1、一位姿描述和齐次变换1. 齐次变换矩阵 T 及其物理解释（1） 齐次变换矩阵的形式A RAT = BA PBO B0001（2） 齐次变换矩阵 AT 的物理解释Ba. 坐标系（刚体）的位姿描述：AT 描述坐标系B相当于参考坐标系A的位姿，其中 A RB的各列分别描述B的 3 个坐标主轴的方向； A PBOB描述B的坐标原点的位置。b. 坐标映射：AT 代表同一点P 在两个坐标系A和B中描述之间的映射关系，AT 将 B P 印BB射为 A P 。其中 A R 称为旋转映射， A P称为平移映射。BBO1c. 运动算子：T 表示在同一坐标系中点P（刚体）运动前后的算子关系，算子T 作用于 P 得出
2、P 。任一算子也可分解为平移算子与旋转算子的复合。22. 变换矩阵的运算（1） 相乘-复合变换A R BRA RB P+ APAT = AT BT = BCBCOBO CBC0001注：（a）变换顺序从右到左时，运动是相对与固定参考系而言的；（b）变换顺序从左到右时，运动是相对与运动参考系而言的。（2） 求逆A RT- AR-1 A PBT = AT -1 = BBBO AB00013. 方位描述的简洁方法-欧拉角与 RPY 角（1） 给定 ， ， -求 R（2） 给定 R-求 ， ，4. 旋转（齐次）变换通式-等效转轴与等效转角（1） 根据转轴 K 和转角 建立相应的旋转变换矩阵 k k V
3、ersq + cqk k Versq - k sqk k Versq + k sqzy xR（K，q）= x xq + k sqq + qz xyq-ykx k Verszk k Verscy yk k Versq z ykx s kk Versq - k sqx zyk k Versq + k sqy zxk k Versq + cq z z（2） 根据旋转变换矩阵求其等效转轴与等效转角（K 和 ）二机器人运动学方程及其求解1. 连杆（关节）参数与连杆坐标系（1） 连杆坐标系的建立（在杆的前关节-靠近手端-建立连杆坐标系）a. 找出各关节轴线，取 z 与关节 i+1 轴重合；ib. 作出相邻
4、两轴线 i 和i+1 的公垂线 a （或两轴线的交点），取 a 与 i+1 轴线的交点（或i 与 i+1;的交点）为坐标系i的原点oic. 规定 x 轴与公垂线 a 重合。若 zi与 z 相交，则规定 x 是 zi和 z 所张成平面的法线；id. 按右手法则决定yii-1i= z x 。ii-1iiii（2） 用连杆坐标系规定连杆参数a ：连杆 i 的长度从 ziia ：连杆 i 的扭角从 zi-1 到 z 到 z沿 x 测量的距离；i绕 x 旋转的角度；ii-1iid ：关节 i 处连杆i 相对于连杆i-1 的偏置从 x到 x 沿 z测量的距离；ii-1ii-1q ：关节 i 处连杆i 相对
5、于连杆i-1 的关节角从 x到 x 绕 z旋转的角度。ii-1ii-12. 连杆变换矩阵与运动学方程（1） 连杆变换矩阵的推导 i +1T 由以下 4 个子变换构成：ia. 绕 zi-1轴旋转qi角，使 xi-1轴转到与 xi同一平面内；b. 沿 z轴平移一距离 d ，把 x移到与 x同一直线上；i-1ii-1ic. 沿 xi轴平移一距离 a ，把连杆 i - 1 的坐标系移到使其原点与连杆i 的坐标系原点重合的地方；id. 绕 xi轴旋转ai角度，使 zi-1轴转到与 zi同一直线上。因此有i -1T = Rot (z,q )Trans (z, d )Trans (x, a )Rot (x,
6、a )i即得cqi-sq caisq caiia cq iiiisqiq aq ai qi i-1T = ic ic i-c sa siiiii 0sa 00 icadii 01 （2） 运动学方程的建立运动学方程表示了末端连杆的位置与关节变量之间的关系，其形式如下：noaP0 R0 P 0T = = nnO n0001 0001 = 0T 1Tn-1T = 0T (q ) 1T (q )n-1T (q )1 2n11 22nn若: B代表基底坐标系(或表示为0);S代表工作站坐标系W代表腕坐标系;T代表工具坐标系;G代表目标坐标系;则有变换方程:BTWT =BT ST GTWTS G T3.
