圆内，即bp 1 。一个稳定因果的滤波器，如r果它的逆系统也是稳定因果的，则称这个系统是最小相位。等价的， 我们有如下定义。【定义】一个有理系统函数，如果它的零
17、点和极点都位于单位圆内， 则有最小相位。一个最小相位系统可由它的傅里叶变换的幅值 H (e jw) 唯一确定。从e jw求H (Z ) 的过程如下：给定e jw ，先求 e jw 2 ，它是cos(kw) 的函数。然后，用1 (Z k + Z -k ) 替代cos(kw) ，我们得到G(Z ) = H (Z )H (Z -1 ) 。最后，2最小相位系统由单位圆内的G(Z ) 的极、零点形成。一个稳定因果系统总可以分解成一个最小相位系统和一个全通系统的乘积，即H (Z ) = Hmin(Z )Hap(Z )完成这个因式分解的过程如下：首先，把 H (Z ) 的所有单位圆外的零点映射到它在单位圆内
18、的共轭倒数点，这样形成的系统函数Hmin(Z ) 是最小相位的。然后，选择全通滤波器Hap的零点映射回单位圆外。(Z ) ，把与之对应的Hmin(Z ) 中ap3. 何谓全通系统？全通系统的系统函数H(Z ) 有何特点？解：一个稳定的因果全通系统，其系统函数Hap(Z ) 对应的傅里叶变换幅值H (e jw) = 1，该单位幅值的约束条件要求一个有理系统函数方程式的零极点必须呈共轭倒数对出现，即H(Z ) = P(Z ) =Mr =0b Z -r r= NZ -1 - a *k。因而，如果在Z = a处有一个apQ(Z )1 - N a Z -kkk =11 - a Z -1kk =1k极点，
19、则在其共轭倒数点Z =处必须有一个零点。1a*kx(n)h(n)y(n)4. 有一线性时不变系统，如下图所示，试写出该系统的频率响应、系统（转移）函数、差分方程和卷积关系表达式。解：频率响应： H (e jw ) = -h(n)e- jwn系统函数： H (Z ) = -h(n)Z -n X (Z ) 差分方程： Z -1 Y (Z ) 卷积关系： y(n) = -h(n) * x(n)第三章 离散傅立叶变换一、离散傅立叶级数计算题：1. 如果x (n) 是一个周期为N的周期序列，那么它也是周期为2N的周期序列。把x (n) 看作周期为N的周期序列有x (n) (k )X1（周期为N）；把x
20、(n) 看作周期为2N的周期序列有x (n) （周期为2N）；试用2表示 X（k）。X (k )2X（k）1N -1 N -1 - j 2p kn解：X1(k) =x (n)W kn =Nx (n)eNn=0n=0X (k) =22 N -1knx (n)W2 N= N -1 x (n)e- j 2p k n N 2+2 N -1x (n)e- j 2p k n N 2n=0n=0n=N对后一项令n = n - N ，则N -1 - j 2p k nN -1 - j 2p k (n+ N )X (k) =2x (n)eN 2 +x (n + N )eN 2n=0n=0= (1 + e- jkp
21、)N -1 x (n)en=0- j 2p k n N 2) X ( )= (1 + e- jkp k2 kk为偶数所以 X(k ) =2 X ( )1 220k为奇数二、离散傅立叶变换定义填空题2. 某 DFT 的表达式是 X (l) = N -1 x(k )W kl ，则变换后数字频域上相邻两Mk =0个频率样点之间的间隔是（）。解： 2pM3. 某序列DFT的表达式是 X (l) = N -1 x(k )W kl ，由此可看出，该序列的时Mk =0域长度是（），变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是（）。解：N2p M4. 如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件（
22、）。解：纯实数、偶对称5. 采样频率为F Hz 的数字系统中，系统函数表达式中z -1 代表的物理s意义是（），其中时域数字序列x(n) 的序号n 代表的样值实际位置是（）；x(n) 的N点DFT X（k) 中，序号k 代表的样值实际位置又是（）。解：延时一个采样周期T = 1 F ， nT = n F ，wk= 2p k N6. 用8kHz的抽样率对模拟语音信号抽样，为进行频谱分析，计算了512点的DFT。则频域抽样点之间的频率间隔Df 为 ,数字角频率间隔Dw 为 和模拟角频率间隔DW 。解：15.625，0.0123rad，98.4rad/s 判断说明题：7. 一个信号序列，如果能做序列
23、傅氏变换对它进行分析，也就能做DFT对它进行分析。（）解：错。如果序列是有限长的，就能做DFT 对它进行分析。否则，频域采样将造成时域信号的混叠，产生失真。计算题18. 令 X (k) 表示N点的序列x(n) 的N点离散傅里叶变换， X (k) 本身也是一个N点的序列。如果计算 X (k) 的离散傅里叶变换得到一序列x (n)，1试用x(n) 求 x (n)。解： x (n) = N -1 X (k)W nk= N -1 N -1 x(n)W kn nk= N -1 x(n)N -1k (n+n)1=N WWN NNk 0因为N -1Nk =0n =0n =0k =0n + n = Nlk =
24、0所以W k (n+n ) = N 0其他x (n) = N -1 Nx(-n + Nl) = Nx(-n)1NnR (n)N9. 序列 x(n) = 1,1,0,0，其4点DFT x(k) 如下图所示。现将 x(n) 按下列（1） ，（2），（3）的方法扩展成8点，求它们8点的DFT？（尽量利用DFT的特性）x(n)X (k ) x(n)y (n) = nkn = 0 3（1） 1x(n - 4)n = 4 7x(n)y (n) = n = 0 3（2） 2 0n = 4 7y (n) = x(n 2)n = 偶数（3） 30n = 奇数解：（1）Y (2k )= 2 X (k ),0 k
25、31 ()Y 2k + 1 = 01（2）( ) k ( )Y k= X 1 = X k , k = 2k, 0 k 7,0 k 321 2 11（3）Y (k31)= X (k1) = X (k )40 k1 7,0 k 3, k = k1mod 410. 设x(n) 是一个 2N 点的序列，具有如下性质：x(n + N ) = x(n)另设 x1(n) = x(n)RN(n) ，它的N 点DFT为 X1(k ) ，求 x(n) 的2N点DFT X (k )和 X (k ) 的关系。1解： X (k )= 2 X k 推导过程略1 2 11. 试求以下有限长序列的N点DFT（闭合形式表达式）
26、（1） x(n) = an R (n)（2） x(n) = nR (n)NN解：（1）因为 x(n) = an RN(n) ，所以N -1- j 2p nk1 - a NX (k) =n=0aneN=1 - ae- j 2p k N（2） 由 x(n) = nR (n) ，得NX (k ) = N -1 nW nk RNN(k )n=0W k X (k ) = N -1 nW (n+1)k R(k )NNNn=0X (k )(1 - W k ) = (N -1 nW nk - N -1 nW ( n+1) k )R(k )NNNNn=0n=0= W k + 2W 2k + 3W 3k + L
27、+ (N - 1)W ( N -1)k - (W 2k + 2W 3k + L+ (N - 2)W ( N -1)k + N - 1) R(k )NNNNNNNN= (-(N - 1) + N -1W nk )RNN(k )n=1W k -1= - (N -1) +NR (k) = -NR(k)1 - W kNN N所以- NX (k ) =R1 - W kN N(k )11612. 计算下列序列的N点DFT： (P)（1） x(n) = an ,0 n N - 1（2） x(n) = cos 2p nm ， 0 n N ， 0 m N解：（1）N -1 N1 - a NW NK1 - a N
28、，X (k) =n=0anW nkN=N1 - aW kN=1 - aW kN0 k N -1（2）N -1 2p1 N -1 ppp222jmn- jmn- jnkX (k ) =cosmnW nk = e N+ eNeN N N2n=0n=0 = 1 1 - e- j 2p ( k -m) + 1 - e- j 2p ( k +m) 2 - 2p2p 1 - ej( k -m)N1 - e- j N ( k +m) = 1 e jp ( k -m) - e- jp ( k -m) e- j N +1(k -m)p +e jp (k +m) - e- jp ( k +m)e- j N +1(