7、 运动学方程的求解(正解,反解)(1) 运动学方程的正解a. 建立各个连杆坐标系,列出相应的连杆参数;b. 写出各个连杆变换矩阵 0 T , 1 T ., n -1 T ;12nc. 写出手臂变换矩阵 oT , 得到末端连杆的位姿与关节变量之间的关系;nd. 利用运动学方程计算出手臂变换矩阵 oT 的各个元素,得出手爪相对基础(或工作站)的位姿.n注:正向运动学的解是唯一确定的.(2) 运动学方程的反解a. 利用变换方程求出手臂变换矩阵 0T :n0T = S T -1 ST nT -1n0TTb. 由方程式解出相应的关节变量 q i .注 :运动学方程的反解往往具有多重解,也可能不存在解.三
8、.微分运动和雅克比矩阵1. 微分运动矢量 D( T D )与微分算子D ( T D )(1) 相对基坐标系给定相对基坐标的微分运动运动矢量D =d, d, d, d, dxyzx相应的微变换算子为, dTyz0- dddzD = dd0 z- dyx ddxy -0 yx0dz 坐标系T的微分dT = D T000 (2) 由相对基坐标系的 D(或D )求相对连杆坐标系T的T D (或) T D给定n0aPT = 0001 0- ddd zyx 或D = dd T0- ddD = d zxy= dddddd T- dd0d xyzxyz 0 yxz 000 则有 0-T dT dzyT d x
9、 TdT D = z0-T dT dyx-T dT dyx0T dz 0000 式中T d = d (P n)+ d n = n (d P)+ d )xT d = d (P o)+ d o = o (d P)+ d )yT d = d z(P a)+ d a = a (d P)+ d )T d = d n = n dxT d = d o = o dyT d = d a = a dz或 T d T dnnx xyaoon(P n)zxo(P o)(P n)y(P o)(P n)(P o) d dz x z T dy xayzxa(P a)y(P a)(P a) yd T D = Tdz = xy
10、z 000xynnnz z d Tdx xyooy000yz dx oy也可表示为 Td zxy 000aaxaz d zz T d = RT-RT S (P) d d T 0RT d 式中 0- pp zy zS (P) = p-0- px pypx0 连杆坐标系T相应的微分运动为dT = TTD（3） 任意两个连杆坐标系A和B的微分运动矢量 AD 与 BD 之间的变换关系 Bd ART- ART S ( AP) Ad = BBBO Bd 0或ART B Bd Bd BR- BR S ( AP ) Ad = AABO A Bd 0反之BR Bd Ad ARS ( AP ) AR Bd = B
11、BO B B Ad 0AR Bd （4） 任意两个连杆坐标系A和B的广义速度之间的关系 Bv BR- BR S ( AP ) Av = AABO Bw 0 Av ARS ( APAR BwB) AR Bv = BBO B B Aw 0AR Bw2. 雅克比矩阵 J 及其求解(1) J 的含义及其形式a. J 的含义:从关节空间向操作空间运动速度传送的广义传动比.速度关系:= X v .V = w = J (q ) = q.也可看成从关节空间向操作空间的微分运动之间的转换矩阵. 微分运动关系:d D = d = J (q )dq b. J 的(分块)形式: q. v = J L 1J L 2 1
12、 J q . Ln2 A 2 w JJ J A 1An q . nJ 为6 n 阶的矩阵,其中钱 3 行代表对抓手的速度v 的传送.后 3 行与抓手的角速度w 有关,第 i 列代表相应的关节速度对抓手线速度和角速度的影响.(2) J 的计算a. 矢量积方法-求 J(q)雅克比矩阵的第 i 列: zJ= i -1 ( 移动关节i )()i 0 zi-1P0 z0 Ri-1PJ = i-1no = i-1i-1no ( 移动关节i )i式中:zi-1zi-1z是坐标系 i 的 z 轴单位向量, 它是用基坐标系表示的;i-1i-1P 0 =0 Ri-1Pnoi-1no式.是末端抓手坐标系的原点相对于
13、坐标系 i-1 的位置在基标系0的表b. 微分变换方法-求TJ (q )(a) 计算各连杆变换矩阵0T ,1T ,n-1T12n(b) 计算各连杆到末端连杆的变换矩阵n -1T nn - 2T = n - 2 T n -1Tn n -1n0T = 1T 1T n -1 Tn0 2n(c) 雅克比矩阵 J 有 n 列,第 i 列元素T Ji当关节i 为移动时由i -1T 决定:nn o z z =a T J z i 0 0 0 当关节i 是转动时(P n) - n(P o)z - xp + n p yy x+()z ox pyoy px = P aT Jin- az = xp + a p yy x nozozzzaazz式中 n，o，a 和P 是 i - 1T 的四个列矢量nc. 从基座向指端的速度传播的递推方法d从指端向基座的静力传播的递推方法e对运动学方程直接微分3. 逆雅克比矩阵 J -1 和奇异性