29、k +m)p N2 ppNpp( e j N ( k -m) - e- j N (k -m)e j N (k +m) - e- j N (k +m)1 sin(k - m)p )-N +1psin(k + m)p )N +1p=(p)ej(k -m)Np)e- j N (k +m) +2 sin (k - m)Nsin (k + m)NN ,k=m 或k=-m2=0,其它13. 已知一个有限长序列x(n) = d (n) + 2d (n - 5)（1） 求它的 10 点离散傅里叶变换 X (k )（2） 已知序列 y(n) 的 10 点离散傅立叶变换为Y (k ) = W 2 k X (k )
30、 ，求序10列 y(n)（3） 已知序列m(n) 的 10 点离散傅立叶变换为M (k ) = X (k )Y (k ) ，求序列m(n)N -1解；（1）X (k ) =x(n)W nk Nn=0= 9n=0d (n) + 2d (n - 5) W nk10=1+2W 5k 10=1+2 e- j 2p5k10=1+2 (-1) k ， k = 0,1,.,9（2）由Y (k ) = W 2 k X (k ) 可以知道， y(n) 是x(n) 向右循环移位 2 的结果， 10即y(n) = x(n - 2)10= d (n - 2) + 2d (n - 7)（3）由M (k ) = X (k
31、 )Y (k ) 可以知道， m(n)是x(n)与y(n)的10点循环卷积。一种方法是先计算x(n)与y(n)的线性卷积u(n) = x(n) * y(n) = l =-x(l) y(n - l)=0,0,1,0,0,0,0,4,0,0,0,0,4然后由下式得到 10 点循环卷积m(n) = u(n -10l)R(n)= 0,0,5,0,0,0,0,4,0,0= 5d (n - 2) + 4d (n - 7)l =- 10另一种方法是先计算 y(n) 的 10 点离散傅立叶变换Y (k ) =N -1y(n)W nk= 9d (n - 2)+ 2d(n - 7)W nk= W 2k + 2W
32、7 kNn=0再计算乘积101010n=0()()M (k ) = X (k )Y (k ) = 1 + 2W 5k W 2 k + 2W 7 k101010= W 2 k + 2W 7 k + 2W 7 k + 4W 12 k10101010= 5W 2 k + 4W 7 k1010由上式得到m(n) = 5d (n - 2)+ 4d (n - 7)14（1）已知序列： x(n) = sin 2p n N - 1，求x(n) 的N 点 DFT。 N（ 2 ） 已知序列： x(n) = pn，01，n =0,1, 20，其它， 则 x(n) 的 9 点 DFT 是sink 2p3X (k) =
33、 e- j 9 kpsin，k = 0,1,2,.,8正确否？用演算来证明你的结论。k(P) 9345解：（1） X (k ) = N -1 sin 2p N - j 2pknn eNn=01 N -1 ppp222jn- jn- jkn2 j= e N- eN eNn=0 1 N -1 pp22j(1-k )n- j(1+k )n2 j= e N- eNn=0 - j N , k = 12=j N , k = -1 20， 其它- p pp （2） X (k ) = 26pe9- jke- j 2p kn = 1 - e9=j 3 k e j 3 k - e- j 3 k - j 2p k-
34、 p pp n=01 - e9e j 9 k e j 9 k - e- j 9 k psink 2p3e- j 9 kpsin，K = 0,1,.,8k 9可见，题给答案是正确的。15. 一个 8 点序列x(n) 的 8 点离散傅里叶变换 X (k ) 如图 5.29 所示。在x(n) 的每两个取样值之间插入一个零值，得到一个 16 点序列 y(n) ，即y(n) =x n 2 ， n 为偶数0， n 为奇数（1）求 y(n) 的 16 点离散傅里叶变换Y (k) ，并画出Y (k) 的图形。（2）设 X (k ) 的长度 N 为偶数，且有X (k ) = X (N -1 - k ), k = 0,1,., N - 1 ，求 x N 。2 2 4321X (k )-1
